Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия

Название	Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия
Дата	06.02.2023
Размер	1.64 Mb.
Формат файла
Имя файла	Shurygin._.Analiticheskaya.geometriya.II.pdf
Тип	Учебное пособие #922624
страница	3 из 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Альтернативный подход к определению векторного и смешан- ного произведений векторов.
Векторное и смешанное произведения векторов следующим образом могут быть определены в рамках аксиоматики ориен- тированного евклидова векторного пространства E
3
Из предшествующих рассуждений следует, что всякое косо- симметричное трилинейное отображение
ε : E
3
× E
3
× E
3 3 {a, b, c} 7→ ε(a, b, c) ∈ R
(27)
31

определяется в данном базисе {e
1
, e
2
, e
3
} одним коэффициентом
ε
123
и вычисляется по формуле
ε(a, b, c) = ε
123
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
(28)
Предполагая, что выбранный базис {e
1
, e
2
, e
3
} является пра- вым и ортонормированным, определим смешанное произведе- ние векторов (a, b, c) формулой (28), в которой ε
123
= 1. Пусть теперь {e
1 0
, e
2 0
, e
3 0
} — другой правый ортонормированный ба- зис и (p i
i
0
)
∈ SO(3) — матрица перехода от базиса {e i
} к ба- зису {e i
0
}. Тогда коэффициент ε
1 0
2 0
3 0
для нового базиса равен
ε
1 0
2 0
3 0
= (e
1 0
, e
2 0
, e
3 0
) = det(p i
i
0
) = 1. Отсюда следует, что введен- ное определение смешанного произведения не зависит от выбора правого ортонормированного базиса.
Теперь векторное произведение векторов [a, b] можно опреде- лить как вектор x, удовлетворяющий соотношению
(x, c) = (a, b, c)
(29)
для любого вектора c. Соотношение (29) будет выполняться для любого вектора c, если оно выполняется для векторов базиса:
(x, e i
) = (a, b, e i
), i = 1, 2, 3,
⇐⇒ (x, c i
e i
) = (a, b, c i
e i
).
Но (x, e i
) — это проекция pr e
i x
вектора x на ось, определяемую вектором e i
, то есть координата вектора x в базисе {e i
}. Отсюда следует, что
[a, b] = x = (a, b, e
1
)e
1
+ (a, b, e
2
)e
2
+ (a, b, e
3
)e
3
(30)
Таким образом, соотношением (29) векторное произведение [a, b]
определяется корректно. Нетрудно заметить, что формула (30)
для вычисления векторного произведения, определенного фор- мулой (29), совпадает с формулой (20). Если базис {e i
} выбран
32

таким образом, что векторы a и b лежат в плоскости Ox
1
x
2
, то есть плоскости, содержащей векторы e
1
и e
2
, то из формулы (20)
следует, что их векторное произведение имеет вид
[a, b] =
a
1
a
2
b
1
b
2
e
3
Отсюда следует, что
|[a, b]| = mod a
1
a
2
b
1
b
2
=
|ha, bi| = |a||b| sin ϕ,
где ϕ — угол между векторами a и b.
Для определения векторного произведения можно также ис- пользовать формулу (26).
Объем параллелепипеда P (a, b, c), построенного на векторах a
, b и c как на ребрах, в рамках рассматриваемого подхода определяется как модуль смешанного произведения (a, b, c).
Замечание. Из формулы (28) следует, что два трилинейных кососимметричных отображения (27) отличаются одно от дру- гого числовым множителем. Это указывает на то, что смешан- ное произведение можно ввести в векторном пространстве V
3
независимо от какого-либо скалярного произведения как некото- рое трилинейное кососимметричное отображение (27). При этом пара (V
3
, ε) представляет собой так называемое эквиаффинное пространство, а отображение ε называется формой объема это- го эквиаффинного пространства. Эквиаффинным называется и всякое аффинное пространство A
3
, ассоциированное с эквиаф- финным векторным пространством. В эквиаффинном простран- стве имеется естественная ориентация: базис {a, b, c} является
(по определению) правым, если ε(a, b, c) > 0. Абсолютная ве- личина |ε(a, b, c)| значения формы объема на векторах a, b и c называется объемом параллелепипеда P (a, b, c), построенного
33

