Учебнометодическое пособие Волгоград 2016

• Название: Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
• Дата: 18.06.2018
• Размер: 0.92 Mb.
• Имя файла: UMP_Chislennoe_modelirovanie_teplovyh_processov_v_svarke.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #47203
• страница: 14 из 16

44
????????????
??????
??????
??????+1
−??????
??????
??????
??????
=
1
ℎ
(??????
??????+1/2
??????+1 ??????
??????+1
??????+1
−??????
??????
??????+1
ℎ
− ??????
??????−1/2
??????+1 ??????
??????
??????+1
−??????
??????−1
??????+1
ℎ
),
(43)
?????? = 2, … , ?????? − 1, ?????? ≥ 0, где
??????
??????+1/2
??????
=
??????
??????
??????
+??????
??????+1
??????
2
,
??????
??????−1/2
??????
=
??????
??????−1
??????
+??????
??????
??????
2
, при этом
??????
??????
??????
вычисляются по формуле. Добавляя к системе (43) конечно-разностные аналоги краевых условий ??????
0
, ?????? = 2, ?????? − 1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅;
??????
1
??????
= л, ?????? > 0;
??????
??????
??????
= ??????
??????
, ?????? > 0; получим замкнутую разностную задачу. Полученную систему можно свести к наиболее общему виду
??????
??????
??????
??????+1
??????+1
− ??????
??????
??????
??????
??????+1
+ ??????
??????
??????
??????−1
??????+1
= ??????
??????
, где
??????
??????
= ??????
??????
=
??????
??????+1/2
??????
ℎ
2
,
??????
??????
=
??????
??????+1/2
??????
+??????
??????−1/2
??????
ℎ
2
+
????????????
??????
,
??????
??????
=
????????????
??????
??????
??????
??????
??????
??????+1/2
??????
=
??????
??????
??????
+??????
??????+1
??????
2
,
??????
??????−1/2
??????
=
??????
??????−1
??????
+??????
??????
??????
2
,
??????
??????
??????
= ??????(??????
??????
??????
).
Прогоночные коэффициенты находятся по формулам (20). Далее неизвестное поле температуры определяется по выражению (19). Рассмотрим чисто неявную схему.
∂
∂??????
(??????(??????)
∂??????
∂??????
) =
1
ℎ
(??????
??????+1/2
??????+1 ??????
??????+1
??????+1
−??????
??????
??????+1
ℎ
− ??????
??????−1/2
??????+1 ??????
??????
??????+1
−??????
??????−1
??????+1
ℎ
), где
??????
??????+1/2
??????+1
=
??????
??????
??????+1
+??????
??????+1
??????+1 2
,
??????
??????−1/2
??????+1
=
??????
??????−1
??????+1
+??????
??????
??????+1 Таким образом, в результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений
????????????
??????
??????
??????+1
−??????
??????
??????
??????
=
1
ℎ
(??????
??????+1/2
??????+1 ??????
??????+1
??????+1
−??????
??????
??????+1
ℎ
− ??????
??????−1/2
??????
??????
??????
??????+1
−??????
??????−1
??????+1
ℎ
),
(44)
?????? = 2, … , ?????? − 1, ?????? ≥ 0, где

45
??????
??????+1/2
??????+1
=
??????
??????
??????+1
+??????
??????+1
??????+1 2
,
??????
??????−1/2
??????+1
=
??????
??????−1
??????+1
+??????
??????
??????+1 2
, при этом
??????
??????
??????+1
вычисляются по формуле
??????
??????
??????+1
= ??????(??????
??????
??????
). Добавляя к системе (44) конечно-разностные аналоги краевых условий
??????
??????
0
= ??????
0
, ?????? = 2, ?????? − 1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅;
??????
1
??????
= л, ?????? > 0;
??????
??????
??????
= ??????
??????
, ?????? > 0; получим замкнутую разностную задачу. При этом видно, что полученная система уравнений является нелинейной, поэтому для решения этой системы воспользуемся методом простой итерации. Этот метод заключается в следующем – на каждом шаге повремени мы будем определять поле температуры, до тех пор пока оно не прекратит изменяться с изменением, те.
????????????
??????
??????
??????+1
−??????
??????
??????
??????
=
1
ℎ
(??????
??????+1/2
??????
??????
??????+1
??????+1
−??????
??????
??????+1
ℎ
− ??????
??????−1/2
??????
??????
??????
??????+1
−??????
??????−1
??????+1
ℎ
),
(45) где s – номер итерации. Видно, что система (45) уже является линейной относительно
??????
??????
??????+1
, что позволяет воспользоваться методом прогонки и определить неизвестное поле температуры. Но при этом система (45) решается до тех пор пока поле температуры не перестанет отличаться от предыдущего приближения, те. в качестве условия остановки счета на данном временном слое можно использовать следующее соотношение max|??????
??????
??????+1
−??????
??????
??????
|
max|??????
??????
??????+1
|
≤ ??????,
(46) где
?????? – точность вычислений. Когда условие (46) выполняется, то
??????
??????
??????+1
= ??????
??????
??????+1
. В качестве начального приближения можно рассматривать следующее
??????
??????
??????=0
= ??????
??????
??????
.
Блок-схема к рассматриваемой задаче представлена на рис. 16.