Учебное пособие к курсу Аналитическая геометрия
 Скачать 1.64 Mb.
|
|
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Шурыгин В.В. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ II. Учебное пособие к курсу «Аналитическая геометрия». Часть II. Аналитическая геометрия пространства. Казань – 2012 УДК 514.1 Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» методической комиссии института математики и механики Протокол № 5 от 22 декабря 2011 г. заседания кафедры геометрии Протокол № 5 от 22 ноября 2011 г. Научный редактор: доктор физ.-мат. наук, доц. Е.Н. Сосов Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, проф. КФУ Ю.Г. Игнатьев, доктор физ.-мат. наук, проф. ЧГПУ А.В. Столяров Шурыгин Вадим Васильевич. Аналитическая геометрия II. Учебное пособие к курсу «Аналитическая геометрия». Часть II. Аналитическая геометрия пространства. Учебное по- собие / В.В. Шурыгин. – Казань: Казанский федеральный университет, 2012. – 120 с. Учебное пособие предназначено для студентов I курса института мате- матики и механики им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) фе- дерального университета. c Казанский федеральный университет, 2012 c Шурыгин В.В., 2012 1 Преобразование координат в аффинном простран- стве. 1.1 Переход к новому базису в векторном пространстве. Предположим, что в векторном пространстве V n даны два ба- зиса {e i }, i, j, . . . = 1, 2, . . . , n , и {e i 0 }, i 0 , j 0 , . . . = 1 0 , 2 0 , . . . , n 0 Первый базис будем называть также старым, а второй новым. Всякий вектор a ∈ V n может быть разложен по каждому из данных базисов: a = a i e i = a i 0 e i 0 (1) Чтобы установить соотношения между старыми {a i } и новыми {a i 0 } координатами вектора a, разложим векторы каждого из рассматриваемых базисов по другому базису: e i 0 = p i i 0 e i , e i = p i 0 i e i 0 (2) Замечание. Напомним, что мы используем правило суммиро- вания Эйнштейна, согласно которому по одинаковым индексам, один из которых стоит наверху, а другой внизу, осуществляется суммирование по всей области их изменения, например: p i i 0 e i = p 1 i 0 e 1 + p 2 i 0 e 2 + . . . + p n i 0 e n Подставим выражения (2) для векторов e i 0 в (1): a i e i = a i 0 p i i 0 e i . Сравнивая коэффициенты при векторах старого базиса, получаем a i = p i i 0 a i 0 = p i 1 0 a 1 0 + p i 2 0 a 2 0 + . . . + p i n 0 a n 0 (3) Базисы {e i } и {e i 0 } совершенно равноправны, поэтому формула, выражающая новые координаты вектора a через старые, имеет вид a i 0 = p i 0 i a i (4) 3 Матрица P = (p i i 0 ) = p 1 1 0 p 1 2 0 . . . p 1 n 0 p 2 1 0 p 2 2 0 . . . p 2 n 0 p n 1 0 p n 2 0 . . . p n n 0 , столбцы которой состоят из координат векторов нового базиса относительно старого базиса, называется матрицей преобразо- вания базиса. Матрица P 0 = (p i 0 i ) называется матрицей обрат- ного преобразования базиса. Подстановка второго из разложе- ний (2) в первое (при этом мы должны поменять «немой» ин- декс суммирования i 0 на j 0 !) дает e i 0 = p i i 0 p j 0 i e j 0 . Из однозначности разложения вектора e i 0 по базису {e j 0 } следует, что p j 0 i p i i 0 = δ j 0 i 0 = ( 1 при i 0 = j 0 , 0 при i 0 