на этих векторах как на ребрах. В эквиаффинном простран- стве можно измерять объемы тел, но не определены такие по- нятия как длина вектора, угол между векторами или площадь параллелограмма. В ориентированном евклидовом пространст- ве (E
3
, g) выбирается форма объема ε, согласованная со ска- лярным произведением g и ориентацией, а именно, такая, что
ε(a, b, c) = 1 для всякого правого ортонормированного базиса
{a, b, c}. При этом объем куба, построенного на векторах, обра- зующих ортонормированный базис, равен единице.
Аналогичным образом форма объема вводится в векторном пространстве V
n произвольной размерности n (см. третью часть настоящего учебного пособия [15]).
2.3 Векторные тождества и их применение.
В настоящем разделе рассматриваются некоторые тождественно выполняющиеся векторные равенства, составленные с использо- ванием скалярного, векторного и смешанного произведений, и применения этих равенств в геометрии пространства.
1. Двойное векторное произведение (тождество Грассмана).
[[a, b], c] = b(a, c)
− a(b, c).
(31)
Доказательство. Если a = 0, то тождество выполняется оче- видным образом. Если a 6= 0, то выбираем в пространстве пра- вый ортонормированный базис {e
1
, e
2
, e
3
}, по отношению к ко- торому a = a
1
e
1
, b = b
1
e
1
+ b
2
e
2
, c = c
1
e
1
+ c
2
e
2
+ c
3
e
3
, и вычис- ляем векторы, находящиеся в левой и правой частях тождества с помощью формулы (20). Пусть [a, b] = u. Имеем:
u
= [a, b] =
e
1
e
2
e
3
a
1 0
0
b
1
b
2 0
= a
1
b
2
e
3 34

Поэтому
[[a, b], c] = [u, c] =
e
1
e
2
e
3 0
0 a
1
b
2
c
1
c
2
c
3
=
−a
1
b
2
c
2
e
1
+ a
1
b
2
c
1
e
2
Легко проверяется, что правая часть тождества имеет в точно- сти такой же вид. Действительно, (a, c) = a
1
c
1
, (b, c) = b
1
c
1
+
b
2
c
2
, откуда b(a, c)−a(b, c) = a
1
c
1
(b
1
e
1
+b
2
e
2
)
−(b
1
c
1
+b
2
c
2
)a
1
e
1
=
−a
1
b
2
c
2
e
1
+ a
1
b
2
c
1
e
2
. 2 2. Тождество Якоби.
[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0.
(32)
Из тождества (32) и кососимметричности [a, b] = −[b, a], век- торного произведения следует, что векторное пространство E
3
с операцией векторного произведения [ · , · ] образует алгебру Ли
(см., например, [10]). Для доказательства тождества Якоби до- статочно применить формулу (31).
3. Скалярное произведение двух векторных произведений.
([a, b], [c, d]) =
(a, c) (a, d)
(b, c) (b, d)
(33)
Доказательство. Воспользуемся свойствами смешанного про- изведения и формулой (31) для двойного векторного произве- дения. Обозначим [a, b] = u. Тогда ([a, b], [c, d]) = (u, [c, d]) =
(u, c, d) = ([u, c], d) = ([[a, b], c], d) = (b(a, c)
− a(b, c), d) =
(b, d)(a, c)
− (a, d)(b, c). 2
Вычисление площадей в произвольной системе координат.
Пара линейно независимых векторов {a, b} образует базис на плоскости E
2
=
L(a, b) (линейная оболочка векторов a и b,
см. общее определение в §4.4). Обозначим следующим образом
35

матрицу скалярного произведения на E
2
=
L(a, b) в этом базисе
(матрицы такого вида называют матрицами Грама):
G(a, b) =
(a, a) (a, b)
(b, a) (b, b)
!
Полагая в (33) c = a, d = b, получаем следующую формулу для вычисления площади параллелограмма P (a, b), построен- ного на векторах a и b:
S
P (a,b)
=
p det G(a, b).
4. Векторное произведение двух векторных произведений.
[[a, b], [c, d]] = b(a, c, d)
− a(b, c, d).
(34)
Доказательство. Обозначим для удобства u = [c, d] и вос- пользуемся формулой (31) для произведения [[a, b], u]. Имеем:
[[a, b], [c, d]] = [[a, b], u] = b(a, u)
− a(b, u) = b(a, [c, d]) −
a
(b, [c, d]) = b(a, c, d)
− a(b, c, d). 2
Общий вектор двух плоскостей L(a, b) и L(c, d).
Пользуясь кососимметричностью векторного произведения и формулой (34), получаем
[[a, b], [c, d]] = [[d, c], [a, b]] = c(a, b, d)
− d(a, b, c).
c b
a d
w
Рис. 14.
36

