Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия
 Скачать 1.64 Mb.
|
|
0 , имеет уравнения x = 6 + 3t, y = 2, z = 8 + 4t. Аналогично находятся уравнения второй прямоли- нейной образующей. Задача 28. Показать, что поверхность Φ, описываемая одной из двух скрещивающихся прямых при ее вращении вокруг дру- гой, является однополостным гиперболоидом. Решение. Выберем прямоугольную систему координат в E 3 , в которой прямая ` 1 , являющаяся осью вращения, совпадает с 115 осью Oz, а общий перпендикуляр двух скрещивающихся пря- мых совпадает с осью Oy. Тогда вторая прямая ` 2 лежит в плос- кости y = a, параллельной плоскости Oxz, и поэтому может быть задана системой уравнений z = kx, y = a. (162) Произвольная точка M (x, y, z) ∈ Φ получается вращением во- круг оси Oz некоторой точки A(x A , y A , z A ) ∈ ` 2 . Координаты точек M и A связаны соотношениями z A = z, x 2 A + y 2 A = x 2 + y 2 (163) z A O M x y Рис. 64. Поскольку точка A лежит на прямой ` 2 , то ее координаты удовлетворяют уравнениям (162): z A = kx A , y A = a. Поэтому x 2 A + y 2 A = z 2 A k 2 + a 2 (164) Подставляя в равенство (164) выражения (163) для координат точки A через координаты точки M , получим уравнения, кото- 116 рым удовлетворяют координаты точки M : x 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = 1, где c = ka, совпадающие с каноническими уравнениями однополостного ги- перболоида вращения (144). Очевидно, этот же самый гиперболоид получится и при вра- щении вокруг оси Oz прямой z = −kx, y = a. Рекомендуемая литература: [1], Гл. VII; [2], Гл. XIV. Задачи и упражнения: [2], 1540, 1544, 1552, 1555, 1559, 1560, 1595, 1596, 1597, 1600, 1613, 1616, 1617, 1639, 1641, 1644, 1657, 1658; [13], 894, 904, 907, 909, 910, 913, 920, 922, 931, 932, 933. 117 Список литературы [1] Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линей- ной алгебры. М. Наука. 1979. 512 с. [2] Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник за- дач по аналитической геометрии. М. Наука. 1964. [3] Игудесман К.Б. Задачи по аналитической геометрии. Часть 2. Учебное пособие к курсу «Аналитическая геомет- рия». Казанск. ун-т. 2008. 60 с. [4] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. На- ука. 1981. 232 с. [5] Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геомет- рия. М. Наука. 1986. 304 с. [6] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1971. 432 с. [7] Малахальцев М.А., Фомин В.Е., Шапуков Б.Н., Шурыгин В.В. Задачи по тензорному анализу и римановой геомет- рии. Учебное пособие. Изд.–во Казанск. ун-та. 1993. 160 с. [8] Постников М.М. Аналитическая геометрия (Лекции по геометрии. Семестр I). М. Наука. 1979. 336 с. [9] Постников М.М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). М. Наука. 1986. 400 с. [10] Постников М.М. Группы и алгебры Ли (Лекции по геомет- рии. Семестр V). М. Наука. 1982. 448 с. [11] Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М. Наука. 1967. 384 с. [12] Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М. Наука. 1966. 648 с. 118 [13] Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М. Наука. 1964. 336 с. [14] Шурыгин В.В. Аналитическая геометрия I. Казань, КГУ, 2007. 108 с. [15] Шурыгин В.В. Аналитическая геометрия. Часть 3. Многомерные пространства. Гиперповерхности второ- го порядка. Учебное пособие к курсу аналитической геометрии. Казань, КГУ, 2008. 100 с. (Сайт КФУ). http://www.kpfu.ru/f5/shurygin/geom3.pdf 119 Содержание 1. Преобразование координат в аффинном простран- стве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Векторное и смешанное произведения векторов 22 3. Элементы сферической геометрии . . . . . . . . . . . . . . 40 4. Сопряженное векторное пространство . . . . . . . . . . 46 5. Плоскость и прямая в трехмерном аффинном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6. Пространство E ∗ n , сопряженное евклидову вектор- ному пространству E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7. Плоскость и прямая в трехмерном евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8. Поверхности второго порядка в трехмерном прост- ранстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 120 |