6= j 0 (символ Кронекера) или, в матричном виде, P 0 P = E, где E — единичная матри- ца. Таким образом, матрица обратного преобразования базиса является обратной по отношению к матрице прямого преобра- зования базиса: P 0 = P −1 В матричном виде преобразования координат вектора (3) и (4) выглядят, соответственно, следующим образом: a 1 a 2 a n = p 1 1 0 p 1 2 0 . . . p 1 n 0 p 2 1 0 p 2 2 0 . . . p 2 n 0 p n 1 0 p n 2 0 . . . p n n 0 a 1 0 a 2 0 a n 0 , a 1 0 a 2 0 a n 0 = p 1 0 1 p 1 0 2 . . . p 1 0 n p 2 0 1 p 2 0 2 . . . p 2 0 n p n 0 1 p n 0 2 . . . p n 0 n a 1 a 2 a n 4 Пусть теперь в пространстве V n задан третий базис {e i 00 }, i 00 , j 00 , . . . = 1 00 , 2 00 , . . . , n 00 , и e i 00 = p i i 00 e i , e i 00 = p i 0 i 00 e i 0 , тогда, оче- видно, p i i 00 = p i i 0 p i 0 i 00 , то есть, если P (17→2) = (p i i 0 ) — матрица перехода от первого базиса ко второму, P (27→3) = (p i 0 i 00 ) — матрица перехода от второго бази- са к третьему, а P (17→3) = (p i i 00 ) — матрица перехода от первого базиса к третьему, то P (17→3) = P (17→2) P (27→3) (5) 1.2 Преобразование аффинного репера. Предположим теперь, что в аффинном пространстве A n даны два репера {O; e i } и {O 0 ; e i 0 }, и базисы e i и e i 0 ассоциирован- ного векторного пространства V n связаны между собой соотно- шениями (2). Пусть {b i } — координаты начала O 0 нового репера относительно старого репера {O; e i }, то есть −−→ OO 0 = b i e i . Радиус- векторы r = −−→ OM и r 0 = −−→ O 0 M произвольной точки M ∈ A n в рассматриваемых реперах связаны между собой соотношением r = r 0 + −−→ OO 0 O e 1 e 2 O 0 e 0 1 e 0 2 M Рис. 1. В координатах это соотношение принимает вид x i e i = x i 0 e i 0 + b i e i = x i 0 p i i 0 e i + b i e i , откуда получаем выражения старых коор- 5 динат точки M через новые x i = p i i 0 x i 0 + b i (6) В матричном виде уравнения (6) выглядят следующим образом: x 1 x 2 x n = p 1 1 0 p 1 2 0 . . . p 1 n 0 p 2 1 0 p 2 2 0 . . . p 2 n 0 p n 1 0 p n 2 0 . . . p n n 0 x 1 0 x 2 0 x n 0 + b 1 b 2 b n (7) Аналогичный вид имеют и выражения новых координат через старые. При конкретных вычислениях они получаются из урав- нений (7) умножением на обратную матрицу P −1 Рассмотрим некоторые примеры. 1.3 Примеры. Задача 1. Найти уравнение гиперболы в системе координат, ко- ординатными осями которой являются асимптоты. Решение. См. рисунок 2. Гипербола в канонической системе координат имеет уравнение (x 1 ) 2 a 2 − (x 2 ) 2 b 2 = 1. (8) Рассмотрим новый (аффинный!) репер {O 0 ; e i 0 }, определяемый соотношениями: O 0 = O, e 1 0 = 1 2 (ae 1 − be 2 ), e 2 0 = 1 2 (ae 1 + be 2 ). Имеем: P = 1 2 a a −b b ! = ⇒ x 1 x 2 ! = 1 2 a a −b b ! x 1 0 x 2 0 ! Подставляя полученные выражения x 1 = 1 2 (ax 1 0 + ax 2 0 ), x 2 = 1 2 ( −bx 1 0 + bx 2 0 ) в уравнение (8), получаем уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам: x 1 0 x 2 0 = 1. 