Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия
 Скачать 1.64 Mb.
|
|
− 2u прямой ` во внутренней системе координат. Подставляя эти уравнения в (76), находим x 1 = −2+ 11u, x 2 = 3 − 7u, x 3 = −3 + 5u. 4) Подставляя параметрические уравнения (76) в уравнение 2x 1 −x 2 +x 3 −5 = 0, получаем уравнение 2(2+3t 1 −4t 2 ) −(1−3t 1 + 2t 2 ) + ( −1 + t 1 − 2t 2 ) − 5 = 0 ⇐⇒ 5t 1 − 6t 2 + 1 = 0, решая которое, находим внутренние параметрические уравнения прямой `: t 1 = 1 + 6u, t 2 = 1 + 5u. Рекомендуемая литература: [1], Гл. I, §6; [2], Гл. XII. Задачи и упражнения: [2], 1310, 1320, 1321, 1324, 1325, 1327, 1329, 1330, 1331, 1332, 1335, 1336, 1357, 1358, 1359, 1398, 1399, 1401, 1402, 1403, 1420, 1422, 1423. 64 5.4 Взаимное расположение прямых и плоскостей. 1 . Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть плоскости α и β заданы, соответственно, уравнениями: A i x i + A 4 = 0 и B i x i + B 4 = 0. Для исследования взаимного расположения этих плоскостей рассмотрим систему уравнений A i x i + A 4 = 0, B i x i + B 4 = 0 (77) и связанные с ней матрицы S = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 ! , e S = A 1 A 2 A 3 A 4 B 1 B 2 B 3 B 4 ! Исследование системы уравнений (77) дает следующий резуль- тат: 1. Если rank S = 2, то решение системы уравнений (77) имеет вид x i = x i 0 + ta i и задает некоторую прямую `. Таким образом, в этом случае плоскости α и β пересекаются по прямой `. 2. Если rank S = 1, а rank e S = 2, то направляющие подпро- странства плоскостей α и β совпадают. Поскольку система (77) несовместна, то общих точек у плоскостей α и β нет. Таким об- разом, в этом случае плоскости α и β параллельны. 3. Если rank S = rank e S = 1, то уравнения системы (77) про- порциональны. В этом случае плоскости α и β совпадают. 2 . Взаимное расположение трех плоскостей. Пусть плоскости α, β и γ заданы, соответственно, уравнениями: A i x i + A 4 = 0, B i x i + B 4 = 0 и C i x i + C 4 = 0. Для исследования взаимного расположения этих плоскостей рассмотрим систему уравнений A i x i + A 4 = 0, B i x i + B 4 = 0, C i x i + C 4 = 0 (78) 65 и связанные с ней матрицы S = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 , e S = A 1 A 2 A 3 A 4 B 1 B 2 B 3 B 4 C 1 C 2 C 3 C 4 . 1. Если rank S = 3, то линейные формы e A , e B и e C , задаю- щие направляющие подпространства плоскостей α, β и γ, ли- нейно независимы. Система уравнений (78) имеет единственное решение. Плоскости α, β и γ имеют одну общую точку M 0 , ко- ординаты которой являются решением системы уравнений (78). Поскольку линейные формы M 0 β γ α Рис. 23. e A , e B и e C образуют базис сопряженного про- странства V ∗ 3 , то произвольная плос- кость D i x i + D 4 = 0, проходящая через точку M 0 , может быть задана уравне- нием λ(A i x i + A 4 ) + µ(B i x i + B 4 ) + ν(C i x i + C 4 ) = 0. (79) Действительно, для нахождения коэффициентов λ, µ и ν нуж- но разложить линейную форму e D = {D 1 , D 2 , D 3 } по базису { e A , e B , e C }. Говорят, что уравнением (79) задается связка плос- костей или 2-параметрический пучок (параметры λ, µ и ν су- щественны с точностью до пропорциональности, и в конкретных задачах один из них, как правило, можно положить равным 1). 2. Если rank S = 2, а rank e S = 3, то система (78) несовместна и точек, принадлежащих всем трем плоскостям, нет. Аннулятор подпространства L( e A , e B , e C ) имеет размерность 1. Таким обра- зом, направляющие подпространства плоскостей α, β и γ имеют общее одномерное подпространство, а сами плоскости парал- лельны прямой, направляющий вектор которой принадлежит 66 указанному аннулятору. Две из линейных форм { e A , e B , e C } мо- гут оказаться пропорциональными — в этом случае две из трех плоскостей будут параллельны (см. рисунки 24, 25). Рис. 24. Рис. 25. 