Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия
 Скачать 1.64 Mb.
|
|
2x − 2y + 3z − 5 = 0, 5x − 13y − 12z + 20 = 0. Задача 25. Два противоположных ребра AB и CD тетраэдра ABCD расположены на скрещивающихся прямых ` и ` 0 соответ- ственно. Доказать, что объем тетраэдра ABCD не изменяется при скольжении ребер AB и CD вдоль прямых ` и ` 0 (длины ребер AB и CD не меняются!). A B E C D F G H Рис. 50. A B C D C 0 D 0 ` ` 0 B 0 A 0 Рис. 51. Решение. Тетраэдр ABCD можно достроить до параллелепи- педа P с ребрами AB, AC и AD, выходящими из вершины A 89 (см. рисунок 49). Объем V (ABCD) тетраэдра ABCD состав- ляет одну шестую часть объема параллелепипеда P и поэто- му равен одной шестой модуля смешанного произведения век- торов −→ AB, −→ AC и −−→ AD. Имеем: V (ABCD) = 1 6 |( −→ AB, −→ AC, −−→ AD)| = 1 6 |( −→ AB, −→ AC, −−→ CD − −→ CA)| = 1 6 |( −→ AB, −→ AC, −−→ CD)|. Пусть A 0 B 0 C 0 D 0 — другой тетраэдр, ребра A 0 B 0 и C 0 D 0 которого расположены на прямых ` и ` 0 соответственно и удовлетворяют условиям −−→ A 0 B 0 = −→ AB, −−→ C 0 D 0 = −−→ CD. Тогда V (A 0 B 0 C 0 D 0 ) = 1 6 |( −−→ A 0 B 0 , −−→ A 0 C 0 , −−→ C 0 D 0 ) |. Поскольку −−→ A 0 C 0 = −−→ A 0 A + −→ AC + −−→ CC 0 , а −−→ AA 0 k −→ AB, −−→ CC 0 k −−→ CD, то V (A 0 B 0 C 0 D 0 ) = V (ABCD). Рекомендуемая литература: [1], Гл. I, §6; [2], Гл. XII, [4], Гл. 5, §§3–5. Задачи и упражнения: [2], 1342, 1343, 1346, 1347, 1348, 1361, 1362, 1365, 1366, 1374, 1375, 1376, 1382, 1404, 1430, 1433, 1435, 1437, 1440, 1441, 1443, 1444, 1445, 1447, 1448, 1450, 1451, 1452, 1454, 1455, 1456. 8 Поверхности второго порядка в трехмерном прост- ранстве. Термин поверхность в разных разделах математики может иметь различный смысл. В геометрии под поверхностью в аффинном пространстве A 3 обычно понимается множество Φ точек этого пространства, которое локально (то есть в некоторой окрестно- сти каждой из своих точек) может быть представлено как образ f (U ) некоторой области (открытого подмножества) U ⊂ R 2 при непрерывном отображении f : U 3 (u 1 , u 2 ) 7→ f(u 1 , u 2 ) ∈ A 3 (116) 90 Выбрав репер {O; e i } в пространстве A 3 , отображение (116) мож- но задать уравнениями r = f (u 1 , u 2 ) ⇐⇒ x i = f i (u 1 , u 2 ), i = 1, 2, 3. (117) Если функции (117) являются дифференцируемыми, то отоб- ражение (116) называется дифференцируемым. Предполагается, что отображение (116), задающее поверхность, является диффе- ренцируемым. Кроме того, предполагается, что векторы f 1 (u 1 , u 2 ) = ∂f (u 1 , u 2 ) ∂u 1 , f 2 (u 1 , u 2 ) = ∂f (u 1 , u 2 ) ∂u 2 (118) c координатами n ∂f 1 ∂u a , ∂f 2 ∂u a , ∂f 3 ∂u a o , a = 1, 2, линейно независимы при всех значениях параметров u 1 и u 2 из области U . Условие линейной независимости векторов f a (u 1 0 , u 2 0 ), a = 1, 2, обеспечи- вает «двумерность» множества Φ в окрестности точки M 0 ∈ Φ с радиус-вектором r 0 = f (u 1 0 , u 2 0 ). При отображении (116) пря- мые ` 1 и ` 2 плоскости R 2 с уравнениями u 2 = u 2 0 и u 1 = u 1 0 соответственно (точнее, части этих прямых, лежащие в области U ) переходят в кривые γ 1 и γ 2 , лежащие на поверхности Φ и проходящие через точку M 0 . Кривые γ 1 и γ 2 имеют уравнения r = g(t) = f (t, u 2 0 ) и r = h(t) = f (u 1 0 , t) соответственно, где t — вещественный параметр. Касательные векторы этих кривых в точке M 0 совпадают с векторами f 1 (u 1 0 , u 2 0 ) и f 2 (u 1 0 , u 2 0 ) соответ- ственно: dg dt t=u 1 0 = f 1 (u 1 0 , u 2 0 ), dh dt t=u 2 0 = f 2 (u 1 0 , u 2 0 ). Линейная независимость векторов (118) при u 1 = u 1 0 , u 2 = u 2 0 означает, что линейно независимы касательные векторы к кри- вым γ 1 и γ 2 в точке M 0 , то есть кривые γ 1 и γ 2 имеют разные направления в точке M 0 91 Плоскость π M 0 (Φ), проходящая через точку M 0 в направле- нии подпространства L{f 1 , f 2 } ⊂ V 3 , где f 1 = f 1 (u 1 0 , u 2 0 ), f 2 = f 2 (u 1 0 , u 2 0 ), называется касательной плоскостью поверхности Φ в точке M 0 . Параметрическое уравнение касательной плоскости к Φ в точке M 0 имеет следующий вид: r = r 0 +t 1 f 1 +t 2 f 2 . Если u 1 = u 1 (t) и u 2 = u 2 (t) — дифференцируемые функции такие, что u 1 (t 0 ) = u 1 0 , u 2 (t 0 ) = u 2 0 , то уравнение r = r(t) = f (u 1 (t), u 2 (t)) задает (кривую) линию γ, лежащую на поверхности Φ и про- ходящую при t = t 0 через точку M 0 . Из правила дифферен- цирования сложных функций следует, что касательный вектор v = dr dt (t 0 ) линии γ имеет вид v = f 1 du 1 dt (t 0 )+f 2 du 2 dt (t 0 ) и принад- лежит подпространству L{f 1 , f 2 }. Таким образом, касательная плоскость к поверхности Φ в точке M 0 может быть определе- на как плоскость, проходящая через точку M 0 и содержащая касательные векторы в точке M 0 всех линий, лежащих на по- верхности Φ и проходящих через эту точку. Это определение уже не зависит от способа, каким задана поверхность Φ ⊂ A 3 Рис. 52. Если условие линейной независимости векторов (118) для отоб- ражения (116) не выполнено, то образ f (U ) может вырождаться. Например, образ отображения f , заданного уравнениями x 1 = u 1 + u 2 , x 2 = 0, x 3 = 0, является прямой линией в A 3 92 Уравнения (117) называются параметрическими уравнения- ми поверхности. В качестве параметров u 1 и u 2 могут выступать две из трех координат x 1 , x 2 , x 3 . В этом случае поверхность представляется (локально) в виде графика некоторой функции, например, x 3 = f (x 1 , x 2 ). (119) Уравнение (119) эквивалентно параметрическим уравнениям x 1 = u 1 , x 2 = u 2 , x 3 = f (u 1 , u 2 ). Рис. 53. При рассмотрении поверхностей допускается, что они могут иметь особые точки, в окрестности которых задание поверх- ности параметрическими уравнениями не возможно. При этом строение поверхности в окрестности особой точки представляет собой отдельный предмет изучения. Поверхность в пространстве A 3 может быть задана уравнени- ем вида F (x 1 , x 2 , x 3 ) = 0, (120) где F : R 3 → R — дифференцируемая функция. Такое урав- нение называется неявным уравнением поверхности. Разрешая 93 неявное уравнение (120) в окрестности некоторой точки поверх- ности относительно одной из координат, можно получить урав- нение вида (119). Например, в прямоугольной системе координат в евклидовом пространстве E 3 уравнение x 2 + y 2 + z 2 = a 2 задает сферу радиуса a с центром в начале координат. Локально эту поверхность можно задать одним из следующих уравнений z = ± p a 2 − x 2 − y 2 , y = ± p a 2 − x 2 − z 2 , x = ± p a 2 − y 2 − z 2 Пусть M 0 — неособая точка, принадлежащая поверхности Φ, заданной неявным уравнением (120), а r = r(t) (x i = x i (t), i = 1, 2, 3) — уравнение линии γ, расположенной на поверхности Φ и проходящей при t = t 0 через точку M 0 . Поскольку все точки линии γ лежат на поверхности Φ, то их координаты x i = x i (t) удовлетворяют уравнению (120), т. е. F (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) = 0. (121) Предполагая, что функция F и функции x i = x i (t), i = 1, 2, 3, задающие линию γ, являются дифференцируемыми, продиффе- ренцируем левую и правую части уравнения (121) по перемен- ной t. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функ- ции и используя обозначения F i = ∂F /∂x i , i = 1, 2, 3, для част- ных производных функции F , получаем F 1 dx 1 dt + F 2 dx 2 dt + F 3 dx 3 dt = 0. (122) Из уравнения (122) следует, что касательный вектор dr dt (t 0 ) ли- нии γ в точке M 0 ∈ Φ принадлежит ядру ker(∇F (M 0 )) линейной 94 формы ∇F (M 0 ) с координатами {F 1 (x k 0 ), F 2 (x k 0 ), F 3 (x k 0 ) }. Отсю- да следует, что в случае, когда линейная форма ∇F (M 0 ) явля- ется ненулевой, касательная плоскость π M 0 (Φ) поверхности Φ в точке M 0 может быть задана следующим уравнением: F 1 (x k 0 )(x 1 − x 1 0 ) + F 2 (x k 0 )(x 2 − x 2 0 ) + F 3 (x k 0 )(x 3 − x 3 0 ) = 0. (123) Поверхности можно получать движением кривых в простран- стве (говорят, что кривая, перемещаясь в пространстве, «описы- вает» или «заметает» поверхность), а также с помощью преоб- разований из других поверхностей. В аналитической геометрии основное внимание уделяется изучению поверхностей, задавае- мых уравнениями вида (120), в которых F (x 1 , x 2 , x 3 ) является многочленом второй степени переменных x 1 , x 2 и x 3 : a 11 (x 1 ) 2 + a 22 (x 2 ) 2 + a 33 (x 3 ) 2 + 2a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x 3 + + 2a 23 x 2 x 3 + 2a 14 x 1 + 2a 24 x 2 + 2a 34 x 3 + a 44 = 0. (124) Такие поверхности называются поверхностями второго поряд- ка. Для поверхности второго порядка Φ касательную плоскость π M 0 (Φ) можно определить, не прибегая к использованию средств математического анализа. Пусть `: x i = x i 0 + v i t, i = 1, 2, 3, — прямая с направляющим вектором v, проходящая через точку M 0 поверхности Φ, заданной уравнением (124). Для нахожде- ния общих точек прямой ` и поверхности Φ подставим уравне- ния прямой в уравнение (124). Легко убедиться, что получается уравнение второй степени относительно параметра t, имеющее следующий вид (коэффициент при t 2 зависит только от коорди- нат вектора v, а свободный член равен нулю, поскольку точка M 0 лежит на поверхности Φ): ϕ(v)t 2 + (F 1 (x k 0 )v 1 + F 2 (x k 0 )v 2 + F 3 (x k 0 )v 3 )t = 0. (125) Точка M 0 (x i 0 ) называется двойной точкой пересечения ` и Φ, если уравнение (125) имеет два совпадающих корня t 1 = t 2 = 0. Если 95 ϕ(v) 6= 0, то для того, чтобы точка M 0 была двойной точкой пе- ресечения прямой ` и поверхности Φ, необходимо и достаточно, чтобы F 1 (x k 0 )v 1 + F 2 (x k 0 )v 2 + F 3 (x k 0 )v 3 = 0, (126) т. е. чтобы направляющий вектор v прямой ` принадлежал вы- шеуказанному ядру ker(∇F (M 0 )) линейной формы ∇F (M 0 ). Ес- ли ϕ(v) = 0 и выполняется условие (126), то прямая ` целиком лежит на поверхности Φ. Поэтому можно определить касатель- ную плоскость к поверхности второго порядка Φ в точке M 0 как плоскость, содержащую все прямые `, для которых точка M 0 является двойной точкой пересечения ` и Φ. При таком опреде- лении снова получим плоскость с уравнением (123). Ниже рассматриваются некоторые важные типы поверхно- стей в трехмерном евклидовом пространстве E 3 8.1 Поверхности переноса. Поверхностью переноса в E 3 называется поверхность, образую- щаяся в результате параллельного переноса некоторой кривой, при котором фиксированная точка этой кривой движется вдоль некоторой другой кривой. Пусть задана кривая α с уравнением r = a(t), где t — веще- ственный параметр, пробегающий некоторую область измене- ния. В результате параллельного переноса кривой α на вектор b = b 0 получается кривая α 0 с уравнением r = a(t)+b 0 , конгру- энтная кривой α. Если вектор b, на который переносится кривая α, является переменным, т. е. b = b(s), где s — вещественный параметр, также пробегающий некоторую область изменения, то в результате параллельного перенесения кривой α получа- ется поверхность Φ, уравнения которой (после переобозначения 96 параметров t = u 1 , s = u 2 ) имеют вид r = a(u 1 ) + b(u 2 ). (127) Фиксированная точка M 0 кривой α с радиус-вектором a 0 = a(t 0 ) при параллельном переносе на вектор b(s) описывает кривую β 0 с уравнением r = a 0 + b(s). Таким образом поверхность с урав- нением (127) может быть также получена параллельным пере- носом на вектор a(t) кривой β, заданной уравнением r = b(s). Всякая кривая α s , получающаяся параллельным переносом кри- вой α на вектор b(s), называется образующей поверхности пе- реноса (127). Кривая β 0 называется направляющей поверхности переноса (127). Рис. 54. Параболоиды. Пусть α — парабола с уравнением y 2 = 2qz, расположенная в плоскости Oyz, а β — парабола с уравнением