6 O x 1 x 2 x 1 0 x 2 0 e 2 0 e 1 0 Рис. 2. Задача 2. Начало и векторы базиса нового репера на плоско- сти заданы своими координатами относительно первоначально- го репера: O 0 (1; −1), e 1 0 = {2; 3}, e 2 0 = {1; 2}. a) Какое уравнение в новой системе координат будет иметь прямая ` : 2x 1 − 3x 2 + 5 = 0? b) Какое уравнение относительно первоначальной системы координат имеет координатная ось O 0 x 2 0 ? c) Какие координаты имеют точки O(0; 0) и A(−2; 1) в новой системе координат? Решение. a) Преобразование координат имеет вид: x 1 x 2 ! = 2 1 3 2 ! x 1 0 x 2 0 ! + 1 −1 ! (9) Подставляя x 1 = 2x 1 0 + x 2 0 + 1, x 2 = 3x 1 0 + 2x 2 0 − 1 в уравне- ние прямой `, находим ее уравнение в новой системе координат: 5x 1 0 − 4x 2 0 + 5 = 0. 7 b) Умножая матричное равенство (9) слева на матрицу 2 −1 −3 2 ! , обратную к 2 1 3 2 ! , находим обратное преобразование координат x 1 0 x 2 0 ! = 2 −1 −3 2 ! x 1 x 2 ! + −3 5 ! (10) Подставляя x 1 0 = 2x 1 − x 2 − 3, x 2 0 = −3x 1 + 2x 2 + 5 в уравне- ние x 1 0 = 0 оси O 0 x 2 0 , находим уравнение этой прямой в старой системе координат: 2x 1 − x 2 − 3 = 0. c) Подставляя координаты точек O(0; 0) и A(−2; 1) вместо (x 1 ; x 2 ) в уравнения (10), находим их новые координаты: x 1 0 O = −3, x 2 0 O = 5, x 1 0 A = −8, x 2 0 A = 13. Рекомендуемая литература: [8], Лекция 11; [1], Гл. III, §1. Задачи и упражнения: [2], 117, 118, 119, 122, 1291, 1292; [11], 1277, 1278, 1279, 1280, 1281; [13], 136, 137, 139, 140. 1.4 Ориентация векторных и аффинных пространств. Рассмотрим некоторое векторное пространство V n и обозначим символом B множество всех базисов в V n . Введем на множе- стве B отношение, полагая {e i 0 } ∼ {e i }, если матрица пре- образования базиса (p i i 0 ) имеет положительный определитель: det (p i i 0 ) > 0. Легко проверяется, что введенное отношение удо- влетворяет всем аксиомам отношения эквивалентности: рефлек- сивность следует из того, что определитель единичной матрицы равен 1 > 0, симметричность следует из того, что det (p i 0 i ) = 1/det (p i i 0 ) > 0, а транзитивность вытекает из свойств определи- теля произведения матриц (см.[6], гл. 3, §13) и формулы (5). Эквивалентные базисы называются одинаково ориентирован- ными. 8 Утверждение. Введенное отношение эквивалентности разби- вает множество всех базисов на два класса, каждый из кото- рых состоит из одинаково ориентированных базисов. Доказательство. Выберем произвольный базис {e i } и рассмот- рим два подмножества в B: B 1 = {{e i 0 } | det (p i 0 i ) > 0 }, B 2 = {{e i 0 } | det (p i 0 i ) < 0 }. Очевидно, что B = B 1 ∪ B 2 , B 1 ∩ B 2 = ∅ и B 1 — это класс эквивалентности. Остается проверить, что B 2 — класс эквива- лентности. Но это следует из формулы (5): если det (p i i 0 ) < 0 и det (p i i 00 ) < 0, то det (p i 0 i 00 ) > 0. Определения. Каждый из двух классов эквивалентности ба- зисов B 1 и B 2 называется ориентацией векторного простран- ства V n Векторное пространство V n называется ориентированным, если в нем выбрана ориентация. Базисы, принадлежащие выбранной ориентации, называют- ся положительно ориентированными или правыми, а базисы, принадлежащие второму классу эквивалентности, — отрица- тельно ориентированными или левыми. Аффинное пространство A n называется ориентированным, если ориентировано ассоциированное с ним векторное прост- ранство V n . При этом репер {O, e i } называется положитель- но (соответственно, отрицательно) ориентированным, если положительно (соответственно, отрицательно) ориентиро- ванным является базис {e i }. 1.5 Примеры. Задача 3. Два базиса {e i 0 } и {e i 00 } в трехмерном пространст- ве заданы своими координатами в некотором третьем базисе: 9 e 1 0 = {3; 2; 3}, e 2 0 = {2; 5; 4}, e 3 0 = {1; 3; 2}; e 1 00 = {5; 0; 7}, e 2 00 = {6; 1; 4}, e 3 00 = {3; 0; 5}. Одинаково ли ориентированы эти два базиса? Решение. Поскольку 3 2 1 2 5 3 3 4 2 = −3, а 5 6 3 0 1 0 7 4 5 = 4, то базисы {e i 0 } и {e i 00 } противоположно ориентированы. Задача 4. Покажите, что реперы {O; e 1 , e 2 , e 3 } и {O; e 1 , e 2 , e 0 3 } в пространстве A 3 одинаково ориентированы тогда и только то- гда, когда концы векторов e 3 и e 0 3 , отложенных от точки O, ле- жат по одну сторону от координатной плоскости Ox 1 x 2 (плоско- сти, проходящей через точку O параллельно векторам e 1 и e 2 ). Решение. Пусть e 0 3 = λe 1 + µe 2 + νe 3 — разложение вектора e 0 3 по базису {e 1 , e 2 , e 3 }, тогда матрица P перехода от базиса {e 1 , e 2 , e 3 } к базису {e 1 , e 2 , e 0 3 } имеет вид 1 0 λ 0 1 µ 0 0 ν . Очевидно, det P > 0 тогда и только тогда, когда ν > 0. Рекомендуемая литература: [8], Лекция 11; [1], Гл. III, §3; [4], Гл. 2, §3. 1.6 Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Билинейное отображение вида h : V n × V n 3 {a, b} 7→ h(a, b) ∈ R 10 называют билинейной формой. В базисе {e i } векторного прост- ранства V n билинейная форма h задается следующим образом: h(a, b) = h(a i e i , b j e j ) = a i b j h(e i , e j ) = h ij a i b j , где h ij = h(e i , e j ). Матрица H = (h ij ) = h 11 h 12 . . . h 1n h 21 h 22 . . . h 2n h n1 h n2 . . . h nn называется матрицей билинейной формы h в базисе {e i }. Выясним, как изменяется эта матрица при преобразовании базиса e i 0 = p i i 0 e i в векторном пространстве V n . Имеем: h i 0 j 0 = h(e i 0 , e j 0 ) = h(p i i 0 e i , p j j 0 e j ) = p i i 0 p j j 0 h(e i , e j ) = p i i 0 p j j 0 h ij . (11) Используя операцию умножения матриц, формулу (11) можно записать в виде H 0 = P > HP, (12) где H 0 = (h i 0 j 0 ). 1.7 Преобразование прямоугольных систем координат. Рассмотрим теперь случай евклидова аффинного пространства E n . Пусть (E n , g) — ассоциированное с E n евклидово векторное пространство, где g : E n × E n 3 {a, b} 7→ g(a, b) = (a, b) ∈ R — билинейная форма на E n , относящая паре векторов их ска- лярное произведение. Форму g называют основной или метри- ческой формой евклидова пространства E n 11 Определение. Базис {e i } в евклидовом векторном простран- стве E n называется ортонормированным, если (e i , e j ) = δ ij , i, j = 1, 2, . . . , n, где δ ij = ( 1 при i = j, 0 при i 6= j (символ Кронекера). Репер {O, e i } в евклидовом аффинном пространстве E n на- зывается ортонормированным, если базис {e i } пространства E n является ортонормированным. Таким образом, в ортонормированом базисе матрица G = (g ij ) основной формы является единичной матрицей: g ij = δ ij Рассмотрим теперь преобразование ортонормированного ба- зиса в E n , то есть переход e i 0 = p i i 0 e i от одного ортонормирован- ного базиса {e i } к другому ортонормированному базису {e i 0 }. Поскольку в этом случае матрицы G = (g ij ) и G 0 = (g i 0 j 0 ) фор- мы g обе являются единичными, то формула (12) принимает вид P > P = E ⇐⇒ P −1 = P > (13) Определение. Матрица P , удовлетворяющая соотношению (13), называется ортогональной матрицей. Ортогональные матрицы образуют группу относительно опе- рации умножения матриц, обозначаемую O(n) и называемую ор- тогональной группой. При переходе от одного ортонормированного репера в про- странстве E n к другому координаты точек и векторов преобра- зуются по формулам (6) и (3), где P = (p i i 0 ) — ортогональная матрица. Из соотношения (13) следует, что определитель ортогональ- ной матрицы равен ±1. При непрерывном изменении ортого- нальной матрицы ее определитель не может изменить знак, по- 12 этому множество ортогональных матриц состоит из двух ком- понент O + (n) и O − (n), в первую из которых входят матрицы с определителем 1, а во вторую матрицы с определителем −1. Множество O + (n) ортогональных матриц с определителем, рав- ным 1, является подгруппой в O(n). Эта подгруппа обознача- ется SO(n) и называется специальной ортогональной группой. Между компонентами SO(n) и O − (n) можно установить взаим- но однозначное и взаимно непрерывное соответствие. Для этого достаточно у каждой матрицы из SO(n) поменять знак у всех элементов первого столбца. Очевидно, множество правых (а так- же и множество левых) ортонормированных базисов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством SO(n). При переходе от одного правого ортонормированного репера {O; i, j} на плоскости к другому правому ортонормированному реперу {O 0 ; i 0 , j 0 } имеют место следующие формулы: ( i 0 = e(ϕ) = i cos ϕ + j sin ϕ, j 0 = e(ϕ + π/2) = −i sin ϕ + j cos ϕ, откуда x y ! = cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ! x 0 y 0 ! + a b ! , (14) где (a; b) — координаты точки O 0 в старом репере. Если ориентация у реперов противоположная, то преобразо- вание координат имеет вид: x y ! = cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ ! x 0 y 0 ! + a b ! Из (14) следует, что имеется взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между SO(2) и окружностью S 1 — 13 множеством точек на евклидовой плоскости R 2 , удовлетворяю- щих уравнению x 2 + y 2 = 1. Это соответствие устанавливается следующим образом: SO(2) 3 cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ! 7−→ (cos ϕ, sin ϕ) ∈ S 1 Каждое преобразование правого ортонормированного репера {e 1 , e 2 , e 3 } в трехмерном евклидовом пространстве E 3 можно представить в виде композиции трех последовательных поворо- тов вокруг некоторых осей. ϕ 2 ϕ 1 ϕ 3 e 0 3 e 00 1 e 0 1 e 3 e 1 e 0 2 e 2 Рис. 3. Пусть {e 1 , e 2 , e 3 } и {e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 } — два правых ортонормирован- ных репера в E 3 (для векторов нового базиса в данном случае удобно использовать наряду с ранее принятыми обозначениями {e 1 0 , e 2 0 , e 3 0 } также и обозначения {e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 }). Будем представ- лять векторы этих реперов отложенными от одной точки O ев- клидова аффинного пространства E 3 . Рассмотрим две плоскости α и α 0 , проходящие через точку O параллельно векторам e 1 , e 2 и e 0 1 , e 0 2 соответственно. Считаем, что плоскости α и α 0 ориен- тированы таким образом, что реперы {e 1 , e 2 } и {e 0 1 , e 0 2 } явля- 14 ются правыми. При этом направление кратчайшего вращения от первого вектора репера ко второму является (полагается по определению) положительным. Пусть вектор e 00 1 лежит на прямой пересечения плоскостей α и α 0 и образует с векторами e 3 и e 0 3 правый базис {e 00 1 , e 3 , e 0 3 }. Кратчайший угол вращения в положительном направлении от вектора e 1 до вектора e 00 1 в плоскости α обозначим ϕ 1 . Если репер {e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 } произволен, то ϕ 1 — произвольный угол из интерва- ла [0, 2π). Пусть ϕ 2 ∈ [0, π] — угол поворота от вектора e 3 до вектора e 0 3 в плоскости, перпендикулярной вектору e 00 1 , а ϕ 3 — кратчайший угол вращения в положительном направлении от вектора e 00 1 до вектора e 0 1 в плоскости α 0 (см. рисунок 3). Пере- ход от репера {e 1 , e 2 , e 3 } к реперу {e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 } можно представить как композицию следующих трех последовательных вращений. Первое вращение: репер {e 1 , e 2 , e 3 } поворачивается вокруг оси, проходящей через O в направлении e 3 , на угол ϕ 1 . При этом репер {e 1 , e 2 , e 3 } переходит в репер {e 00 1 , e 00 2 , e 3 } (см. рисунок 4). ϕ 3 ϕ 2 e 00 1 e 00 2 e 0 2 e 0 1 e 3 e 0 3 Рис. 4. 15 Второе вращение: репер {e 00 1 , e 00 2 , e 3 } поворачивается вокруг оси, проходящей через O в направлении e 00 1 , на угол ϕ 2 . При этом репер {e 00 1 , e 00 2 , e 3 } переходит в репер {e 00 1 , e 000 2 , e 0 3 } (см. рисунок 5). e 0 3 e 0 2 e 000 2 e 0 1 e 00 1 Рис. 5. Третье вращение: репер {e 00 1 , e 000 2 , e 0 3 } поворачивается вокруг оси, проходящей через O в направлении e 0 3 , на угол ϕ 3 . При этом репер {e 00 1 , e 000 2 , e 0 3 } переходит в репер {e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 }. Углы ϕ 1 , ϕ 2 и ϕ 3 называются углами Эйлера ([1], Гл. III, §5; [4], Гл. 3, §2). Матрицы P 1 , P 2 и P 3 рассмотренных выше преобразований базисов имеют, соответственно, следующий вид: P 1 = cos ϕ 1 − sin ϕ 1 0 sin ϕ 1 cos ϕ 1 0 0 0 1 , P 2 = 1 0 0 0 cos ϕ 2 − sin ϕ 2 0 sin ϕ 2 cos ϕ 2 , P 3 = cos ϕ 3 − sin ϕ 3 0 sin ϕ 3 cos ϕ 3 0 0 0 1 . Произвольная матрица P ∈ SO(3) является произведением P = P 1 P 2 P 3 матриц P 1 , P 2 и P 3 для некоторых ϕ 1 ∈ [0, 2π), ϕ 2 ∈ [0, π] и ϕ 3 ∈ [0, 2π). Столбцы этой матрицы, представляющие собой наборы координат векторов e i 0 = e 0 i , i 0 = 1 0 , 2 0 , 3 0 , в базисе 16 {e 1 , e 2 , e 3 }, имеют следующий вид: p 1 1 0 p 2 1 0 p 3 1 0 = cos ϕ 1 cos ϕ 3 − sin ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 3 sin ϕ 1 cos ϕ 3 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 3 sin ϕ 2 cos ϕ 3 , (15) p 1 2 0 p 2 2 0 p 3 2 0 = − cos ϕ 1 sin ϕ 3 − sin ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3 − sin ϕ 1 sin ϕ 3 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3 sin ϕ 2 sin ϕ 3 , (16) p 1 3 0 p 2 3 0 p 3 3 0 = sin ϕ 1 sin ϕ 2 − cos