3. Если rank S = rank e S = 2, то Рис. 26. систе- ма (78) совместна, а ее решение имеет вид x i = x i 0 + ta i и задает некоторую прямую `. Таким образом, в этом слу- чае плоскости α, β и γ принадлежат одному пучку (см. рисунок 26). 4. Если rank S = 1, а rank e S = 2, то система (78) несовместна, а направляющие подпространства всех трех плоскостей совпадают. Плоскости параллельны, две из них могут совпадать (см. рисунок 27). Рис. 27. 5. Если rank S = rank e S = 1, то все три уравнения системы (78) пропорциональны одно другому. В этом случае плоскости 67 α, β и γ совпадают. 3 . Взаимное расположение прямой и плоскости. Пусть заданы прямая `, имеющая параметрические уравнения r = r 0 + ta ⇐⇒ x i = x i 0 + ta i , i = 1, 2, 3, (80) и плоскость π с уравнением A i x i + A 4 = 0. (81) Для выяснения того, что представляет собой множество общих точек прямой и плоскости ` ∩ π, подставим уравнения (80) в уравнение (81): A i (x i 0 + ta i ) + A 4 = 0 ⇐⇒ (A i a i )t + A i x i 0 + A 4 = 0. (82) Возможны следующие случаи: 1. A i a i 6= 0 ⇐⇒ a M 1 M 0 Рис. 28. h e A , ai 6= 0. В этом случае направляющие подпространства прямой и плоскости не имеют общих нену- левых векторов. Уравнение (82) имеет единственное решение, а именно: t = t 1 = −(A i x i 0 +A 4 )/(A i a i ). Прямая и плоскость имеют одну общую точку M 1 (t 1 ) (см. рисунок 28). 2. A i a i = 0, (A i x i 0 +A 4 ) 6= 0. Общих точек у прямой и плоскости нет, а направляющее подпространство прямой V 1 (`) = L(a) со- держится в направляющем подпространстве плоскости V 2 (π) = Ann( e A ). Прямая и плоскость параллельны (см. рисунок 29). π ` a a M 0 Рис. 29. π ` M 0 a Рис. 30. 68 3. A i a i = 0, A i x i 0 + A 4 = 0. В этом случае V 1 (`) ⊂ V 2 (π), M 0 (x i 0 ) ∈ π, и прямая ` лежит в плоскости π (см. рисунок 30). 4 . Взаимное расположение двух прямых. Пусть две прямые ` 1 и ` 2 заданы, соответственно, уравнениями r = r 1 + t 1 a 1 и r = r 2 + t 2 a 2 Общие точки прямых ` 1 и ` 2 удовлетворяют уравнению r 1 + t 1 a 1 = r 2 + t 2 a 2 ⇐⇒ t 1 a 1 − t 2 a 2 + r 1 − r 2 = 0 или, в координатах, системе уравнений a i 1 t 1 − a i 2 t 2 + x i 1 − x i 2 = 0, i = 1, 2, 3. (83) Возможны следующие случаи: 1. Векторы a 1 , a 2 и r 1 − r 2 ли- нейно не зависимы. В этом слу- чае прямые ` 1 и ` 2 скрещивают- ся. Они расположены в параллель- ных плоскостях π 1 : r = r 1 + λ 1 a 1 + λ 2 a 2 и π 2 : r = r 2 + λ 1 a 1 + λ 2 a 2 . Система уравнений (83) не- совместна (см. рисунок 31.) π 1 π 2 a 2 ` 2 a 1 ` 1 r 1 − r 2 Рис. 31. 2. dim L(a 1 , a 2 , r 1 − r 2 ) = 2, a 1 /k a 2 , r 1 − r 2 ∈ L(a 1 , a 2 ). В этом случае система уравнений (83) имеет единственное реше- ние. Прямые ` 1 и ` 2 пересекаются в одной точке и лежат в плос- кости π : r = r 1 + λ 1 a 1 + λ 2 a 2 (см. рисунок 32.) r 1 r 2 M 0 π Рис. 32. π a 1 a 2 r 1 r 2 Рис. 33. 69 3. dim L(a 1 , a 2 , r 1 − r 2 ) = 2, a 1 k a 2 , r 1 − r 2 / ∈ L(a 1 ). Систе- ма уравнений (83) несовместна. Прямые ` 1 и ` 2 параллельны в строгом смысле слова. Они расположены в плоскости π : r = r 1 + λ 1 a 1 + λ 2 (r 2 − r 1 ) (см. рисунок 33.) 4. dim L(a 1 , a 2 , r 1 − r 2 ) = 1, a 1 k a 2 , r 1 − r 2 ∈ L(a 1 ). Прямые ` 1 и ` 2 совпадают. Решение системы уравнений (83) представляет собой замену системы координат на прямой: t 2 = At 1 + B. Следствия. 