Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия
 Скачать 1.64 Mb.
|
|
sin a = sin B sin b = sin C sin c , (44) называемым сферической теоремой синусов. При рассмотрении сферы произвольного радиуса R формулы (42) и (44) переходят соответственно в следующие: cos c R = cos a R cos b R + sin a R sin b R cos C (45) и sin A sin a R = sin B sin b R = sin C sin c R (46) При стремлении R к бесконечности cos c R = 1 − c 2 2R 2 + o 1 R 2 , sin c R = c R + o 1 R 2 (47) Подставляя формулы (47) в (45) и (46) и переходя к пределу при R → ∞, получим, что при стремлении R к бесконечности сферические теоремы косинусов и синусов переходят в соответ- ствующие теоремы евклидовой геометрии. Сферический треугольник ABC является пересечением трех сферических двуугольников со сторонами, соответственно, ABA 0 43 и ACA 0 , BAB 0 и BCB 0 , CAC 0 и CBC 0 . Площади этих двууголь- ников равны соответственно 2AR 2 , 2BR 2 и 2CR 2 . Объединение трех удвоенных таких двуугольников покрывает сферу S, но при этом каждый из (равных) треугольников ABC и A 0 B 0 C 0 по- крывается три раза. Отсюда для площади S 4ABC треугольника ABC получаем следующее соотношение: 4(A + B + C)R 2 = 4πR 2 + 4S 4ABC ⇐⇒ ⇐⇒ S 4ABC = (A + B + C − π)R 2 (48) Величина δ = A + B + C − π, входящая в формулу (48) для площади сферического треугольника, называется угловым из- бытком. Замечание. Если отождествить диаметрально противополож- ные точки сферы S, то есть перейти к фактор-множеству S/ ∼ по следующему отношению эквивалентности: M ∼ N, если r M = ±r N , то возникает так называемая эллиптическая плоскость Римана — одна из двумерных неевклидовых геометрий, в кото- рой прямыми линиями являются большие окружности с отож- дествленными диаметрально противоположными точками. Вся- кие две различные прямые эллиптической плоскости пересека- ются в одной точке. Из формулы (48), в частности, следует, что на эллиптической плоскости (и на сфере) сумма углов любого треугольника больше 180 ◦ Полярный треугольник. Пусть S — сфера радиуса 1 с центром в начале координат O в пространстве E 3 и ABC — треугольник на сфере S. Треугольник A ∗ B ∗ C ∗ , вершины которого задаются радиус-векторами: r A ∗ = [r B , r C ] |[r B , r C ] | , r B ∗ = [r C , r A ] |[r C , r A ] | , r C ∗ = [r A , r B ] |[r A , r B ] | , (49) называется треугольником, полярным треугольнику ABC. Ра- диус-векторы r A , r B , r C вершин треугольника ABC образуют 44 базис в пространстве E 3 , и радиус-векторы r A ∗ , r B ∗ , r C ∗ вершин полярного треугольника направлены так же как и векторы вза- имного базиса r ∗ A , r ∗ B , r ∗ C : r A ∗ ↑↑ r ∗ A , r B ∗ ↑↑ r ∗ B , r C ∗ ↑↑ r ∗ C Отсюда, в частности, следует, что треугольник ABC является полярным треугольником треугольника A ∗ B ∗ C ∗ Сторона c ∗ = ^A ∗ B ∗ измеряется углом между векторами r A ∗ и r B ∗ или, в соответствии с (49), углом между векторами [r B , r C ] и [r C , r A ]. Поскольку [r B , r C ] = −[r C , r B ], а угол между [r C , r B ] и [r C , r A ] равен углу C, то c ∗ = π − C. Аналогичные соотно- шения получаются и для сторон a ∗ и b ∗ . В результате, стороны треугольника A ∗ B ∗ C ∗ и углы треугольника ABC оказываются связанными соотношениями a ∗ = π − A, b ∗ = π − B, c ∗ = π − C. (50) Поскольку треугольники ABC и A ∗ B ∗ C ∗ взаимно полярны, то стороны треугольника ABC и углы треугольника A ∗ B ∗ C ∗ свя- заны аналогичными соотношениями A ∗ = π − a, B ∗ = π − b, C ∗ = π − c. (51) Записывая теорему косинусов (42) для треугольника A ∗ B ∗ C ∗ и заменяя стороны и углы треугольника A ∗ B ∗ C ∗ их выражениями (50) и (51) через углы и стороны треугольника ABC, получим cos c ∗ = cos a ∗ cos b ∗ + sin a ∗ sin b ∗ cos C ∗ ⇔ cos(π − C) = cos(π − A) cos(π − B) + sin(π − A) sin(π − B) cos(π − c) ⇔ − cos C = ( − cos A(− cos B) + sin A sin B(− cos c) или, окончательно, cos C = − cos A cos B + sin A sin B cos c. (52) Соотношение между сторонами и углами сферического треуголь- ника, выражаемое формулой (52), называется двойственной сфе- рической теоремой косинусов. Двойственная теорема косину- сов (52) позволяет найти стороны сферического треугольника, 45 если известны его углы. В частности, из нее следует, что сфери- ческий треугольник с точностью до равенства определяется сво- ими углами. Поэтому на сфере (и на эллиптической плоскости, см. Замечание выше) имеет место еще один признак равенства треугольников: если углы одного треугольника равны соответ- ственным углам другого треугольника, то такие треугольни- ки равны. 4 Сопряженное векторное пространство. Прямая на аффинной плоскости A 2 задается уравнением A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 = 0, а плоскость в трехмерном аффинном простран- стве A 3 уравнением A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 = 0. Рассмотрим, в более общей ситуации, уравнение A i x i + A n+1 = 0, задающее гиперплоскость (то есть (n − 1)-плоскость) в аффинном прост- ранстве A n . Если в уравнение гиперплоскости подставить фор- мулы (6) преобразования аффинных координат: x i = p i i 0 x i 0 + b i , то рассматриваемая гиперплоскость в новой системе координат будет задаваться уравнением A i 0 x i 0 + A (n+1) 0 = 0, где A i 0 = p i i 0 A i (53) Формулы (53) преобразования коэффициентов A i аналогичны формулам (4) преобразования координат вектора a i 0 = p i 0 i a i : од- ни получаются из других транспонированием. Это объясняет- ся тем, что наборы коэффициентов {A i } являются координата- ми некоторого вектора из векторного пространства V ∗ n , сопря- женного векторному пространству V n , ассоциированному с аф- финным пространством A n . В частности, наборы коэфициентов {A 1 , A 2 } и {A 1 , A 2 , A 3 } уравнений прямых и плоскостей оказы- ваются, соответственно, наборами координат некоторых векто- ров из векторных пространств V ∗ 2 и V ∗ 3 , сопряженных вектор- 46 ным пространствам V 2 и V 3 , ассоциированным с аффинными пространствами A 2 и A 3 4.1 Линейные формы на векторном пространстве. Линейной функцией или линейной формой на векторном про- странстве V n называется линейное отображение f : V n → R. Напомним, что линейность f означает, что f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) для любых λ, µ ∈ R, a, b ∈ V n Обозначим символом V ∗ n множество всех линейных форм на V n Естественным образом определяются операции сложения линей- ных форм и умножения линейной формы на вещественное чис- ло: (f 1 + f 2 )(a) = f 1 (a) + f 2 (a), (λ · f)(a) = λ · (f(a)). При этом отображения f 1 + f 2 : V n → R и λ · f : V n → R оказываются снова линейными, то есть f 1 +f 2 ∈ V ∗ n и λ·f ∈ V ∗ n Проверим это для отображения f 1 + f 2 . Имеем: (f 1 + f 2 )(λa + µb) = f 1 (λa + µb) + f 2 (λa + µb) = λf 1 (a) + µf 1 (b) + λf 2 (a) + µf 2 (b) = λ(f 1 (a) + f 2 (a)) + µ(f 1 (b) + f 2 (b)) = λ(f 1 + f 2 )(a) + µ(f 1 + f 2 )(b). Предложение. Множество V ∗ n с введенными операциями + : V ∗ n × V ∗ n 3 {f 1 , f 2 } 7→ f 1 + f 2 ∈ V ∗ n и · : R × V ∗ n 3 {λ, f} 7→ λ · f ∈ V ∗ n является векторным пространством размерности n. Доказательство. Аксиомы векторного пространства 1 ◦ – 8 ◦ легко выводятся из соответствующих свойств поля веществен- ных чисел R, являющегося одномерным векторным простран- ством. Отметим только, что нулевым вектором в V ∗ n является 47 линейная форма e 0 , принимающая нулевое значение на всех век- торах из V n : e 0 (a) = 0 для любого a ∈ V n , а противоположным вектором к f ∈ V ∗ n является линейная форма −f = (−1) · f. 2 Определение. Векторное пространство V ∗ n называется прост- ранством, сопряженным пространству V n Элементы пространства V ∗ n будем обозначать в дальнейшем полужирными латинскими буквами с волнистой линией наверху (эта линия называется «тильда»): ea, e b и так далее. Чтобы определить размерность пространства V ∗ n , достаточ- но найти в этом пространстве какой-нибудь базис. Пусть {e i }, i, j, . . . = 1, 2, . . . , n, — некоторый базис в V n , и a = a i e i — разло- жение произвольного вектора из пространства V n по векторам этого базиса. Отображение ee i : V n 3 a 7→ a i ∈ R, относящее вектору a его i-тую координату относительно базиса {e i }, является линейным и, следовательно, ee i ∈ V ∗ n . Проверим, что {ee i }, i = 1, 2, . . . , n, — базис в пространстве V ∗ n . Действи- тельно, всякая линейная форма e w может быть представлена в виде линейной комбинации форм ee i : e w (a) = e w (a i e i ) = a i e w (e i ) = e w (e i ) ee i (a) = ( e w (e i ) ee i )(a). Таким образом, e w = w i ee i , где w i = e w (e i ). Остается показать, что линейные формы {ee i } линейно незави- симы. Нам потребуется следующее соотношение, вытекающее непосредственно из определения форм ee i : ee i (e j ) = δ i j Предположим теперь, что λ i ee i = e 0 . Тогда (λ i ee i )(a) = 0 для любого вектора a ∈ V n . Следовательно, в частности, для любого j = 1, 2, . . . , n имеем: (λ i ee i )(e j ) = 0 = ⇒ λ i ee i (e j ) = 0 = ⇒ 48 λ i δ i j = 0 = ⇒ λ j = 0. Таким образом, нулю может равняться только тривиальная комбинация форм {ee i }. Определение. Базис {ee i } пространства V ∗ n называется бази- сом, сопряженным базису {e i } пространства V n Числа w i = e w (e i ) являются координатами линейной формы e w в базисе {ee i } пространства V ∗ n . Их называют также коор- динатами линейной формы e w в базисе {e i } начального вектор- ного пространства V n Если линейная форма e w и вектор a заданы своими коорди- натами w i и a i в базисе {e i }, то e w (a) = w i a i = w 1 a 1 + w 2 a 2 + . . . + w n a n (54) Действительно, e w (a) = w i ee i (a) = w i a i Замечание. Очевидно, отображение e w : V n → R, определя- емое формулой (54) в некотором базисе пространства V n , яв- ляется линейной формой на V n . Действительно, e w (λa + µb) = w i (λa i + µb i ) = λw i a i + µw i b i = λ e w (a) + µ e w (b). 4.2 Второе сопряженное пространство. Пространство V ∗∗ n , сопряженное V ∗ n , состоит из линейных форм b u : V ∗ n → R. Предложение. Имеется канонический изоморфизм ϕ : V n 3 a 7→ ba ∈ V ∗∗ n , определяемый следующим образом: ba( e w ) = e w (a). (55) Доказательство. Из формулы (54) и сделанного выше заме- чания следует, что ba( e w ) = a i w i = a 1 w 1 + a 2 w 2 + . . . + a n w n , 49 поэтому ba — линейная форма, то есть ba ∈ V ∗∗ n . Этот факт сле- дует также непосредственно из определения (55): ba(λe u + µ e w ) = (λ e u + µ e w )(a) = λ e u (a) + µ e w (a) = λ ba(e u ) + µ ba( e w ). Легко прове- ряется, что ϕ : λa + µb 7→ λba + µb b . Действительно, используя обозначение ba = ab, имеем: (λa + µb)b( e w ) = e w (λa + µb) = λ e w (a) + µ e w (b) = λ ba( e w ) + µb b ( e w ) = (λ ba + µb b )( e w ). Для того, что- бы доказать, что ϕ — изоморфизм, достаточно показать, что для любого базиса {e i }, i = 1, . . . , n, пространства V n набор векто- ров {be i = ϕ(e i ) }, i = 1, . . . , n, представляет собой базис прост- ранства V ∗∗ n , сопряженный базису {ee i }. При этом отображение ϕ устанавливает соответствие между векторами пространств V n и V ∗∗ n , имеющими одинаковые координаты, соответственно, в ба- зисах {e i } и {be i }. Действительно, be i ( e w ) = e w (e i ) = w i , и, по определению сопряженного базиса, набор {be i } — базис прост- ранства V ∗∗ n , сопряженный базису {ee i }. 