Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия
 Скачать 1.64 Mb.
|
|
направляющая кривая β лежала в плоскости Oxy, а прямая α совпадала с осью Oz. Если при этом направляющая задана в плоскости Oxy уравнением F (x, y) = 0 (и системой уравнений F (x, y) = 0, z = 0 в пространстве E 3 ), то цилиндрическая по- верхность имеет уравнение F (x, y) = 0. (136) Следует иметь в виду, что функция F (x, y) в уравнении цилин- дрической поверхности (136) является функцией трех перемен- ных x, y, z, но значение этой функции зависит только от значе- ний переменных x и y (т. е. F (x, y, z 1 ) = F (x, y, z 2 ) при любых z 1 и z 2 ). Выбирая в качестве направляющей поверхности (136) эллипс, гиперболу или параболу, получим цилиндрические поверхности, называемые соответственно эллиптическим, гиперболическим и параболическим цилиндрами. Если направляющие эллипс, ги- пербола и парабола в плоскости Oxy заданы каноническими уравнениями, то соответствующие эллиптический, гиперболиче- ский и параболический цилиндры имеют следующие уравнения (называемые каноническими): x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 и y 2 = 2px. (137) Указанные поверхности изображены на рисунке. Рис. 56. 101 Уравнения касательных плоскостей к цилиндрам (137) выво- дятся аналогично рассмотренному выше случаю эллиптического параболоида. Эти уравнения имеют соответственно следующий вид: x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1, x 0 x a 2 − y 0 y b 2 = 1 и y 0 y = p(x + x 0 ). (138) Поскольку переменная z не входит в явном виде в уравнения (138), то касательные плоскости к цилиндрам (137) содержат целиком прямолинейные образующие, проходящие через точки касания. 8.2 Поверхности вращения. Поверхностью вращения в пространстве E 3 называется поверх- ность, описываемая линией α, расположенной в плоскости π, при вращении плоскости π вокруг прямой линии `, принадле- жащей этой плоскости. A C M u 2 Рис. 57. 102 Прямая ` называется осью поверхности вращения. При вра- щении линии α вокруг оси ` каждая точка A этой линии опи- сывает окружность ω = ω(A) с центром C = C(A) ∈ `, рас- положенную в плоскости σ = σ(A), перпендикулярной оси `. Окружности ω(A), A ∈ α, называются параллелями поверхно- сти вращения, а линии α(u 2 ), получающиеся поворотом кривой α на угол u 2 , называются меридианами поверхности вращения. Для составления уравнений поверхности вращения выберем систему координат Oxyz в пространстве E 3 , определяемую пра- вым ортонормированным репером {O; i, j, k}, в которой прямая ` совпадает с осью Oz, а плоскость π совпадает с плоскостью Oxz. Пусть кривая α задана параметрическими уравнениями x = f (u 1 ), y = 0, z = g(u 1 ) ⇐⇒ r = f (u 1 )i + g(u 1 )k. Произвольная точка M поверхности вращения получается из некоторой точки A линии α поворотом на угол u 2 вокруг точки C = C(A). Поскольку r M = −→ OC + −−→ CM , r A = −→ OC + −→ CA, −→ OC = g(u 1 )k, а вектор −−→ CM получается из вектора −→ CA = f (u 1 )i поворо- том на угол u 2 в ориентированной евклидовой векторной плос- кости L(i, j) и, следовательно, имеет вид −−→ CM = f (u 1 ) cos(u 2 )i + f (u 1 ) sin(u 2 )j, то r M = f (u 1 ) cos(u 2 )i + f (u 1 ) sin(u 2 )j + g(u 1 )k. Отсюда следует, что рассматриваемая поверхность вращения имеет следующие параметрические уравнения: x = f (u 1 ) cos(u 2 ), y = f (u 1 ) sin(u 2 ), z = g(u 1 ). Если линия α в плоскости Oxz задана неявным уравнением F (x, z) = 0 и A(x A , 0, z A ) — некоторая точка линии α, то точка M (x M , y M , z M ) принадлежит окружности ω(A) тогда и только 103 тогда, когда z M = z A и x 2 M + y 2 M = x 2 A (|x A | — радиус окружно- сти ω(A)). Поэтому точка M принадлежит поверхности враще- ния тогда и только тогда, когда одна (или каждая) из точек с координатами ± p x 2 M + y 2 M , 0, z M лежит на линии α, то есть удовлетворяет уравнению F (x, z) = 0. Отсюда следует, что по- верхность, получающаяся в результате вращения линии α во- круг оси Oxz имеет следующее уравнение: F ± p x 2 + y 2 , z = 0. (139) Эллипсоиды и гиперболоиды. Эллипсоиды и гиперболоиды вращения возникают при враще- нии эллипсов и гипербол вокруг их осей симметрии. При враще- нии вокруг оси Oz эллипса, расположенного в плоскости Oxz и заданного уравнением x 2 a 2 + z 2 c 2 = 1, получается поверхность второго порядка, определяемая уравне- нием x 2 a 2 + y 2 a 2 + z 2 c 2 = 1. (140) Поверхность, заданная уравнением (140), называется эллипсои- дом вращения. Применяя к поверхности (140) преобразование M (x, y, z) 7−→ M(x 0 , y 0 , z 0 ), x 0 = x, y 0 = b a y, z 0 = z, (141) представляющее собой растяжение от плоскости Oxz при b > a и сжатие к плоскости Oxz при b < a, получим поверхность, имеющую уравнение x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. (142) 104 Эта поверхность называется эллипсоидом (общего вида). Если в уравнении эллипсоида (142) никакие два из параметров a, b и c (называемых полуосями эллипсоида) не совпадают между со- бой, эллипсоид называют трехосным. При a = b = c эллипсоид представляет собой сферу радиуса a. Уравнение касательной плоскости к эллипсоиду с уравнени- ем (142) в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) выводится аналогично рассмот- ренному выше случаю эллиптического параболоида (см. с. 99). Это уравнение имеет вид x 0 x a 2 + y 0 y b 2 + z 0 z c 2 = 1. (143) При вращении вокруг оси Oz гипербол, расположенных в плоскости Oxz и заданных уравнениями x 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 и x 2 a 2 − z 2 c 2 = −1, получаются поверхности второго порядка, определяемые соот- ветственно уравнениями x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 (144) и x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = −1. (145) Первая из этих поверхностей называется однополостным гипер- болоидом вращения, а вторая двуполостным гиперболоидом вра- щения. Применяя к поверхностям, имеющим уравнения (144) и (145), преобразование (141), получим поверхности, определяе- мые уравнениями x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 (146) и x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = −1. (147) 105 Поверхность с уравнением (146) называется однополостным ги- перболоидом (общего вида), а поверхность с уравнением (147), соответственно, двуполостным гиперболоидом (общего вида). На рисунке 58 изображены соответственно, эллипсоид, однополост- ный гиперболоид и двуполостный гиперболоид. Рис. 58. Уравнение касательной плоскости к однополостному гипер- болоиду (146) в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) имеет вид x 0 x a 2 + y 0 y b 2 − z 0 z c 2 = 1, (148) а уравнение касательной плоскости к двуполостному гипербо- лоиду (147) в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) имеет вид x 0 x a 2 + y 0 y b 2 − z 0 z c 2 = −1. (149) Задача 26. Выяснить, что представляют собой пересечения эл- липсоида и гиперболоидов, заданных уравнениями (142), (146) и (147), с плоскостями, параллельными координатным плоско- стям. Показать, в частности, что плоскости x = a и y = b яв- ляются касательными к однополостному гиперболоиду (146) и пересекают его по паре прямых, пересекающихся в точке каса- ния. 106 При вращении вокруг оси Oz параболы, расположенной в плоскости Oxz и заданной уравнением x 2 = 2pz, получается поверхность с уравнением x 2 + y 2 = 2pz. (150) Эта поверхность представляет собой частный случай рассмот- ренного выше эллиптического параболоида и называется пара- болоидом вращения. Эллиптический параболоид общего вида, заданный уравнени- ем (130), получается из параболоида вращения (150) преобразо- ванием M (x, y, z) 7−→ M(x 0 , y 0 , z 0 ), x 0 = x, y 0 = r q p y, z 0 = z, аналогичным преобразованию (141). При вращении вокруг оси Oz прямой x − a = 0 получается круговой цилиндр, имеющий уравнение x 2 + y 2 = a 2 Преобразование (141) переводит этот круговой цилиндр в эл- липтический цилиндр с уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Конусы второго порядка. При вращении вокруг оси Oz прямых cx−az = 0 и cx+az = 0 получается поверхность с уравнением x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = 0, (151) 107 называемая конусом вращения. Преобразование (141) переводит конус вращения в поверхность, имеющую уравнение x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 (152) и называемую конусом второго порядка общего вида. O x y z Рис. 59. Начало координат O называется вершиной конуса (152). Вер- шина конуса является его особой точкой (см. рисунок 59). Прямые cx ± az = 0 являются асимптотами сопряженных гипербол x 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 и x 2 a 2 − z 2 c 2 = −1. (153) Конус с уравнением (151), получающийся при вращении вокруг оси Oz прямых, имеющих уравнения cx ± az = 0, не имеет об- щих точек с однополостным и двуполостным гиперболоидами с уравнениями x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = ±1, 108 которые возникают при вращении вокруг оси Oz гипербол (153), и называется асимптотическим конусом этих гиперболоидов. Конус второго порядка (152), получающийся из конуса враще- ния (151) при преобразовании (141), называется асимптотиче- ским конусом гиперболоидов, заданных уравнениями x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = ±1 (см. рисунок 60). Рис. 60. 8.3 Линейчатые поверхности. Линейчатой поверхностью называется поверхность, описывае- мая прямой линией при ее движении в пространстве. В соот- ветствии с определением, линейчатая поверхность представляет 109 собой семейство прямых и поэтому может быть задана уравне- нием вида r = b(u 1 ) + u 2 a (u 1 ), (154) где u 1 — параметр, определяющий прямую семейства, а u 2 = t — параметр, определяющий точку на фиксированной прямой r = b(u 1 0 ) + ta(u 1 0 ), u 1 = u 1 0 = const, (155) этого семейства. Векторные функции b(u 1 ) и a(u 1 ) веществен- ного параметра u 1 , входящие в уравнение (154), предполагаются дифференцируемыми. Прямые (155), из которых состоит линей- чатая поверхность (154), называются ее прямолинейными обра- зующими. Линия β, пересекающая все прямолинейные образую- щие, называется направляющей линейчатой поверхности. В ка- честве направляющей линейчатой поверхности, заданной урав- нением (154), можно взять линию с уравнением r = b(u 1 ). К классу линейчатых поверхностей относятся рассмотренные выше цилиндрические поверхности и конусы второго порядка. Рис. 61. Конические поверхности. Конической поверхностью общего вида называется линейча- тая поверхность, описываемая прямой, которая в каждом своем положении при движении в пространстве проходит через фикси- 110 рованную точку S и пересекает фиксированную линию β. Точ- ка S называется вершиной а линия β направляющей конической поверхности. Рис. 62. Если вершина S имеет радиус-вектор r S = r 0 , а направляю- щая линия β задана уравнением r = b(u 1 ), то коническая по- верхность определяется уравнением r = r 0 + u 2 (b(u 1 ) − r 0 ). Вершина S является особой точкой конической поверхности. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Среди рассмотренных выше поверхностей второго порядка линейчатыми поверхностями являются однополостный гипер- болоид и гиперболический параболоид. Более того, каждая из этих поверхностей несет на себе два различных семейства пря- молинейных образующих. Уравнения этих семейств не трудно вывести из неявных уравнений однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Рассмотрим следующие преобразования уравнения однополост- 111 ного гиперболоида: x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 ⇔ x 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 − y 2 b 2 ⇔ x a + z c x a − z c = 1 + y b 1 − y b (156) Из уравнения (156) однополостного гиперболоида следует, что при любых вещественных числах λ и µ, не равных нулю одно- временно, каждая из систем уравнений λ x a + z c = µ 1 + y b µ x a − z c = λ 1 − y b (a) λ x a + z c = µ 1 − y b µ x a − z c = λ 1 + y b (b) (157) задает прямую линию, целиком расположенную на однополост- ном гиперболоиде. Действительно, уравнение (156) является следствием каждой из систем (157). Параметры λ и µ в уравнениях семейств (157) существенны с точностью до умножения на вещественное число. Для пред- ставления уравнения однополостного гиперболоида в виде (154) можно поступить следующим образом: положить в одной из си- стем уравнений (157), например в системе (157 a), λ = 1, µ = u 1 и, считая u 1 фиксированным, перейти к параметрическим урав- нениям прямой (см. с. 62), заданной системой линейных уравне- ний x a + z c = u 1 1 + y b u 1 x a − z c = 1 − y b , используя t = u 2 для обозначения параметра вдоль прямой. Од- нако надо иметь в виду, что, полагая λ = 1, мы исключаем из 112 рассмотрения прямолинейную образующую, соответствующую значению λ = 0. Чтобы избежать этой потери, можно положить λ = cos u 1 , µ = sin u 1 , но при этом параметр u 1 будет суще- ственным с точностью до слагаемого кратного 2π. Если требу- ется найти прямолинейные образующие, проходящие через дан- ную точку M 0 однополостного гиперболоида, нужно в каждую из систем уравнений (157) подставить координаты точки M 0 и из получающихся при этом систем уравнений найти значения параметров λ и µ, соответствующие искомым прямолинейным образующим. Найденные значения λ и µ следует затем подста- вить в исходные системы уравнений (157). В результате иско- мые образующие оказываются заданными системами линейных уравнений. Решая указанные системы линейных уравнений (см. с. 62), можно найти канонические уравнения прямолинейных образующих. Уравнение гиперболического параболоида можно преобразо- вать аналогичным образом: 2z = x 2 p − y 2 q ⇐⇒ z · 2 = x √ p + y √ q x √ p − y √ q , (158) откуда следует, что при любом вещественном λ каждая из си- стем уравнений z = λ x √ p + y √ q 2λ = x √ p − y √ q (a) z = λ x √ p − y √ q 2λ = x √ p + y √ q (b) (159) задает прямую линию, целиком расположенную на гиперболи- 113 ческом параболоиде. Для представления уравнения гиперболического параболои- да в виде (154) можно положить в одной из систем уравнений (159) λ = u 1 и, считая u 1 фиксированным, перейти к парамет- рическим уравнениям прямой (см. с. 62), заданной полученной системой линейных уравнений, используя t = u 2 для обозначе- ния параметра вдоль прямой. Для нахождения прямолинейных образующих, проходящих через данную точку M 0 гиперболиче- ского параболоида, следует в каждую из систем уравнений (159) подставить координаты этой точки, найти значения параметра λ из получающихся систем уравнений, подставить найденные значения в исходные системы (159) и затем найти канонические уравнения искомых прямых. Прямолинейные образующие одно- полостного гиперболоида и гиперболического параболоида изоб- ражены на рисунке 63. Рис. 63. 114 Задача 27. Найти прямолинейные образующие однополостно- го гиперболоида x 2 9 + y 2 4 − z 2 16 = 1, проходящие через точку M 0 (6, 2, 8). Решение. Система уравнений (157 a) в данном случае имеет вид λ x 3 + z 4 = µ 1 + y 2 , µ x 3 − z 4 = λ 1 − y 2 (160) Подставляя x = 6, y = 2, z = 8 в (160), получим систему уравне- ний 4λ = 2µ, 0µ = 0λ, откуда находим λ = 1, µ = 2 (параметры λ и µ существенны с точностью до умножения на не равное ну- лю число!). Подставляя λ = 1, µ = 2 в (160), получим систему уравнений x 3 + z 4 = 2 1 + y 2 , 2 x 3 − z 4 = 1 − y 2 (161) Система уравнений (161) имеет частное решение x 0 = 6, y 0 = 2, z 0 = 8 (это координаты рассматриваемой точки поверхности). Система однородных уравнений, соответствующая системе неод- нородных уравнений (161), имеет (фундаментальное) решение x = 3, y = 0, z = 4. Эти три числа 3, 0 и 4 являются ко- ординатами направляющего вектора первой прямолинейной об- разующей. Таким образом, первая прямолинейная образующая, проходящая через точку M |