Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
15 Одномерное уравнение теплопроводности В качестве примера рассмотрим краевую задачу на основе одномерного уравнения теплопроводности. Анализируется теплопередача через плоскую бесконечную пластину или изолированный стержень (рис. 4). На одном торце стержня поддерживается постоянная температура Т л , на другом температура Т п . Начальная температура равна T 0 , источники тепловыделения внутри стержня отсутствуют. При заданных условиях температура будет изменяться только в направлениях, перпендикулярных сечению стержня. Если ось Ох направить, как показано на рис. 1, то температура в направлении О и О может считаться постоянной. Также предположим, что теплофизические характеристики не зависят от температуры. В связи с этим дифференциальное уравнение (1.14) преобразуется к виду ???????????? ???????????? ???????????? = ?????? ?????? 2 ?????? ???????????? 2 , 0 < x < L. (15) Начальные и граничные условия запишутся следующим образом ?????? = 0: ?????? = ?????? 0 , 0 ≤ ?????? ≥ ??????; ?????? = 0: ?????? = л, ?????? > 0; (16) ?????? = ??????: ?????? = ?????? ?????? , ?????? > 0. Для того чтобы дать полное математическое описание рассматриваемой задачи, необходимо еще задать физические условия однозначности. Эту задачу будем решать методом конечных разностей на равномерной сетке. Для этого разобьем пластину по толщине на N-1 равных промежутков, те. построим конечно-разностную сетку (рис. 5): Рис. 4. Геометрия задачи x л L 16 Определим значение температуры в м узле в момент времени t = t п =п·τ как Т(х i ;, п) = Т. Здесь τ – шаг интегрирования повременной координат, п – номер шага повремени. Далее заменим дифференциальные операторы в (15) на их конеч- но-разностные аналоги. Будем пользоваться неявной схемой. ???????????? ???????????? = ?????? ?????? ??????+1 −?????? ?????? ?????? ?????? , В результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): ???????????? ?????? ?????? ??????+1 −?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? ( ?????? ??????+1 ??????+1 −2?????? ?????? ??????+1 +?????? ??????−1 ??????+1 ℎ 2 ), ?????? = 2, … , ?????? − 1, ?????? ≥ 0. (17) Выбранную схему аппроксимации частных производных можно графически представить следующим образом На рис. 6 показано, что используется четырехточечная разностная схема – три точки берутся на новом временном слое и одна со старого временного слоя. Сформулированный выше способ аппроксимации производных называется неявным потому, что поле температуры на новом временном слое представлено неявно, те. для его определения необходимо решать Рис. 5.Конечно-разностная сетках, х, х – координаты внутренних узлов х, х – координаты граничных узлов 0 L x 2 x 1 x i x N-1 x N 17 систему уравнений (17). Полученную систему можно свести к наиболее общему виду ?????? ?????? ?????? ??????+1 ??????+1 − ?????? ?????? ?????? ?????? ??????+1 + ?????? ?????? ?????? ??????−1 ??????+1 = ?????? ?????? , (18) где ?????? ?????? = ?????? ?????? = ?????? ℎ 2 , ?????? ?????? = 2?????? ℎ 2 + ???????????? ?????? , ?????? ?????? = Такие уравнения называют трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Система (18) имеет трехдиагональную структуру. В связи стем, что рассматривается нестационарная задача, систему (18) необходимо решать на каждом шаге повремени. Предположим, что существуют такие наборы чисел α i и β i (i = 1,2 … N-1), при которых ?????? ?????? ??????+1 = ?????? ?????? ?????? ??????+1 ??????+1 + ?????? ?????? , те. трехточечное уравнение второго порядка (18) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (19). Уменьшим в связи с (19) индекс на единицу и полученное выражение ?????? ??????−1 ??????+1 = ?????? ??????−1 ?????? ?????? ??????+1 + ?????? ??????−1 , подставим в данное уравнение (18): Рис. 6. Шаблон неявной четырехточечной разностной схемы t x h i=1 i-1 i i+1 i=N τ n+1 n n=0 |