Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия
 Скачать 1.64 Mb.
|
|
m . Посколь- ку (по основной лемме о линейной зависимости) подпростран- ство, размерность которого совпадает с размерностью прост- ранства, совпадает со всем пространством, отсюда следует, что Ann(Ann (L m )) = L m . 2 Способы задания подпространства в V n Как следует из рассуждений настоящего параграфа, имеются следующие два способа задания подпространства L m ⊂ V n 1 . Подпространство L m может быть задано как линейная обо- лочка L({b 1 , b 2 , . . . , b m }) своего базиса {b α } = {b 1 , . . . , b m }. В этом случае произвольный вектор из L m имеет вид v = t α b α = t 1 b 1 + t 2 b 2 + . . . + t m b m (58) Уравнения (58) называются параметрическими уравнениями подпространства L m . В координатах пространства V n эти урав- нения принимают вид v i = t 1 b i 1 + t 2 b i 2 + . . . + t m b i m (59) Параметры t α , α = 1, 2, . . . , m, — координаты вектора v в базисе {b α } подпространства L m 2 . Подпространство L m может быть задано как множество векторов, на которых обращаются в нуль линейные формы из Ann (L m ). Если { e w a } = { e w 1 , e w 2 , . . . , e w k }, k = n − m, — некото- рый базис в Ann (L m ), то подпространство L m задается системой 53 уравнений e w a (v) = 0, a = 1, 2, . . . , k = n − m. (60) В координатах пространства V n уравнения (60) принимают вид w 1 1 v 1 + w 1 2 v 2 + . . . + w 1 n v n = 0 w 2 1 v 1 + w 2 2 v 2 + . . . + w 2 n v n = 0 w k 1 v 1 + w k 2 v 2 + . . . + w k n v n = 0. (61) Формула (59) при этом представляет собой общее решение си- стемы уравнений (61). Замечание. Случаи m = 0 и m = n не исключаются из рас- смотрения. При этом Ann (V n ) = 0, а Ann (0) = V ∗ n 4.5 Примеры. Задача 9. Подпространство L 2 ⊂ V 4 задано в некотором базисе {e i } системой уравнений ( v 1 + 2v 2 − v 3 − v 4 = 0 2v 1 − v 2 + v 3 = 0. Найти уравнения этого подпространства в новом базисе e 1 0 = e 1 , e 2 0 = e 1 + e 2 , e 3 0 = e 1 + e 2 + e 3 , e 4 0 = e 1 + e 2 + e 3 + e 4 Решение. Из уравнений, задающих подпространство L 2 , сле- дует, что Ann(L 2 ) является линейной оболочкой пары линейных форм e w 1 = {1; 2; −1; −1}, e w 2 = {2; −1; 1; 0}. Координаты ли- нейных форм при переходе к новому базису преобразуются по формулам (57) (w 1 0 w 2 0 w 3 0 w 4 0 ) = (w 1 w 2 w 3 w 4 ) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 (62) 54 Подставляя в уравнения (62) координаты линейных форм e w 1 и e w 2 , находим их новые координаты {1; 3; 2; 1} и {2; 1; 2; 2}. От- сюда следует, что в новом базисе подпространство L 2 может быть задано системой уравнений ( v 1 0 + 3v 2 0 + 2v 3 0 + v 4 0 = 0 2v 1 0 + v 2 0 + 2v 3 0 + 2v 4 0 = 0. Рекомендуемая литература: [9], Лекция 4; [5], Ч. I, §§1.9, 3.9, 3.10. Задачи и упражнения: [11], 1845, [7], 2.1, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10. 5 Плоскость и прямая в трехмерном аффинном про- странстве. 5.1 Уравнения плоскости в A 3 Плоскость π в аффинном простран- стве A 3 определяется некоторой сво- ей точкой M 0 ∈ π и направляющим подпространством V 2 = V 2 (π). При этом M 0 M V 2 Рис. 16. π = {M ∈ A 3 | −−−→ M 0 M ∈ V 2 }. (63) В зависимости от того, как задано направляющее подпро- странство V 2 (π), возникают различные виды уравнений плос- кости π. Параметрические уравнения плоскости. Пусть подпространство V 2 (π) задано своим базисом {a 1 , a 2 }: V 2 (π) = L({a 1 , a 2 }). Рассмотрим некоторый репер {O; e i } в A 3 55 и обозначим r = r M , r 0 = r M 0 . Условия (63) принадлежно- сти точки M плоскости π мож- но представить в виде: r − r 0 = t 1 a 1 + t 2 a 2 , откуда получаем сле- дующие уравнения плоскости π, называемые O r 0 r M a 2 a 1 Рис. 17. параметрическими: r = r 0 + t 1 a 1 + t 2 a 2 ⇐⇒ x i = x i 0 + t 1 a i 1 + t 2 a i 2 , i = 1, 2, 3. (64) В уравнениях (64) параметры t 1 и t 2 являются координатами точки M в репере {M 0 ; a 1 , a 2 } на плоскости π. Общее уравнение плоскости. Подпространство V 2 (π) может быть задано как множество векторов, на которых обращаются в нуль линейные формы из аннулятора Ann (V 2 (π)). Так как dim Ann (V 2 (π)) = 1, то базис аннулятора Ann (V 2 (π)) состоит из одной линейной формы e A Поэтому (см.(26)) V 2 (π) = {v ∈ V 3 | h e A , vi = 0} = ker( e A ). В этом случае условия (63) принадлежности точки M плоскости π принимают следующий вид: h e A , r − r 0 i = 0 ⇐⇒ A i (x i − x i 0 ) = 0, (65) где A i , i = 1, 2, 3, — набор координат линейной формы e A . После раскрытия скобок уравнение (65) приводится к виду A i x i + A 4 = 0 ⇐⇒ A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 = 0. (66) Уравнение (66) называется общим уравнением плоскости π. Предложение. Уравнение (66) при любых значениях коэффи- циентов (коэффициенты A 1 , A 2 , A 3 предполагаются не равны- ми нулю одновременно) задает некоторую плоскость в A 3 56 Доказательство. Возьмем произвольное решение x i 0 , i = 1, 2, 3, уравнения (66), тогда A 1 x 1 0 + A 2 x 2 0 + A 3 x 3 0 + A 4 = 0. Вычитая последнее соотношение из (66), получим эквивалентное ему урав- нение, имеющее вид (65), которое является уравнением плос- кости π, проходящей через точку M 0 с координатами (x i 0 ) и имеющей направляющее подпространство ker( e A ), где e A = {A 1 , A 2 , A 3 }. 2 Следствия. 1) Коэффициенты {A 1 , A 2 , A 3 } в уравнении (66) плоскости π — это координаты линейной формы e A , задающей направляющее подпространство V 2 (π). 2) Имеет место следующее условие параллельности вектора a и плоскости π: a ||π ⇐⇒ A i a i = 0 ⇐⇒ h e A , ai = 0. Переход от параметрических уравнений плоскости к общему уравнению. Для того, чтобы по уравнениям (64) плоскости π найти ее общее уравнение, достаточно записать условие линейной зави- симости векторов r − r 0 , a 1 и a 2 : x 1 − x 1 0 x 2 − x 2 0 x 3 − x 3 0 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 1 a 2 1 a 3 1 = 0. (67) Можно также найти линейную форму e A , задающую V 2 (π), ре- шая систему уравнений h e A , a 1 i = 0, h e A , a 2 i = 0. Переход от общего уравнения плоскости к параметрическим уравнениям. Для того, чтобы по общему уравнению (66) плоскости π най- ти ее параметрические уравнения, достаточно решить уравне- ние (66) методом Гаусса. Тогда частное решение уравнения (66) 57 задает точку M 0 (x 1 0 , x 2 0 , x 3 0 ), а фундаментальные решения соот- ветствующего однородного уравнения — это заданные координа- тами базисные векторы направляющего подпространства V 2 (π). Например, если A 1 6= 0, то плоскость π с уравнением (66) можно задать следующими параметрическими уравнениями: x 1 x 2 x 3 = −A 4 /A 1 0 0 + t 1 −A 2 /A 1 1 0 + t 2 −A 3 /A 1 0 1 . Уравнения плоскости π, проходящей через три точки M 1 , M 2 и M 3 , не лежащие на одной прямой. Для составления уравнений плоскости π нужно в уравнениях (64) или (67) положить M 0 = M 1 , a 1 = −−−→ M 1 M 2 , a 2 = −−−→ M 1 M 3 Уравнения плоскости π, проходящей через две точки M 1 и M 2 и параллельной вектору b. Для составления уравнений плоскости π в этом случае нужно в уравнениях (64) или (67) положить M 0 = M 1 , a 1 = −−−→ M 1 M 2 , a 2 = b. M 1 M 2 M 3 Рис. 18. M 1 M 2 b Рис. 19. 5.2 Уравнения прямой в A 3 Прямая ` в аффинном пространстве A 3 определяется некото- рой своей точкой M 0 ∈ ` и направляющим подпространством 58 V 1 = V 1 (`). При этом ` = {M ∈ A 3 | −−−→ M 0 M ∈ V 1 }. (68) a M 0 M Рис. 20. В зависимости от того, как задано направляющее подпро- странство V 1 (π), возникают различные виды уравнений пря- мой `. Параметрические уравнения прямой. Если a ∈ V 1 (`) — ненулевой вектор (то есть {a} — базис в V 1 (`)), то условие (68) принадлежности точки M прямой ` можно представить в виде: r − r 0 = ta, откуда получаем пара- метрические уравнения прямой: r = r 0 + ta ⇐⇒ x i = x i 0 + ta i , i = 1, 2, 3. (69) В уравнениях (69) параметр t является координатой точки M в репере {M 0 ; a } на прямой `. Канонические уравнения прямой. Условие r − r 0 ||a можно записать также в следующем виде: x 1 − x 1 0 a 1 = x 2 − x 2 0 a 2 = x 3 − x 3 0 a 3 (70) Уравнения (70) принято называть каноническими уравнениями прямой. Уравнения прямой `, проходящей через две точки M 1 и M 2 Для составления уравнений ` нужно в уравнениях (69) или (70) положить M 0 = M 1 , a = −−−→ M 1 M 2 59 a = −−−→ M 1 M 2 M 0 = M 1 M 2 Рис. 21. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Подпространство V 1 (`) может быть задано как множество векторов, на которых обращаются в нуль линейные формы из аннулятора Ann (V 1 (`)). Так как dim Ann (V 1 (`)) = 2, то ба- зис аннулятора Ann (V 1 (`)) состоит из двух линейных форм: { e A , e B }. Поэтому (см. (26)) V 1 (`) = {v ∈ V 3 | h e A , vi = 0, h e B , vi = 0}. В этом случае условия (68) принадлежности точки M прямой ` принимают следующий вид: ( h e A , r − r 0 i = 0 h e B , r − r 0 i = 0 ⇐⇒ ( A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 = 0 (a) B 1 x 1 + B 2 x 2 + B 3 x 3 + B 4 = 0 (b) (71) Уравнения (71a) и (71b) задают в пространстве некоторые плос- кости, обозначим их α и β, содержащие прямую ` (см. рисунок 22). При любых λ и µ, не равных нулю одновременно, уравнение hλ e A + µ e B , r − r 0 i = 0 ⇐⇒ λ(A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 x 3 +A 4 )+µ(B 1 x 1 +B 2 x 2 +B 3 x 3 +B 4 ) = 0 (72) задает некоторую плоскость γ, проходящую через прямую `. Со- вокупность плоскостей, определяемых уравнением (72), называ- ется пучком плоскостей. Если некоторая плоскость σ с уравне- нием C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3 + C 4 = 0 проходит через прямую `, 60 то линейная форма e C с координатами {C 1 , C 2 , C 3 } обращается в нуль на направляющем подпространстве V 1 (`) прямой `. Сле- довательно, e C ∈ Ann (V 1 (`)) и, поэтому, e C = λ 0 e A + µ 0 e B для некоторых λ 0 и µ 0 . Это значит, что плоскость σ задается урав- нением (72) при λ = λ 0 и µ = µ 0 . Таким образом, пучок (72) содержит все плоскости, проходящие через прямую `. Парамет- ры λ и µ существенны с точностью до пропорциональности, то есть значениям параметров λ 0 , µ 0 и νλ 0 , νµ 0 соответствует одна и та же плоскость. α β γ(λ; µ) ` Рис. 22. Замечание. Если плоскости α и β, заданные уравнениями (71a) и (71b) соответственно, параллельны (но не совпадают), то ли- нейные формы e A и e B коллинеарны: e B = ν e A . При этом, оче- видно, и всякая линейная форма e C = λ e A + µ e B коллинеарна форме e A . В этом случае все плоскости с уравнениями (72) па- раллельны. Не трудно показать, что всякая плоскость, парал- лельная плоскостям α и β, может быть задана уравнением (72) при некоторых λ и µ. Уравнение (72) является в этом случае уравнением пучка параллельных плоскостей. Переход от одного способа задания прямой к другому. Чтобы по уравнениям прямой (71) получить параметрические уравнения этой прямой, нужно просто решить систему уравне- ний (71) методом Гаусса, см. пример ниже. 61 Чтобы по параметрическим уравнениям прямой получить си- стему уравнений вида (71), можно либо канонические уравне- ния (70) рассматривать как систему двух уравнений, либо найти Ann (V 1 (`)), решая уравнение. h e X , ai = 0 ⇐⇒ a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = 0 (73) относительно неизвестной линейной формы e X . При a 1 6= 0 ли- нейно независимыми решениями уравнения (73), например, яв- ляются e A = {−a 2 ; a 1 ; 0 } и e B = {−a 3 ; 0; a 1 }. При этом прямая (70) может быть задана системой уравнений ( −a 2 (x 1 − x 1 0 ) + a 1 (x 2 − x 2 0 ) = 0 −a 3 (x 1 − x 1 0 ) + a 1 (x 3 − x 3 0 ) = 0. 5.3 Примеры. Задача 10. Найти параметрические уравнения прямой `: ( x 1 + 2x 2 − 2x 3 + 4 = 0 2x 1 + 2x 2 − 3x 3 + 2 = 0. (74) Решение. Решаем систему уравнений (74) методом Гаусса. По- сле несложных вычислений получаем: x 1 x 2 x 3 = 2 −3 0 + t 2 1 2 . Прямая ` имеет направляющий вектор a = {2; 1; 2} и проходит через точку M 0 (2; −3; 0). Задача 11. Прямая ` задана параметрическими уравнениями: x 1 = 1 + 2t, x 2 = 2 + t, x 3 = −3 + t. Задать прямую ` системой двух линейных уравнений. 62 Решение. Прямая ` имеет направляющий вектор a = {2; 1; 1}. Для нахождения Ann (V 1 (`)) решаем методом Гаусса уравнение 2A 1 + A 2 + A 3 = 0 относительно координат {A 1 ; A 2 ; A 3 } линей- ной формы e A ∈ Ann (V 1 (`)). Это уравнение имеет два линейно независимых решения e A = {−1; 2; 0} и e B = {−1; 0; 2}. Посколь- ку ` проходит через точку M 0 (1; 2; −3), то она задается системой уравнений ( −(x 1 − 1) + 2(x 2 − 2) + 0(x 3 + 3) = 0 −(x 1 − 1) + 0(x 2 − 2) + 2(x 3 + 3) = 0 ⇐⇒ ( −x 1 + 2x 2 − 3 = 0 −x 1 + 2x 3 + 7 = 0. Задача 12. Составить уравнение плоскости π, проходящей че- рез точку M 0 (1; 1; 2) и прямую `, заданную системой уравнений ( 2x 1 − 3x 2 + x 3 + 2 = 0 x 1 − 4x 2 + x 3 + 3 = 0. Решение. Плоскость π принадлежит пучку плоскостей λ(2x 1 − 3x 2 + x 3 + 2) + µ(x 1 − 4x 2 + x 3 + 3) = 0. (75) Подставляя в уравнение (75) координаты точки M 0 , получаем уравнение 3λ + 2µ = 0, откуда находим λ = 2, µ = −3 (значения параметров λ и µ существенны с точностью до пропорциональ- ности!). Подставляя найденные значения λ = 2, µ = −3 в урав- нение (75), находим уравнение плоскости π: x 1 +6x 2 −x 3 −5 = 0. Задача 13. Плоскость π задана параметрическими уравнени- ями x 1 = 2 + 3t 1 − 4t 2 , x 2 = 1 − 3t 1 + 2t 2 , x 3 = −1 + t 1 − 2t 2 . (76) Параметры t 1 и t 2 представляют собой координаты точек плос- кости π в репере {M 0 ; a 1 , a 2 }, где M 0 = (2; 1; −1), a 1 = {3; −3; 1}, a 2 = {−4; 2; −2}. Найти: 63 1) координаты (x 1 A , x 2 A , x 3 A ) точки A, если известны ее коорди- наты t 1 A = 2, t 2 A = 1 в репере {M 0 ; a 1 , a 2 }; 2) координаты (t 1 B , t 2 B ) точки B(3; −4; −2) ∈ π; 3) уравнения прямой ` в системе координат {x 1 , x 2 , x 3 }, если известно ее уравнение 2t 1 + t 2 − 1 = 0 во внутренней системе координат на π, определяемой репером {M 0 ; a 1 , a 2 }; 4) уравнения прямой `, по которой плоскость π пересекается плоскостью 2x 1 − x 2 + x 3 − 5 = 0, во внутренней системе коор- динат на плоскости π, определяемой репером {M 0 ; a 1 , a 2 }. Решение. 1) Подставляя значения t 1 A = 2, t 2 A = 1 в уравнения (76), находим координаты точки A: x 1 A = 4, x 2 A = −3, x 3 A = −1. 2) Для нахождения координат t 1 B , t 2 B точки B подставляем ее координаты x 1 B = 3, x 2 B = −4, x 3 B = −2 в уравнения (76) и, решая возникающую систему трех уравнений с двумя неизвест- ными t 1 и t 2 , находим t 1 B = 3, t 2 B = 2. 3) Решая уравнение 2t 1 + t 2 − 1 = 0, найдем параметрические уравнения t 1 = u, t 2 = 1 |