Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
42 Задача теплопроводности с внутренними источниками Для примера рассмотрим нагревание металлического стержня диаметром с удельным электрическим сопротивлением длиной L проходящим электрическим током I. Для простоты пренебрегаем теплоотдачей с поверхности стержня, таким образом, температура по сечению стержня будет постоянна и его можно представить в виде бесконечной пластины толщиной L с адиабатическими условиями на границах. Исходя из условий задачи, в пластине действует равномерно распределенный источник тепла мощностью Q(x): ??????(??????) = ?????? уд , 0 < ?????? < ??????, ?????? уд = ???????????? 2 , ?????? = ??????/??????, ?????? = где S – площадь стержня. Математическая постановка задачи будет иметь вид ???????????? ∂?????? ∂?????? = ?????? ∂ 2 ?????? ∂?????? 2 + ??????(??????), 0 < ?????? < ??????. Начальные и граничные условия запишутся следующим образом ?????? = 0, ?????? = ?????? 0 , 0 ≤ ?????? ≤ ??????: ?????? = 0: − ???????????? ???????????? = ?????? 1 , ?????? > 0; ?????? = ??????: − ???????????? ???????????? = ?????? 2 , ?????? > 0: ?????? 1 = ?????? 2 = 0. Для решения сформулированной краевой задачи применим метод конечных разностей на основе неявной четырехточечной схемы. В результате аппроксимации частных производных получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений ???????????? ?????? ?????? ??????+1 −?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? ( ?????? ??????+1 ??????+1 −2?????? ?????? ??????+1 +?????? ??????−1 ??????+1 ℎ 2 ), ?????? = 2, … , ?????? − 1, ?????? ≥ 0. (40) Полученную систему можно свести к наиболее общему виду ?????? ?????? ?????? ??????+1 ??????+1 − ?????? ?????? ?????? ?????? ??????+1 + ?????? ?????? ?????? ??????−1 ??????+1 = ?????? ?????? , где ?????? ?????? = ?????? ?????? = ?????? ℎ 2 , ?????? ?????? = 2?????? ℎ 2 + ???????????? ?????? , ?????? ?????? = − ???????????? ?????? ?????? ?????? ?????? + ?????? ?????? ?????? 43 Прогоночные коэффициенты находятся по формулам (20). Далее неизвестное поле температуры определяется по выражению (19). Одномерное уравнение теплопроводности с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности Рассмотренные выше решения для температурных полей в одномерной и двумерной постановке получены при условии постоянства коэффициента теплопроводности. В действительности коэффициент теплопроводности достаточно часто зависит от температуры . Нелинейное одномерное уравнение теплопроводности в этом случае будет иметь вид ???????????? ∂?????? ∂?????? = ∂ ∂?????? (??????(??????) ∂?????? ∂?????? ) , 0 < ?????? < ??????. (41) Для уравнения (41) рассмотрим краевую задачу ?????? = 0, ?????? = ?????? 0 , 0 ≤ ?????? ≤ ??????: ?????? = 0: ?????? = л, ?????? > 0; (42) ?????? = ??????: ?????? = ?????? ?????? , ?????? > 0: Эту задачу также будем решать на равномерной сетке и разбиваем пластину по толщине на (равных промежутков. Далее заменим дифференциальные операторы в (41), (42) на их ко- нечно-разностные аналоги. Поскольку отличие заключается в появлении коэффициента теплопроводности, зависящего от температуры, то основной акцент сделаем на аппроксимации диффузионного члена. Рассмотрим сначала явно-неявную схему. ∂ ∂?????? (??????(??????) ∂?????? ∂?????? ) = 1 ℎ (?????? ??????+1/2 ?????? ?????? ??????+1 ??????+1 −?????? ?????? ??????+1 ℎ − ?????? ??????−1/2 ?????? ?????? ?????? ??????+1 −?????? ??????−1 ??????+1 ℎ ), где ?????? ??????+1/2 ?????? = ?????? ?????? ?????? +?????? ??????+1 ?????? 2 , Таким образом, в результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений |