учебник. 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
 Скачать 2.95 Mb.
|
|
3.9.1. Геометрический смысл уравнения Бернулли. Трубка Пито В гидравлике уравнение Бернулли чаще всего используется в форме (3.18) . Все члены этого уравнения имеют линейную размерность - [м, см]. Подобно тому, как первый член этого уравнения представляет собой некоторую высоту можно и остальные слагаемые представить как высоты. Не следует думать, что речь идёт о каких-то воображаемых высотах. Все эти высоты можно воспроизвести реально. Выделим элементарную струйку, возвышающуюся над горизонтальной плоскостью (рис. 3.10). Рис. 3.10. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли (схема трубки полного давления - Пито) Каждая из этих высот получила определённое название: - геометрическая или нивелирная высота, т.е. высота центра тяжести поперечного сечения струйки, измеренная относительно некоторой произвольной плоскости сравнения ; - пьезометрическая высота, т.е. высота столба жидкости в трубке пьезометра 1; - высота скоростного напора, т.е. дополнительная высота, на которую жидкость поднялась бы в пьезометре при полном торможении потока в данной точке А; - высота полного гидродинамического напора, т.е. сумма указанных трёх высот. Высота столба жидкости в пьезометре, измеренная относительно точки А, равна пьезометрической высоте в этой точке потока. Во второй же трубке жидкость поднимется на высоту, поскольку скорость в точке А упала до нуля и удельная кинетическая энергия полностью перешла в энергию давления. Разность высот в этих двух трубках, таким образом, равна удельной кинетической энергии, или то же самое, высоте скоростного напора . Полный гидродинамический напор равен сумме трёх указанных высот. Закон, выражаемый уравнением Бернулли, может быть наглядно представлен для элементарной струйки в виде диаграммы (рис. 3.11). Отнесём струйку к системе координат и напишем уравнение Бернулли для трёх произвольных сечений струйки . Рис. 3.11. Линии полных напоров Н-Н и пьезометрических высот П-П вдоль струйки идеальной жидкости Выбрав произвольно горизонтальную плоскость сравнения отложим от неё геометрическую высоту поперечного сечения 1-1 струйки. Затем надстроим в том же масштабе последовательно пьезометрическую высоту и высоту скоростного напора . Сумма этих высот равна высоте полного гидродинамического напора, которая по всей длине струйки идеальной жидкости остаётся одинаковой. На высоте расположена горизонтальная линия , которую принято называть линией полного гидродинамического напора или сокращённо напорной линией. Теперь в любом другом произвольном сечении струйки (например, в сечении 2-2) можно не зная даже величины давления в этом сечении, построить все три высоты, входящие в уравнение Бернулли. Удобнее всего построение начать с высоты скоростного напора, величина которой может быть легко найдена из геометрии струйки с помощью уравнения расхода , . Полученную таким образом высоту отложим вниз от плоскости полного напора. Дополнительный вертикальный отрезок до центра тяжести сечения струйки и будет представлять искомую пьезометрическую высоту , а вертикальный отрезок до центра тяжести сечения до плоскости сравнения - геометрическую высоту . Соединяя плавными кривыми вершины всех трёх высот, получаем характерные элементы «диаграммы Бернулли»: - линию геометрических высот (осевую линию струйки); - пьезометрическую линию (геометрическое место вершин пьезометрических высот); - напорную линию (геометрическое место вершин высот полного гидродинамического напора). Итак, рисунок 3.11 даёт геометрическое истолкование уравнения Бернулли: 1) При установившемся движении идеальной жидкости сумма трёх высот есть величина постоянная, и называется полным напором; 2) Если сечение расширяется и, следовательно, скорость уменьшается, то уменьшается скоростной напор, но возрастает сумма . Закономерности, найденные для струйки, справедливы и для одномерных потоков конечного сечения. 3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энергии, то каждое из слагаемых должно измеряться в единицах работы. Чтобы перевести уравнение (3.18) в уравнение работы надо умножить его на единицу силу, например, на 1Н, тогда размерность каждого слагаемого будет выражена в Нм (Дж). Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесённую к единице массы. Тогда: - удельная потенциальная энергия положения, т.к. частица жидкости массой , находясь на высоте , обладает энергией положения ; - удельная потенциальная энергия давления движущейся жидкости, т.к. частица жидкости массой при давлении обладает способностью подняться на высоту и приобрести потенциальную энергию; - удельная кинетическая энергия давления движущейся жидкости, т.к. частица жидкости массой обладает кинетической энергией . Итак, энергетический смысл уравнения Бернулли: 1) При установившемся движении идеальной жидкости полная удельная энергия в любом поперечном сечении равна сумме трёх удельных энергий - положения, давления и кинетической и есть величина постоянная; 2) При переходе от одного сечения струйки к любому другому её поперечному сечению удельная энергия одного вида может изменяться только за счёт изменения удельных энергий других видов. Иными словами, уравнение Бернулли представляет собой частное выражение закона сохранения энергии применительно к струйке идеальной жидкости. 3.10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости Вязкая жидкость при движении испытывает сопротивление, поэтому её удельная энергия не может сохраняться неизменной вдоль струйки. На преодоление трения расходуется часть энергии, которая превращается в тепловую энергию, невозвратимую для рассматриваемой движущейся жидкости. Происходит так называемая диссипация (рассеяние) энергии в пространстве. Кроме того, энергия теряется на преодоление других различных видов сопротивлений. В соответствии с этим при движении вязкой жидкости в уравнении Бернулли надо ввести поправку на потери напора по длине струйки. Выделим в потоке элементарную струйку (рис. 3.12). Рис. 3.12. Элементарная струйка Обозначим полную удельную энергию в сечении 1-1 через , в сечении 2-2 через , а потери напора - . Для идеальной струйки , А для реальной струйки в силу необратимых потерь на трение . В результате получим следующую запись уравнения Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости . (3.19) Полученное уравнение Бернулли справедливо для элементарной струйки вязкой жидкости. 3.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости Разобьём установившийся параллельноструйный поток на элементарные струйки и, выделив одну из них, определим её мощность в поперечноном сечении 1-1 потока (рис. 3.12). При этом под мощностью будем понимать энергию жидкости, протекающей через поперечное сечение струйки в единицу времени. Учитывая, что энергия струйки на единицу веса жидкости, равна высоте полного гидродинамического напора и что в единицу времени через поперечное сечение протекает жидкость, вес которой равен весовому расходу струйки , можно записать, что . (3.20) А теперь, интегрируя мощность по всей площади живого сечения, получим мощность потока в данном живом сечении: . (3.21) Первый из интегралов равен объёмному расходу потока, выраженному через среднюю скорость: . (3.22) Что касается второго интеграла, то ясно, что . (3.23) Однако это неравенство можно превратить в равенство, вводя поправочный коэффициент , (3.24). Подставив (3.22) и (3.24) в уравнение (3.21), получим . Отнеся мощность потока к весу жидкости , получим высоту полного гидродинамического напора в данном живом сечении потока: . (3.25) Третье слагаемое в выражении (3.25) представляет собой удельную кинетическую энергию (высоту скоростного напора) в данном живом сечении потока. Из выражения (3.24) следует, что - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока. При равномерном распределении скоростей по сечению, т.е. при коэффициент . Чем более равномерно распределены скорости, тем меньше отличается коэффициент от единицы. При равномерном движении жидкости коэффициент приблизительно равен . При неравномерном движении значения могут иногда значительно отличаться от единицы. Вместе с тем при выполнении гидравлических расчётов коэффициент часто принимают равным единице, т.е. вовсе не учитывают. Выражение (3.25) даёт величину полного гидродинамического напора в одном живом сечении потока. Чтобы получить уравнение Бернулли для потока, необходимо сравнить значения полного напора в разных сечениях. Обозначим средние значения полного напора в сечениях 1-1 и 2-2 через и . Тогда, , (3.26) где - суммарные потери полного напора на участке между рассматриваемыми сечениями. Запишем уравнение (3.26) применительно к двум сечениям в развёрнутой форме . (3.27) Это и есть уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой несжимаемой жидкости. От уравнения (3.19) для элементарной струйки идеальной жидкости оно отличается коэффициентом , учитывающим неравномерность распределения скоростей, и членом , представляющим собой потерю полного напора, а скорости, входящие в это уравнение, являются средними скоростями. Как и уравнение Бернулли в формах (3.17) и (3.18) уравнения (3.19) и (3.27) справедливы лишь при отсутствии инерционных сил переносного движении системы (например, для потока в неподвижном или равномерно и прямолинейно перемещающемся трубопроводе). 3.12. Классификация гидравлических потерь. Гидравлический и пьезометрический уклоны Как известно, энергия в природе не может ни теряться, ни возникать из ничего. Говоря о потерях энергии в потоке, имеют в виду ту часть механической энергии, которая из-за вязкости жидкости превращается в тепловую и через стенку трубопровода рассеивается в окружающую среду. Для природы в целом эта энергия не потеряна, но для потока она теряется необратимо, поскольку не может быть снова превращена в механическую энергию жидкости. Причиной всех гидравлических потерь является вязкость жидкости, но далеко не всегда она оказывает существенное влияние на их величину. Потери удельной энергии или гидравлические потери зависят от формы потока, скорости течения и вязкости жидкости, а иногда и от абсолютного давления. Гидравлические потери делятся на две группы - потери на трение по длине и местные потери . Потери на трение по длине – это потери, обусловленные действием внутреннего трения в жидкости и трением между ограничивающими поток стенками. Эти потери определяются по формуле Дарси-Вейсбаха , (3.28) где - коэффициент трения по длине или коэффициент Дарси. Местные потери обусловлены местными сопротивлениями, вызывающими деформацию потока. Местные потери напора определяются по формуле Вейсбаха , (3.29) где - безразмерный коэффициент, так называемый коэффициент местных потерь, или местных гидравлических сопротивлений. При протекании жидкости через местные сопротивления изменяется её направление и скорость, и возникают завихрения. Примерами местных сопротивлений могут служить сужения, расширения, повороты, дроссели, вентили, клапаны и другие устройства. В гидравлических расчётах иногда удобно местные потери приводить к потерям по длине, оперируя фиктивной «эквивалентной длиной» трубопровода. Приравняв местные потери к потерям на эквивалентной длине потока, можно легко определить эту длину , откуда , или . (3.30) При таком подходе общие гидравлические потери в трубопроводе постоянного диаметра формально определяются как потери подлине . (3.31) При решении многих задач технической гидродинамики потери удобнее определять через расход. Подставляя в формулы (3.28), (3.29) и (3.31), получим соответственно ; (3.32) ; (3.33) . (3.34) Если потери необходимо выражать в паскалях , то для этого достаточно умножить , или на удельный вес жидкости . Откладывая последовательно потери и скоростной напор в виде соответствующих вертикальных отрезков вниз от линии полного напора для идеальной жидкости, получим напорную и пьезометрические линии для установившегося потока вязкой несжимаемой жидкости (рис. 3.13). При построении такой диаграммы (или «эпюры трубопровода») местные потери рассматриваются как сосредоточенные, скачкообразные, поскольку участок возмущения, в пределах которого реализуется каждое из них, обычно мал по сравнению с общей протяжённостью потока. Что касается потерь по длине, то они уменьшают полный напор постепенно на протяжении всего трубопровода, определяя тем самым форму напорной линии. Рис. 3.13. Линии полных напоров Н-Н и пьезометрических высот П-П для потока вязкой жидкости Отношение потерь напора на цилиндрических участках трубопровода к соответствующей длине называют гидравлическим уклоном и обозначают буквой : . (3.35) Гидравлический уклон – величина безразмерная и в общем случае переменная. Понятие об уклоне можно ввести и для пьезометрической линии. Пьезометрическим уклоном называется изменение удельной потенциальной энергии жидкости, отнесённое к единице длины. . (3.36) Пьезометрический уклон может быть положительным, равным нулю и отрицательным (рис. 3.13). На цилиндрических участках трубопровода напорная и пьезометрическая линии представляют собой параллельные прямые, поскольку расстояние между ними по вертикали равно постоянной величине . 3.13. Применение уравнения Бернулли в технике Расходомер Вентури. Трубка Пито. Струйный насос Расходомер Вентури. Рассмотрим применение уравнения Бернулли на примере расходомера Вентури, используемого для измерения расхода различных жидкостей. Рис. 3.14. Схема расходомера Вентури Расходомер состоит из двух фасонных участков – плавно сужающегося (сопла) и постепенно расходящегося (диффузора). Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает (потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию потока). Перепад давлений определённым образом связан с расходом и измеряется двумя пьезометрами или дифференциальным U-образным манометром. Найдём связь между расходом и перепадом давлений. Запишем для сечений 1-1 и 2-2 потока уравнение Бернулли и уравнение расхода ; ; , где - потери напора на местное сопротивление. Учитывая, что , , разрешим эту систем относительно скорости : , . Отсюда объёмный расход , или , где - величина, постоянная для данного расходомера. Величину С можно определить теоретически, а также более точно её можно найти в результате градуировки расходомера. Связь между и имеет вид параболы. Если вдоль оси абсцисс откладывать расход во второй степени, то график этой зависимости будет представлять собой прямую линию. Трубка Пито Трубка ПИТО – простейший прибор, позволяющий измерять полное давление, представляет собой открытую трубку, направленную навстречу потоку. ПИТО-ПРАНДТЛЯ трубка - прибор для измерения скорости течения жидкости или газа, основанный на одновременном измерении полного и статического давлений в какой-нибудь точке потока. Изобретена в 1732 французским ученым Анри Пито, усовершенствована Л. Прандтлем (рис. 3.15). Если установить навстречу потока прибор Пито-Прандтля, то в трубке 1 изогнутой на 900 жидкость поднимется над уровнем в пьезометре 2 на высоту, равную скоростному напору. Объясняется это тем, что скорость , попадающих в отверстие трубки, уменьшается до нуля, а давление, следовательно, увеличивается на величину скоростного напора. Измерив разность высот подъёма жидкости в трубке Пито и пьезометре, легко определить скорость жидкости в данной точке. Этот принцип лежит в основе измерения скорости полёта самолёта. На рис. 3.15 представлена схема прибора для измерения малых скоростей самолёта по сравнению со скоростью звука. Рис. 3.15. Прибор для измерения скорости Запишем уравнение Бернулли для струйки, которая набегает на трубку вдоль её оси, а затем растекается по её поверхности. Для сечений 0-0 (невозмущённый поток) и 1-1 (где ), получаем . Так как боковые отверстия в приборе приближённо воспринимают давление невозмущённого потока, то давление в пьезометре , следовательно, с учётом предыдущего имеем или . Измерив величину находим скорость в рассматриваемой точке . Необходимо заметить, что полученная формула даёт обычно некоторую погрешность. Практически данную формулу используют в виде , где - поправочный коэффициент, который находится для данной трубки Пито путём её тарировки. Струйный насос (эжектор) состоит из плавно сходящегося насадка А, осуществляющего сжатие потока, и постепенно расходящейся трубки С, установленной на некотором расстоянии от насадка в камере В (рис.3.16). Вследствие увеличении скорости потока давление в струе на выходе из насадка и во всей камере В значительно понижается. В расширяющейся трубке скорость уменьшается, а давление возрастает приблизительно до атмосферного (если жидкость вытекает в атмосферу), следовательно, в камере В давление обычно меньше атмосферного, т.е. возникает разрежение (вакуум). Под действием разрежения жидкость из нижнего резервуара всасывается по трубе в камеру В, где происходят слияние и дальнейшее перемешивание двух потоков. Рис. 3.16. Струйный насос |