Отсюда следует, что вектор w
= [[a, b], [c, d]]
принадлежит каждой из плоскостей L(a, b) и L(c, d), см. рису- нок 14.
5. Произведение двух смешанных произведений.
(a, b, c)(u, v, w) =
(a, u) (a, v) (a, w)
(b, u) (b, v) (b, w)
(c, u) (c, v) (c, w)
(35)
Доказательство. Выберем в E
3
некоторый правый ортонорми- рованный базис {e i
}. Тогда (a, b, c) = detA, а (u, v, w) = detB,
где
A =



a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3


 , B =



u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3


 .
Формула (35) теперь следует из известного (см. [6], гл.3, §13)
матричного тождества detA detB = det(AB). Действительно,
(a, b, c)(u, v, w) = detA detB = detA detB
>
= det(AB
>
), что совпадает со значением определителя, стоящего в правой части равенства (35). 2
Вычисление объемов в произвольной системе координат.
Следующая формула является частным случаем формулы (35):
(a, b, c)(a, b, c) =
(a, a) (a, b) (a, c)
(b, a) (b, b) (b, c)
(c, a) (c, b) (c, c)
(36)
Она может использоваться при вычислении объема V
P (a,b,c)
па- раллелепипеда P (a, b, c), построенного на векторах a, b и c.
37

Вводя обозначение
G(a, b, c) =



(a, a) (a, b) (a, c)
(b, a) (b, b) (b, c)
(c, a) (c, b) (c, c)


 ,
получаем:
V
P (a,b,c)
=
p det G(a, b, c).
(37)
В частности, применяя формулу (37) к тройке векторов e
1
,
e
2
, e
3
правого ортонормированного базиса в E
3
, получаем
ε
123
=
q det (g ij
).
6. Произведение двух косых произведений.
Имеются очевидные аналоги формул предыдущего пункта для косого произведения на ориентированной плоскости:
ha, bihc, di =
(a, c) (a, d)
(b, c) (b, d)
,
ε
12
=
q det (g ij
).
2.4 Взаимные базисы в E
3
Пусть {e
1
, e
2
, e
3
} — некоторый базис в E
3
. Всякий вектор a од- нозначно определяется скалярными произведениями a i
= (a, e i
),
i = 1, 2, 3. Действительно, пусть x = x k
e k
— некоторый вектор,
для которого (x, e i
) = a i
, i = 1, 2, 3, а (g ij
) — матрица скалярно- го произведения в базисе {e k
}. Тогда (x, e i
) = (x k
e k
, e i
) = x k
g ki
,
и координаты x i
вектора x однозначно находятся из системы уравнений g ki x
k
= a i
, матрица которой невырождена.
Поэтому соотношения
(e
∗
i
, e j
) = δ
ij
,
i, j = 1, 2, 3,
(38)
однозначно определяют набор векторов
{e
∗
1
, e
∗
2
, e
∗
3
}.
(39)
38

Этот набор является базисом. Действительно, пусть e
∗
i
= x k
i e
k
— разложение вектора e
∗
i по базису {e k
}. Тогда из (38) следует
δ
ij
= (x k
i e
k
, e j
) = x k
i g
kj
, что эквивалентно соотношению g
jk x
k i
= δ
ij
(40)
В матричной записи соотношения (40) принимают вид GX = E,
где G = (g jk
), X = (x k
i
), а E = (δ
ij
) — единичная матрица, поэто- му X = G
−1
— матрица, обратная к матрице скалярного произ- ведения G = (g jk
). Таким образом, X — невырожденная матри- ца и e
∗
i
= x k
i e
k
, i = 1, 2, 3, — базис. Базис (39) называется взаим- ным, а также дуальным или двойственным, базису {e
1
, e
2
, e
3
}.
Ясно, что если базис {e i
} ортонормированный, то e
∗
i
= e i
. Лег- ко проверить, что векторы взаимного базиса {e
∗
1
, e
∗
2
, e
∗
3
} следу- ющим образом выражаются через векторы исходного базиса:
e
∗
1
=
[e
2
, e
3
]
(e
1
, e
2
, e
3
)
, e
∗
2
=
[e
3
, e
1
]
(e
1
, e
2
, e
3
)
, e
∗
3
=
[e
1
, e
2
]
(e
1
, e
2
, e
3
)
(41)
Умножая скалярно векторы взаимного базиса e
∗
i на произволь- ный вектор a = a
1
e
1
+ a
2
e
2
+ a
3
e
3
, получим координаты a i
этого вектора в первоначальном базисе {e i
}:
a i
= (a, e
∗
i
),
i = 1, 2, 3.
При этом числа a i
являются координатами вектора a в базисе
{e
∗
i
}, а скалярное произведение векторов a и b можно вычис- лять по формуле
(a, b) = a i
b i
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3 2.5 Примеры.
Задача 8. Векторы единичной длины e
1
, e
2
и e
3
образуют пра- вый базис и имеют направления ребер правильного тетраэдра,
39

выходящих из одной вершины. В этом базисе своими координа- тами заданы векторы a = {1; 1; 0}, b = {0; 1; 1} и c = {1; 0; 1}.
Вычислить объем параллелепипеда P (a, b, c), построенного на векторах a, b и c.
Решение. 1-ый способ. Матрица скалярного произведения (g ij
)
в рассматриваемом базисе имеет вид:
(g ij
) =



1 1
2 1
2 1
2 1
1 2
1 2
1 2
1


 .
Поэтому ε
123
=
p det (g ij
) =
√
2 2
. Тогда
V
P (a,b,c)
=
√
2 2
1 1 0 0 1 1 1 0 1
=
√
2.
2-ой способ. Пользуясь формулой (a, b) = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
+
1 2
(a
1
b
2
+ a
1
b
3
+ a
2
b
1
+ a
2
b
3
+ a
3
b
1
+ a
3
b
2
), находим матрицу
G(a, b, c) =



(a, a) (a, b) (a, c)
(b, a) (b, b) (b, c)
(c, a) (c, b) (c, c)


 =



3 5
2 5
2 5
2 3
5 2
5 2
5 2
3


 ,
а затем и V
P (a,b,c)
=
p det G(a, b, c) =
√
2.
Рекомендуемая литература: [4], Гл. 2, §3; [1], Гл. I, §4.8.
Задачи и упражнения: [2], 1224, 1225, 1226, 1227, 1228, 1229,
1230, 1232, 1233, 1234, 1236, 1237, 1239; [13], 1075, 1084, 1092,
1093
∗
3
Элементы сферической геометрии.
Рассмотрим в пространстве E
3
систему координат Oxyz, опреде- ляемую правым ортонормированным репером {O; i, j, k}. Сфера
40

S
радиуса 1 с центром в начале координат O имеет уравнение x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
⇐⇒
r
2
= 1.
Три точки A, B, C ∈ S, радиус-векторы которых не компланар- ны, и дуги больших окружностей (то есть окружностей, лежа- щих в плоскостях, проходящих через центр сферы) с централь- ными углами меньшими π, соединяющие точки A, B и C, обра- зуют сферический треугольник ABC. Обозначим длины сторон этого треугольника, лежащих против вершин A, B и C, соот- ветственно буквами a, b и c. При этом a = ∠BOC, b = ∠COA и c = ∠AOB. По определению, угол ∠C сферического треуголь- ника ABC при вершине C равен углу между прямыми, прохо- дящими через точку C и касающимися дуг окружностей CB и
CA, он совпадает с углом между плоскостями BOC и AOC.
A
0
B
0
C
0
O
B
A
C
N
1
N
2
O
B
2
A
2
B
1
A
1
A
B
C
Рис. 15.
Пусть π — плоскость, проходящая через центр сферы пер- пендикулярно вектору
−→
OC, а C
0
— точка сферы, диаметрально противоположная точке C. Плоскость π пересекает дуги CBC
0
и
CAC
0
, соответственно, в точках B
1
и A
1
. Угол между плоскостя- ми BOC и AOC равен углу ∠B
1
OA
1
или углу ∠B
2
OA
2
между векторами
−−→
OB
2
и
−−→
OA
2
, получающимися из векторов
−−→
OB
1
и
−−→
OA
1 41

поворотом на угол
π
2
в плоскости π. В соответствии с согласован- ными ориентациями пространства и плоскости π, этот угол ра- вен углу между векторами N
1
= [r
C
, r
B
] и N
2
= [r
C
, r
A
], ортого- нальными соответственно плоскостям BOC и AOC. Вектор N,
ортогональный плоскости α, называется нормальным вектором этой плоскости.
Таким образом, угол C сферического треугольника ABC ра- вен углу между нормальными векторами N
1
= [r
C
, r
B
] и N
2
=
[r
C
, r
A
], поэтому, в соответствии с формулой (33),
cos C =
([r
C
, r
B
][r
C
, r
A
])
|[r
C
, r
B
]
| |[r
C
, r
A
]
|
=
1
sin a sin b
(r
C
, r
C
) (r
C
, r
A
)
(r
B
, r
C
) (r
B
, r
A
)
=
=
1
sin a sin b
1
cos b cos a cos c
=
cos c
− cos a cos b sin a sin b
Таким образом,
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C.
(42)
Соотношение между сторонами и углами сферического треуголь- ника, выражаемое формулой (42), называется сферической тео- ремой косинусов. Если угол C равен
π
2
, то из формулы (42) сле- дует cos c = cos a cos b.
(43)
Формула (43) отражает соотношение между сторонами прямо- угольного сферического треугольника, называемое сферической теоремой Пифагора.
Замечание. Теорема косинусов (42) позволяет найти углы сфе- рического треугольника, если известны его стороны. В частно- сти, из нее следует, что сферический треугольник с точностью до равенства определяется своими сторонами (аналог третьего признака равенства треугольников на плоскости).
42

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10