2 Принято отождествлять пространства V n и V ∗∗ n , считая, что a ≡ ba. При этом e w (a) = a( e w ) = h e w , ai, где δ : V ∗ n × V n 3 { e w , a} 7→ h e w , ai ∈ R — билинейное отображение, называемое операцией свертки ли- нейной формы и вектора. 4.3 Преобразование координат линейной формы. При замене базиса e i 0 = p i i 0 e i в V n координаты линейной формы e w преобразуются следующим образом: w i 0 = p i i 0 w i = p 1 i 0 w 1 + p 2 i 0 w 2 + . . . + p n i 0 w n , w i = p i 0 i w i 0 (56) Для доказательства этого нужно вычислить значения формы e w на векторах нового базиса: w i 0 = e w (e i 0 ) = e w (p i i 0 e i ) = p i i 0 e w (e i ) = 50 p i i 0 w i . В матричном виде формулы (56) выглядят следующим образом: (w 1 0 w 2 0 . . . w n 0 ) = (w 1 w 2 . . . w n ) p 1 1 0 p 1 2 0 . . . p 1 n 0 p 2 1 0 p 2 2 0 . . . p 2 n 0 p n 1 0 p n 2 0 . . . p n n 0 . (57) Закон преобразования (56) называется ковариантным, а закон преобразования (3) контравариантным. Поэтому линейные фор- мы называют также ковариантными векторами или ковекто- рами. 4.4 Аннулятор подпространства L m ⊂ V n Определение. Пусть S — некоторое подмножество в вектор- ном пространстве V n . Линейной оболочкой L(S) этого подмно- жества называется множество векторов из V n , представи- мых в виде линейных комбинаций векторов из S, то есть: L(S) = {a ∈ V n | a = λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + . . . + λ k b k }, где λ 1 , . . . , λ k ∈ R, b 1 , . . . , b k ∈ S, k — произвольное нату- ральное число. Очевидно, L(S) — подпространство в V n , и L(S) — наимень- шее подпространство, содержащее подмножество S, то есть под- пространство, содержащееся во всяком подпространстве, содер- жащем подмножество S. Определение. Пусть S — некоторое подмножество в век- торном пространстве V n . Аннулятором этого подмножества называется подмножество в сопряженном пространстве V ∗ n , состоящее из линейных форм, принимающих значение нуль на всех векторах из S: Ann (S) = { e w ∈ V ∗ n | e w (a) = 0 ∀a ∈ S}. 51 Предложение. 1) Ann (S) ⊂ V ∗ n — подпространство; 2) Ann (L(S)) = Ann (S). Доказательство. 1) e u , e v ∈ Ann (S) =⇒ e u (a) = e v (a) = 0 для любого a ∈ S =⇒ (λe u + µ e v )(a) = 0 для любого a ∈ S =⇒ λ e u + µ e v ∈ Ann (S). 2) Включение "⊂". Так как S ⊂ L(S) и всякая линейная форма, обращающаяся в нуль на большем подмножестве L(S), обращается в нуль и на меньшем подмножестве S, то, очевидно, Ann ( L(S)) ⊂ Ann (S). Включение "⊃". Пусть e u ∈ Ann (S). Произвольный элемент a ∈ L(S) имеет вид a = λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + . . . + λ k b k , где λ 1 , . . . , λ k ∈ R , b 1 , . . . , b k ∈ S. Тогда e u (a) = λ 1 e u (b 1 ) + λ 2 e u (b 2 ) + . . . + λ k e u (b k ) = 0 = ⇒ e u ∈ Ann (L(S)). Таким образом, Ann (L(S)) ⊃ Ann (S). 2 Следствие. Пусть {b 1 , . . . , b m } — базис в подпространстве L m ⊂ V n , тогда Ann (L m ) = Ann ( {b 1 , . . . , b m }). В координатах для нахождения аннулятора Ann (L m ) нужно решить систему линейных однородных уравнений b 1 α w 1 + b 2 α w 2 + . . . + b n α w n = 0, α = 1, . . . , m, относительно координат w i линейной формы e w , матрица кото- рой (b i α ), α = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n, составлена из координат векторов {b 1 , . . . , b m }, образующих базис подпространства L m Поскольку ранг этой матрицы равен m, то решения системы образуют подпространство размерности n − m (см. [6], §12). От- сюда следует Предложение. dim Ann (L m ) = n − dim (L m ) = n − m. 52 Следующее предложение устанавливает взаимно однозначное соответствие между подпространствами в V n и V ∗ n Предложение. Ann(Ann (L m )) = L m Доказательство. Если a ∈ L m , то h e w , ai = 0 для любого e w ∈ Ann (L m ) и, следовательно, a ∈ Ann(Ann (L m )). Поэто- му L m ⊂ Ann(Ann (L m )). Но по предыдущему предложению dim Ann(Ann (L m )) = n − (n − m) = m = dim L |