x 2 = 2pz, располо- женная в плоскости Oxz (параметры p и q в уравнениях парабол — положительные числа). В результате параллельного переноса первой параболы вдоль второй получается поверхность, называ- емая эллиптическим параболоидом. Если же вдоль параболы β с уравнением x 2 = 2pz, расположенной в плоскости Oxz, пере- 97 носить параллельно параболу α с уравнением y 2 = −2qz, распо- ложенную в плоскости Oyz (параметры p и q — положительные числа), то в результате получится поверхность, называемая ги- перболическим параболоидом. Эти параболоиды изображены на рисунке 55 (слева — эллиптический, справа — гиперболический). Рис. 55. Для вывода уравнений эллиптического и гиперболического параболоидов воспользуемся следующими параметрическими уравнениями парабол α и β: α : x = 0, y = u 2 , z = ±(u 2 ) 2 /2p; (128) β : x = u 1 , y = 0, z = (u 1 ) 2 /2p. (129) Знак «+» в уравнениях (128) соответствует случаю эллипти- ческого параболоида, а знак «−» соответствует случаю гипер- болического параболоида. Подставляя уравнения (128) и (129) в уравнение (127) и осуществляя замену параметров u 1 = x, u 2 = y, получим следующие уравнения эллиптического и гипер- 98 болического параболоидов соответственно: x 2 p + y 2 q = 2z, (130) x 2 p − y 2 q = 2z. (131) Уравнения (130) и (131) называются каноническими уравне- ниями эллиптического и гиперболического параболоидов. Если пересечь эллиптический параболоид (130) плоскостью z = c (c > 0), то в сечении получится эллипс, определяемый уравнениями x 2 2pc + y 2 2qc = 1, z = c. Пересечения гиперболического параболоида (131) с плоскостя- ми z = c и z = −c (c > 0) представляют собой гиперболы, определяемые соответственно системами уравнений x 2 2pc − y 2 2qc = 1, z = c и y 2 2pc − x 2 2qc = 1, z = −c. Пересечение гиперболического параболоида (131) с координат- ной плоскостью Oxy (z = 0) представляет собой пару пересека- ющихся прямых, расположенных в плоскости Oxy и имеющих уравнения x √ p + y √ q = 0 и x √ p − y √ q = 0. Выведем уравнение касательной плоскости эллиптического па- раболоида (130) в точке M 0 с координатами (x 0 , y 0 , z 0 ). Для это- го представим уравнение (130) в следующем виде: x 2 /2p+y 2 /2q− z = 0. Уравнение (123) в этом случае принимает вид x 0 p (x − x 0 ) + y 0 q (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0. (132) 99 Раскрывая скобки в уравнении (132) и учитывая, что точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит параболоиду, т. е. −x 2 0 /p − y 2 0 /q + z 0 = −z 0 , получим следующее уравнение касательной плоско- сти к эллиптическому параболоиду (130) в точке с координа- тами (x 0 , y 0 , z 0 ): x 0 x p + y 0 y q = z + z 0 (133) Уравнение касательной плоскости к гиперболическому парабо- лоиду (131) в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0 ) выводится ана- логично. Это уравнение имеет вид x 0 x p − y 0 y q = z + z 0 (134) Плоскость Oxy (z = 0), пересекающая гиперболический пара- болоид (131) по паре пересекающихся прямых, является каса- тельной плоскостью к этому параболоиду в начале координат O(0, 0, 0). Цилиндрические поверхности. В том случае, когда параллельно переносящаяся кривая α яв- ляется прямой линией, соответствующая поверхность переноса Φ называется цилиндрической поверхностью или цилиндром с направляющей кривой β 0 и прямолинейной образующей, парал- лельной прямой α. Пусть прямая α имеет уравнение r = ta. Подставляя в (127) a(u 1 ) = u 1 a , получим уравнения цилиндри- ческой поверхности r = b(u 2 ) + u 1 a (135) Направляющей цилиндрической поверхности (135) является кри- вая β = β 0 с уравнением r = b(u 2 ). В качестве направляющей цилиндрической поверхности мож- но взять линию пересечения этой поверхности с плоскостью, перпендикулярной прямой α. В этом случае прямоугольную си- стему координат Oxyz можно выбрать таким образом, чтобы 100 |