Учебнометодическое пособие Волгоград 2016

• Название: Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
• Дата: 18.06.2018
• Размер: 0.92 Mb.
• Имя файла: UMP_Chislennoe_modelirovanie_teplovyh_processov_v_svarke.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #47203
• страница: 12 из 16

40
{
??????
1

(??????, ??????
∗

) = ??????
2

(??????, ??????
∗
),

−??????
1

∂??????
1

∂??????
|

??????=??????
∗
= Для простоты на границах хи х рассматриваются граничные условия первого рода. Граничное условие IV рода используется для определения прогоночных коэффициентов в точке
??????
∗
. Алгоритм решения сформулированной краевой задачи можно представить следующим образом. Сначала проводим аппроксимацию дифференциального уравнения конечными разностями, получаем систему линейных алгебраических уравнений вида (21), которую решаем методом прогонки. При нахождении прогоночных коэффициентов в области
0 ≤ ?????? < используем характеристики материала 1, а при
??????
∗
< ?????? ≤ ?????? – материала 2. В точке же х = необходимо использовать граничное условие IV рода. Выведем прогоночные коэффициенты в точке контакта двух сред.
{
??????

1,??????
∗

= ??????
2,??????
∗
,

−??????
1

∂??????
1

∂??????
|

??????=??????
∗
= Рассмотрим аппроксимацию первого порядка относительно шага по пространственной координате (рис. 15). При этом, принимая во внимание Рис. 15. Шаблон разностной сетки.
0
??????
∗
N
1
2
??????
∗
− 1
??????
∗
+ 1

41 то, что при
?????? < ??????
∗

?????? = ??????
1
, а при

?????? > ??????
∗

?????? = ??????
2
исключим в записи индексы, характеризующие среду. Получим следующие соотношения
{
??????

1,??????
∗

= ??????
2,??????
∗
,

−??????
1
??????
1,??????∗

−??????
??????∗−1
ℎ

= −??????
2
??????
??????∗+1

−??????
2,??????∗
ℎ
(37) Введем обозначение
??????

1,??????
∗
= Используя прогоночное соотношение
??????
??????
∗
−1

= ??????
??????
∗
−1
??????
??????
∗

+ ??????
??????
∗
−1
из второго равенства условий (37) получим
??????
??????
∗

− ??????
??????
∗
−1
??????
??????
∗
− или
??????
??????
∗
=
??????
2
??????
2

+??????
1

(1−??????
??????∗−1
)
??????
??????
∗
+1
+
??????
1
??????
??????∗−1
??????
2

+??????
1

(1−??????
??????∗−1
)
. Таким образом
{
??????
??????
∗
=
??????
2
??????
2

+??????
1

(1−??????
??????∗−1
)
,
??????
??????
∗
=
??????
1
??????
??????∗−1
??????
2

+??????
1

(1−??????
??????∗−1
)
(38) В случае же аппроксимации второго порядка относительно шага по пространственной координате получим
{
??????
??????
∗
=

2??????
1
??????
1

????????????
2 2??????
1
??????
1

??????(??????
2

+??????
1

(1−??????
??????∗−1
))+ℎ
2

(??????
1
??????
1

+??????
2
??????
2
)
,
??????
??????
∗
=

2??????
1
??????
1

????????????
1
??????
??????∗−1
+ℎ
2

(??????
1
??????
1

+??????
2
??????
2

)??????
??????∗
??????

2??????
1
??????
1

??????(??????
2

+??????
1

(1−??????
??????∗−1
))+ℎ
2

(??????
1
??????
1

+??????
2
??????
2
)
(39)
Блок-схема к рассматриваемой задаче имеет вид идентичный , изображенной на рис. 7, стем исключением, что сначала находят прогоночные коэффициенты для первого материала по формулам (20), а на границе используют соотношения (38) или (39), далее определяют прогоночные коэффициенты для второго материала по формулам (20).