1) Прямые ` 1 и ` 2 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда dim L(a 1 , a 2 , r 1 − r 2 ) 6 2 ⇐⇒ x 1 1 − x 1 2 x 2 1 − x 2 2 x 3 1 − x 3 2 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 = 0. (49) 2) Прямые ` 1 и ` 2 пересекаются в одной точке в том и толь- ко том случае, когда выполняется соотношение (49) и a 1 ∦ a 2 3) Прямые ` 1 и ` 2 параллельны в строгом смысле слова в том и только том случае, когда a 1 k a 2 ∦ (r 1 − r 2 ). 5.5 Примеры. Задача 14. Установить взаимное расположение прямых ` 1 и ` 2 , заданных следующими уравнениями: 1) ` 1 : x 1 = 1 + 2t, x 2 = 2 + t, x 3 = −3 + t; ` 2 : x 1 = 5 + 2t, x 2 = 6 + 3t, x 3 = −1 + t. 2) ` 1 : x 1 = 1+2t, x 2 = 2+t, x 3 = −3+t; ` 2 : x 1 −x 2 −x 3 −2 = 0, x 1 + 2x 2 − 4x 3 − 17 = 0. 3) ` 1 : x 1 − x 2 − x 3 − 2 = 0, x 1 + 2x 2 − 4x 3 − 17 = 0; ` 2 : x 1 − x 2 − x 3 − 3 = 0, x 1 + 3x 2 − 3x 3 + 5 = 0. 70 Решение. 1) Составляем систему уравнений: 2 1 1 t 1 − 2 3 1 t 2 + 1 2 −3 − 5 6 −1 = 0. Решая эту систему, находим единственное решение M (3; 3; −2). Таким образом, ` 1 ∩ ` 2 = M . Прямые ` 1 и ` 2 лежат в плоскости x 1 − 1 x 2 − 2 x 3 + 3 2 1 1 2 3 1 = 0 ⇐⇒ x 1 − 2x 3 − 7 = 0. 2) Подставляя параметрические уравнения прямой ` 1 в систе- му уравнений, задающих ` 2 , получаем систему уравнений отно- сительно t: 1 + 2t − (2 + t) − (−3 + t) − 2 = 0, 1 + 2t + 2(2 + t) − 4( −3 + t) − 17 = 0, которая представляет собой тождество 0 = 0. Следовательно, любая точка прямой ` 1 удовлетворяет системе уравнений прямой ` 2 , поэтому прямые ` 1 и ` 2 совпадают. 3) Система всех четырех уравнений несовместна: ранг основ- ной матрицы системы равен 3, а ранг расширенной матрицы системы равен 4. Поскольку ранг основной матрицы системы равен 3, направляющие подпространства прямых не совпадают. Прямые скрещиваются. Задача 15. Через точку A(4; 0; −1) провести прямую ` так, чтобы она пересекла каждую из прямых ` 1 : x 1 = 1 + 2t, x 2 = −3 + 4t, x 3 = 5 + 3t и ` 2 : x 1 = 5t, x 2 = 2 − t, x 3 = −1 + 2t. Решение. Искомая прямая является линией пересечения плос- кости π 1 , проходящей через точку A и прямую ` 1 , с плоскостью π 2 , проходящей через точку A и прямую ` 2 . Плоскости π 1 и π 2 71 имеют, соответственно, следующие уравнения: x 1 − 1 x 2 + 3 x 3 − 5 2 4 3 3 3 −6 = 0 и x 1 x 2 − 2 x 3 + 1 5 −1 2 4 −2 0 = 0. Решая получающуюся систему уравнений, находим параметри- ческие уравнения прямой `: x 1 = 4 + 13t, x 2 = 37t, x 3 = 1 + 58t. Рекомендуемая литература: [1], Гл. I, §6; [2], Гл. XII. Задачи и упражнения: [2], 1355, 1371, 1407, 1408, 1409, 1411, 1412, 1413, 1416, 1418; [13], 822, 826. 6 Пространство E ∗ n , сопряженное евклидову вектор- ному пространству E n Основная форма g евклидова пространства E n задает линейное отображение ϕ g : E n 3 a 7→ ea ∈ E ∗ n , (84) определяемое формулой ea(b) = (a, b), (85) где b — произвольный вектор из E n В координатах, определяемых некоторым (произвольным) ба- зисом {e i } пространства E n , соотношение (85) принимает вид a i b i = g ki a k b i , (86) где {a i } — координаты линейной формы ea, а {a i } — координаты вектора a. Из (86) следует, что координаты вектора a и линейной формы ea связаны соотношением a i = g ki a k (87) 72 Поскольку матрица (g ki ) невырождена, то линейное отображе- ние (84) имеет нулевое ядро и является изоморфизмом вектор- ных пространств. Этот изоморфизм называется каноническим изоморфизмом пространств E n и E ∗ n Пусть (g ki ) — матрица, обратная к (g ki ). Матрица (g ki ) сим- метричная, и выполняется следующее соотношение g 11 g 12 . . . g 1n g 21 g 22 . . . g 2n g n1 g n2 . . . g nn g 11 g 12 . . . g 1n g 21 g 22 . . . g 2n g n1 g n2 . . . g nn = 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 0 0 . . . 