ϕ 1 sin ϕ 2 cos ϕ 2 . (17) Отсюда следует, что преобразование координат, связывающее между собой координаты точек в двух различных правых пря- моугольных системах координат в трехмерном евклидовом про- странстве E 3 , может быть представлено в следующем виде: x = x 0 (cos ϕ 1 cos ϕ 3 − sin ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 3 ) + + y 0 ( − cos ϕ 1 sin ϕ 3 − sin ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3 ) + z 0 (sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + a, y = x 0 (sin ϕ 1 cos ϕ 3 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 3 ) + + y 0 ( − sin ϕ 1 sin ϕ 3 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3 ) + z 0 ( − cos ϕ 1 sin ϕ 2 ) + b, z = x 0 (sin ϕ 2 cos ϕ 3 ) + y 0 (sin ϕ 2 sin ϕ 3 ) + z 0 (cos ϕ 2 ) + c. Имеется следующая геометрическая интерпретация группы SO(3). Если некоторый правый ортонормированный базис {e 1 , e 2 , e 3 } в пространстве E 3 зафиксирован, то тем самым уста- навливается взаимно однозначное соответствие между SO(3) и множеством всех правых ортонормированных базисов в E 3 . Про- извольный правый ортонормированный базис {e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 } одно- значно определяется парой векторов {e 0 3 , e 0 1 }. Если вектор e 0 3 17 отложить от фиксированной точки O в евклидовом аффинном пространстве E 3 как вектор −→ OA, то, в силу произвольности век- тора e 0 3 , точка A опишет сферу S 2 единичного радиуса в E 3 с цен- тром в точке O. Поскольку вектор e 0 1 ортогонален вектору e 0 3 , то если отложить вектор e 0 1 от точки A как вектор −→ AB, то конец вектора e 0 1 , точка B, опишет окружность единичного радиуса в касательной плоскости к сфере в точке A (см. рисунок 6). Таким образом, SO(3) находится во взаимно однозначном и взаимно непрерывном соответствии с множеством, представляющим со- бой дизъюнктное объединение окружностей единичного радиу- са, расположенных в касательных плоскостях к сфере единично- го радиуса и имеющих своим центром точку касания плоскости и сферы. Это множество T 1 S 2 называется единичным касатель- ным расслоением к сфере S 2 Указанную интерпретацию можно получить из представления элементов группы SO(3) с помощью углов Эйлера. Рассмотрим правый ортонормированный базис {u 1 , u 2 , u 3 } в E 3 , состоящий из векторов, имеющих в базисе {e 1 , e 2 , e 3 } соответственно сле- дующие координаты: {sin ϕ 1 sin ϕ 2 , − cos ϕ 1 sin ϕ 2 , cos ϕ 2 }, {cos ϕ 1 , sin ϕ 1 , 0}, {− sin ϕ 1 cos ϕ 2 , cos ϕ 1 cos ϕ 2 , sin ϕ 2 }. Нетрудно убедиться, что формулы (15) – (17) эквивалентны сле- дующим разложениям e 0 1 = u 2 cos ϕ 3 + u 3 sin ϕ 3 , e 0 2 = −u 2 sin ϕ 3 + u 3 cos ϕ 3 , e 0 3 = u 1 Вектор u 1 = e 0 3 задает точку A на сфере S 2 , а векторы {u 1 , u 2 } образуют базис в касательной плоскости T A S 2 к сфере S 2 в точ- ке A. При изменении параметра ϕ 3 в пределах [0, 2π) конец век- тора e 0 1 описывает окружность в плоскости T A S 2 (см. рисунок 6). 18 O A B u 1 u 2 e 0 3 e 0 1 e 0 2 Рис. 6. 1.8 Примеры. Задача 5. На какой угол нужно повернуть оси прямоугольной системы координат на плоскости, чтобы уравнение 2x 2 − 5xy + 2y 2 + 3x |