учебник. 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
 Скачать 2.95 Mb.
|
|
2.2.1. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера 2.2.2. Основное дифференциальное уравнение гидростатики 2.2.3. Дифференциальное уравнение поверхности 2.2.1. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера Рассмотрим состояние равновесия жидкости в общем случае, т.е. когда на неё действует сила тяжести и сила инерции переносного движения при относительном покое. Выделим в покоящейся жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными , и (рис. 2.6). Рис. 2.6. Схема для вывода дифференциальных уравнений равновесия жидкости Введём обозначения: - среднее гидростатическое давление на площадку ; - среднее гидростатическое давление на площадку ; - дифференциал, который выражает изменение давления от точки к точке вдоль оси при расстоянии между точками ; - сила гидростатического давления на площадку ; - сила гидростатического давления на площадку ; - масса параллелепипеда; - проекции ускорений единичной массовой силы; - проекция единичной массовой силы на ось . На параллелепипед действуют силы гидростатического давления от окружающей жидкости и массовые силы. Запишем уравнение равновесия в направлении оси . После преобразования и деления на уравнение примет вид , или . Аналогичным образом получим уравнения в направлении осей и : (уравнения Эйлера) (2.8) Полученная система уравнений равновесия жидкости называется уравнениями Эйлер. Они выведены Л.Эйлером в 1755 г. Слагаемые, входящие в полученные уравнения, являются проекциями единичных массовых и поверхностных сил. Эти уравнения показывают, что поверхностные и массовые силы, действующие на жидкость, взаимно уравновешиваются. 2.2.2. Основное дифференциальное уравнение гидростатики На практике удобнее пользоваться не системой уравнений, а одним уравнением, не содержащим частных производных. Умножим каждое уравнение (2.8), соответственно, на и, сложив их, получим . (2.9) Трехчлен, заключенный в скобки, представляет собой полный дифференциал давления , т.е. приращение давления при изменении координат на величины , и . Следовательно, можно записать . (2.10) Уравнение (2.10) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики. В таком виде дифференциальное уравнение Эйлера обычно применяется на практике в общем случае равновесия жидкости. Отступление: Л. Эйлер (1707—1783 гг.) - известный математик, механик и физик. Родился и получил образование в Базеле (Швейцария). Свыше 30 лет прожил в Петербурге, работая в Петербургской академии наук. Помимо математики, физики, теории упругости, теории машин и других наук занимался гидромеханикой, вывел дифференциальные уравнения движения жидкостей и газов, предложил критерий гидродинамического подобия. Считается одним из основоположников гидромеханики. 2.2.3. Дифференциальное уравнение поверхности Поверхностью уровня, или поверхностью равного давления, называется геометрическое место точек, испытывающих в жидкости одинаковое давление. В каждом частном случае равновесия существует множество поверхностей уровня, одна из которых совпадает со свободной поверхностью жидкости. По определению, каждая поверхность уровня характеризуется условием ; . Подставляя это условие в основное уравнение гидростатики (2.10), получим . (2.11) Так как массовая плотность не может быть равной нулю, то . (2.12) Это и есть уравнение семейства поверхностей уровня в самом общем случае равновесия жидкости. Каждое из трёх слагаемых в левой части этого уравнения можно представить как работу единичной массовой силы на элементарном пути в направлении данной оси координат, а весь трехчлен - как работу результирующей единичных массовых сил на элементарном приращении пути вдоль поверхности уровня. Как видно из (2.12), эта работа оказывается равной нулю. Следовательно, результирующая массовых сил направлена по нормали к поверхности уровня в каждой данной её точке. Справедливость этого заключения ясна и из чисто логического рассуждения: если бы результирующая сила не была нормальной к поверхности уровня, то существовала бы её тангенциальная составляющая, которая производила бы сдвиг жидкости, а, следовательно, равновесия не существовало бы. Разумеется, уравнения (2.10) и (2.12) в общем случае интегрированию не поддаются. Их решение зависит от граничных условий каждого частного случая равновесия. 2.3. Основные задачи гидростатики Гидростатика в зависимости от частного случая равновесия жидкости позволяет решать следующие четыре типовые задачи: 1) О законе распределения давления. Задача может быть решена интегрированием основного дифференциального уравнения гидростатики (2.10). 2) О форме поверхностей уровня. Эта задача может быть решена двумя способами: а) аналитически – интегрированием дифференциального уравнения семейства поверхностей уровня (2.12). б) геометрически – построением, учитывающим, что в каждой данной точке поверхности уровня результирующая массовых сил нормальна к этой поверхности. 3) О механическом взаимодействии покоящейся жидкости с ограничивающими плоскими и криволинейными стенками. Эта задача решается в соответствии с законом распределения давления в жидкости. 4) О механическом взаимодействии покоящейся жидкости с погруженными в неё телами. Эта задача относится к теории плавания и включает в себя теорию остойчивости корабля. (Большой вклад в разработку этой теории внесли академик А.Н. Крылов и адмирал О.В. Макаров. Четвертая задача относится к внешней задаче гидростатики и поэтому в данном курсе не рассматривается). 2.4. Основное уравнение гидростатики из уравнений Эйлера. Закон распределения давления Пусть жидкость находится в абсолютном равновесии в поле земного тяготения, т.е. когда на жидкость действует только сила тяжести , а ось направленавверх (рис. 2.7). Рис. 2.7. Равновесие в поле земного тяготения Запишем проекции единичных массовых сил на оси координат , и . Подставим эти значения в основное уравнение гидростатики . Следовательно, для этого частного случая равновесия жидкости получим . (2.13) Но произведение , где - удельный вес жидкости. Делая подстановку и деля обе части уравнения (2.13) на запишем уравнение в следующем виде После интегрирования будем иметь . (2.14) Или обозначив эту сумму через , получим (2.15) Уравнение (2.15) представляет собой основное уравнение гидростатики, полученное путем интегрирования дифференциального уравнения Эйлера. Это и есть закон распределения давления в «абсолютно» покоящейся жидкости: чем меньше координата , т.е. чем глубже погружена та или иная точка, тем больше давление в этой точке. Закон распределения гидростатического давления (2.15) может быть представлено в другой форме. Определим постоянную интегрирования , используя граничные условия для точки , лежащей на свободной поверхности, т.е. и . Подставляя эти значения в (2.14), находим . Подставив в уравнение (2.14), получим , или . (2.16) Заменив в уравнении (1.16) , где - глубина расположения точки, найдем , (2.17) где - абсолютное давление; - давление на свободной поверхности; - избыточное гидростатическое давление в рассматриваемой точке. Как ясно из формул (2.16) и (2.17), гидростатическое давление линейно зависит от глубины погружения : чем больше глубина , тем больше давление в данной точке. Этот линейный закон распределения давления может быть изображен графически в виде эпюр абсолютного или избыточного давления (рис.2.8). а – абсолютного; б - избыточного Рис. 2.8. Эпюры гидростатического давления 2.4.1. Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики Выделим в «абсолютно» покоящейся жидкости произвольные точки и с координатами и (рис. 2.9). Удалив из трубок с запаянными верхними концами воздух, погрузим их отвесно в жидкость так, чтобы нижние открытые их концы совпали с точками и . Под действием разности давлений жидкость в трубках поднимется до точек и . Давление в этих точках полагается равным нулю (хотя в действительности оно будет несколько выше нуля за счет упругости паров жидкости и остаточного воздуха в концах трубки). Рис.2.9. Закон распределения давления в «абсолютно» покоящейся жидкости Применим основное уравнение гидростатики (2.10) к точкам и . и - это высоты столбов жидкости в трубках, измеренные относительно точек и . Таким образом, точки и лежат в одной горизонтальной плоскости. Высота для любой точки жидкости над плоскостью равна сумме высот . (2.18) В итоге приходим к выводу, что каждый из членов уравнения (2.18) представляет собой некоторую высоту, которым присвоены определенные названия: - геометрическая (или нивелирная) высота; - пьезометрическая высота; - высота полного гидростатического напора. Геометрический смысл основного уравнения гидростатики. Сумма геометрической и пьезометрической высоты равна полному гидростатическому напору и есть величина постоянная для всех точек данной покоящейся массы жидкости. Пьезометрическая высота (а с ней и гидростатическое давление ) может изменяться только ха счёт соответствующего изменения геометрической высоты , т.е. при увеличении уменьшается , и наоборот. 2.4.2. Энергетическая интерпретация основного уравнения гидростатики Рассмотрим потенциальную энергию жидкости в элементарном объёме, выделенном около произвольной точки с геометрической высотой и давлением (рис. 2.10). Рис. 2.10. Энергетическая интерпретация основного уравнения гидростатики Полная потенциальная энергия в этом объёме складывается из двух частей: потенциальной энергии положения и потенциальной энергии давления : . Первая из них может быть определена как работа, которую совершила бы сила тяжести при опускании массы выделенного объёма жидкости до уровня плоскости сравнения : . Вторая же может быть превращена в механическую работу, на которую можно поднять жидкость, если в точку опустить запаянную с одного конца трубку с удаленным из неё воздухом. Как мы уже знаем, жидкость поднимется в такой трубке на высоту , следовательно, жидкость, обладая весом , совершит работу . Таким образом, потенциальная энергия выделенной частицы жидкости . Отнеся потенциальную энергию к весу жидкости, получим высоту полного гидростатического напора: . (2.19) Как видим, каждый из членов уравнения (2.19) представляет собой удельную (приходящуюся на единицу веса жидкости) энергию того или иного вида: - удельная потенциальная энергия положения жидкости; - удельная потенциальная энергия давления; - полная удельная потенциальная энергия покоящейся жидкости. Энергетический смысл основного уравнения гидростатики. Сумма удельной потенциальной энергии положения и удельной потенциальной энергии давления равна полной удельной потенциальной энергии и есть величина постоянная для всех точек данной покоящейся массы жидкости. Удельная потенциальная энергии давления может изменяться только ха счёт изменения удельной потенциальной энергия положения жидкости . Закон распределения давления в (2.19) можно таким образом рассматривать как частное выражение закона сохранения энергии применительно к непрерывному объёму «абсолютно» покоящейся несжимаемой жидкости, когда один вид энергии переходит в другой, и наоборот. 2.5. Применение закона Паскаля в технике 2.5.1. Приборы для измерения давления 2.5.2. Простейшие гидравлические машины. Гидравлический пресс. Мультипликатор 2.5.1. Приборы для измерения давления Пьезометры. Погрузим в «абсолютно» покоящуюся жидкость открытые с обоих концов стеклянные трубки так, чтобы их нижние концы совпали с точками и (рис. 2.11). В обеих трубках с открытыми концами жидкость поднимется на одинаковую высоту, которая будет лежать водной плоскости относительно плоскости сравнения . Эта высота равна высоте полного гидростатического напора , измеренной не по абсолютному, а по избыточному давлению. Рис.2.11. Закон распределения давления в «абсолютно» покоящейся жидкости Такие открытые с обоих концов трубки, предназначенные для измерения давления, точнее пьезометрической высоты, называются пьезометрами, или пьезометрическими трубками. Пьезометры пригодны для измерения относительно небольших давлений, т.к. уже при вода в трубке поднялась бы на высоту 10 м, а минерального масла с относительным весом 0,8 – на 12,5 м. Дифференциальные манометры. Для измерения разности давлений в двух точках служат дифференциальные манометры, простейшим из которых является - образный манометр (рис. 2.12). Рис. 2.12. Дифференциальный манометр Дифференциальные манометры могут измерять как избыточное (рис. 2.11, а), так и вакуумметрическое давление (рис. 2.11, б). Если при помощи такого манометра, обычно заполняемого ртутью, измеряется разность давлений и в жидкости плотностью , которая полностью заполняет соединительные трубки, то . (2.20) При измерении небольших давлений газа вместо ртути применяют спирт, керосин, воду и т.д. Пьезометры и дифференциальные манометры применимы для измерения давления не только в покоящейся жидкости, но и в потоке. Для измерения давлений более 0,2—0,3 применяют механические манометры — пружинные или мембранные. Принцип их действия основан на деформации полой пружины или мембраны под действием измеряемого давления. Через механизм эта деформация передается стрелке, которая показывает величину измеряемого давления на циферблате. Наряду с механическими манометрами применяют электрические манометры. В качестве чувствительного элемента (датчика) в электроманометре используют мембрану. Под действием измеряемого давления мембрана деформируется и через передаточный механизм перемещает движок потенциометра, который вместе с указателем включен в электрическую схему. Соотношение единиц измерения давления: 1ат = 1кгс/см2 =10 м вод. ст. = 736,6 мм рт. ст. = 98066,5Па 105 Па. 1 кПа = 103Па; 1 МПа = 106Па. При нормальном атмосферном давлении (0,1033 МПа) высота равна для воды 10,33 м, для бензина ( = 750 кг/м3) 13,8 м, для ртути 0,760 м и т.