1 ⇐⇒ g ki g ij = δ k j (88) Используя формулу (88), легко получить следующее координат- ное представление a m = g mi a i (89) для обратного изоморфизма ϕ −1 g : E ∗ n 3 ea 7→ a ∈ E n (90) Действительно, из (87) и (88) получаем: g mi a i = g mi g ki a k = δ m k a k = a m Изоморфизм (84) позволяет перенести скалярное произведе- ние с пространства E n на E ∗ n . Таким образом, на пространст- ве E ∗ n естественным образом возникает скалярное произведение, определяемое формулой ( ea, e b ) = (a, b), где a = ϕ −1 g ( ea), b = ϕ −1 g (e b ). (91) Соотношением (91) на пространстве E ∗ n задается симметричная билинейная форма eg : E ∗ n × E ∗ n 3 {ea, e b } 7→ (ea, e b ) ∈ R . (92) 73 Найдем матрицу (eg mk ) билинейной формы (92) в базисе {ee i }, сопряженном базису {e i } пространства E n . Пусть a = ϕ −1 g ( ea), b = ϕ −1 g (e b ). Тогда ( ea, e b ) = (a, b) и, следовательно, eg ij a i b j = g ij a i b j = g ij g im a m g jk b k = δ m j g jk a m b k = g mk a m b k = g ij a i b j Таким образом, eg ij = g ij (93) При изоморфизме (90) базис {ee i } пространства E ∗ n , сопря- женный базису {e i } пространства E n , переходит в некоторый базис {e i } пространства E n . Базис {e i } также называется бази- сом сопряженным (взаимным, двойственным, дуальным) бази- су {e i }. При n = 3 он совпадает с базисом {e ∗ i } (см. (39), с. 38), рассматривавшемся в §2. Задача 16. Показать, что векторы e i = ϕ −1 g ( ee i ) и e i связаны следующими соотношениями: (e i , e j ) = δ i j , e i = g ij e j , e i = g ij e j (94) Решение. Первое из соотношений (94) доказывается следую- щим образом: (e i , e j ) = ee i (e j ) = δ i j Для доказательства второго и третьего соотношений запишем формулы перехода от одного из базисов к другому e i = p ik e k , e i = p ik e k (95) Умножая первое из соотношений (95) скалярно на вектор e j , а второе на e j , и учитывая уже доказанное первое из соотношений (94), а также соотношение (93), получим, соответственно, g ij = p ik (e k , e j ) = p ik δ k j = p ij и g ij = p ik (e k , e j ) = p ik δ j k = p ij Принято отождествлять пространства E n и E ∗ n посредством изоморфизма (84). При этом a ≡ ea = g(a), e i ≡ ee i . У каж- дого вектора a оказывается два набора координат: {a i } и {a i }. 74 Переходы (87) и (89) от координат одного типа к координатам другого типа называются соответственно опусканием и подня- тием индекса. Если базис {e i } ортонормированный, то g ij = δ ij , g ij = δ ij , и формула (87) принимает вид a i = a i . В этом случае сопряжен- ный базис {e i } совпадает с исходным базисом {e i }. Определение. Пусть L m ⊂ E n — подпространство. Подмно- жество L ⊥ m = {x ∈ E n | (x, b) = 0 ∀ b ∈ L m }, (96) состоящее из векторов, ортогональных всем векторам из L m , называется ортогональным дополнением подпространства L m Из билинейности основной формы g пространства E n следует, что L ⊥ m — подпространство в E n . Действительно, если x , y ∈ L ⊥ m , то для любого b ∈ L m и любых λ, µ ∈ R выполняется (λx + µy, b) = λ(x, b) + µ(y, b) = 0, поэтому λx + µy ∈ L ⊥ m При изоморфизме (84) подпространство L ⊥ m переходит в Ann (L m ). Действительно, условие (x, b) = 0 в (96) равносильно условию e x (b) = 0 для e x = ϕ g (x), поэтому x ∈ L ⊥ m тогда и только то- гда, когда e x ∈ Ann (L m ). Отсюда, в частности, следует, что dim L ⊥ m = n −m и что, выбрав базис {c α }, α = 1, . . . , n−m, в L ⊥ m , подпространство L m в E n можно задать следующим образом: L m = {x ∈ E n | (x, c α ) = 0, α = 1, . . . , n − m}. (97) L m L |