д. 2.5.2. Простейшие гидравлические машины. Гидравлический пресс. Мультипликатор Гидравлический пресс. Пресс применяется в технике для создания больших сжимающих усилий, которые необходимы в технике при обработке металлов давлением, прессовании, штамповке, брикетировании, испытании различных материалов и др. Пресс состоит из сообщающихся цилиндров с поршнями, соединённых между собой трубопроводом (рис. 2.13). Рис. 2.13. Схема гидравлического пресса Один из сосудов имеет площадь , которая меньше площади второго сосуда. Если к поршню в сосуде 1 приложить силу , то под ним создаётся гидростатическое давление , определяемое по формуле . По закону Паскаля давление передаётся во все точки жидкости, в том числе и на площадь . Это создаёт силу . Выразив через , получим . Таким образом, сила во столько раз больше силы , действующей на поршень в малом сечении, во сколько раз площадь больше площади . Сила создаётся обычно при помощи поршневого насоса, который подаёт жидкость (масло, эмульсию) в камеру пресса. Сила может прессовать изделие, находящееся между поршнем и неподвижной платформой. Практически развиваемая сила меньше силы вследствие трения между поршнями и цилиндрами. Это уменьшение учитывается коэффициентом полезного действия пресса - . В современных гидравлических прессах развиваются усилия до 100000 тонн и более. Мультипликатор. Аналогичный принцип действия заложен в работу таких известных устройств, как домкрат и мультипликатор. На рисунке 2.14 показана схема мультипликатора. Рис. 2.14. Схема мультипликатора Если в камере создается гидростатическое давление , то гидростатическое давление в камере должно удовлетворять условию , откуда , . Таким образом, при помощи мультипликатора давление повышается в раз. 2.6. Сила давления на плоскую стенку. Гидравлический парадокс Докажем, что полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади, т.е. . Пусть «абсолютно» покоящаяся жидкость ограничена плоской стенкой, наклоненной к горизонту под произвольным углом (рис. 2.15). Требуется определить силу давления жидкости на некоторый участок стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь . Чтобы увидеть форму этого участка, провести некоторые построения и найти положение центра тяжести его площади повернём стенку около её ребра на 900, совместив её тем самым с площадью чертежа. Рис. 2.15. Схема для определения силы давления жидкости на плоскую стенку Оси координат свяжем со стенкой и проведем их следующим образом: ось совместим с ребром стенки и направим вниз; оси и расположим в плоскости, перпендикулярной к оси ; ось совместим с линией пересечения свободной поверхности жидкости и стенки. Выделим на рассматриваемом участке элементарную площадку и определим действующую на неё силу , где - давление на свободной поверхности; - глубина расположения площадки ; - координата площадки . Для определения полной силы проинтегрируем полученное выражение по всей площади : , Последний интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка ), , где - ордината центра тяжести площади . Следовательно, . Учитывая, что глубина погружения центра тяжести , и вынося за скобки, получим , (2.21) где - абсолютное давление в точке . В частном случае, когда давление является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, то сила избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе давления от веса жидкости , т. е. . (2.22) Произведение представляет собой объем цилиндра с площадью основания , и высотой . Таким образом, физический смысл выражения (2.22): сила, с которой жидкость действует на плоскую стенку, равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием, равным площади данной стенки, и высотой, равной глубине погружения центра тяжести этой площадки под уровень свободной поверхности. Формулу (2.22) можно ещё упростить , (2.23) где - давление в центре тяжести площади . Полученный результат может быть сформулирован так: сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на величину гидростатического давления в центре тяжести этой площади. Этот результат справедлив как для силы абсолютного, так и для силы избыточного давления. Таким образом, сила давления покоящейся жидкости на плоскую стенку не зависит ни от формы стенки, ни от её наклона, а определяется лишь удельным весом жидкости, площадью участка стенки и глубиной погружения центра тяжести этой площади. Это заключение вошло в литературу под названием гидростатического парадокса. Применительно к плоскому дну сосуда гидростатический парадокс сводится к тому, что сила давления жидкости на дно не зависит от формы сосуда и его дна, а определяется лишь площадью дна, уровнем жидкости в сосуде и её удельным весом. |