учебник. 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет

• Название: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
• Анкор: учебник
• Дата: 18.04.2023
• Размер: 2.95 Mb.
• Имя файла: 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД .docx
• Тип: Учебное пособие; #1071665
• страница: 10 из 13

3.14. Основы гидродинамического подобия

В науке существуют два основных метода исследования: аналитический, основанный на законах механики и физики, и экспериментальный.

Ранее отмечалось, что аналитическое решение дифференциальных уравнений, описывающих движение жидкости, возможно лишь для сравнительно небольшого числа упрощенных моделей и явлений. Поэтому для решения большинства сложных инженерных задач в механике жидкости прибегают к экспериментальным исследованиям. Экспериментальные исследования проводятся в лабораториях на моделях, которые выполняются, как правило, в меньшем масштабе, по сравнению с натурными объектами. При этом моделирование изучаемых процессов должно быть научно обосновано.

Исследования на моделях приводят к значительной экономии средств, позволяют уточнять формулы, полученные теоретическим путем, и устанавливать эмпирические зависимости между параметрами изучаемого явления.

В гидравлике множество исследовательских задач позволяет решать теория гидродинамического подобия, т.е. подобия потоков несжимаемой жидкости.

Гидродинамическое подобие складывается из трёх составляющих: геометрического подобия, кинематического и динамического.

1. Геометрическое подобие - представляет собой пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов:

, (3.37)

где - линейные размеры натурного потока и модели;

- коэффициент пропорциональности или линейный масштаб модели. Эта величина одинакова (idem) для подобных потоков.

В гидравлике под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки, т.е. подобие каналов. К их числу относятся также участки, расположенные непосредственно перед и за рассматриваемым участком, т.к. они оказывают существенное влияние на характер исследуемых явлений.

Из формулы (3.37) следует, что является условием подобия соответствующих площадей, а - объёмов.

Однако геометрическое подобие является необходимым, но недостаточным условием для адекватного отражения работы натурного объекта и модели.

2. Кинематическое подобие - означает пропорциональность местных скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей:

, (3.38)

где - скорость натурного потока и модели;

— масштаб скоростей, одинаковый при кинематическом подобии.

Так как , то(где Т -время, - масштаб времени).

Из кинематического подобия потоков следует геометрическое подобие линий тока.

В теории подобия доказывается, что кинематическое подобие потоков (скорости, ускорения, перемещения частиц в модели будут соответственно в одних и тех же отношениях уменьшены по сравнению с натурой) имеет место только при соблюдении геометрического и динамического подобия.

Динамическое подобие - это пропорциональность сил, вызывающих рассматриваемое движение в модели, по сравнению с аналогичными силами в натуре.

В потоках жидкостей обычно действуют разные силы: силы дав­ления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорцио­нальности означает полное гидродинамическое подобие. Осуще­ствление на практике полного гидродинамического подобия оказы­вается весьма затруднительным, поэтому обычно имеют дело с ча­стичным (неполным) подобием, при котором соблюдается пропор­циональность лишь основных, главных сил.

Для напорных течений, т.е. для потоков в трубах, в гидромашинах и тому подобных, такими силами, как показывает анализ, являются силы давления, вязкости и силы инер­ции. На жидкость действует также сила тяжести, но в напорных потоках ее действие проявляется через давление, т.е. оно сводится к соответствующему изменению давления. Поэтому, рассматривая так называемое приведенное давление , тем самым учитываем силу тяжести.

Силы инерции определяются произведением массы на ускорение, т.е. , а их отношение в подобных потоках равно масштабу сил:

, (3.39)

где - силы инерции в натурном потоке и модели;

- масштаб плотностей.

Таким образом, силы инерции пропорциональны плотности, ско­рости во второй степени и размеру Lво второй степени, который, в свою очередь, пропорционален площади S:

.

Заметим, что этому же произведению пропорциональны силы, с которыми поток воздействует (или способен воздействовать) на преграды (см. п. 3.6), лопасти гидромашин и обтекаемые тела.

Примем силы инерции за основу и будем другие силы, действую­щие на жидкость, сравнивать с инерционными, т.е. с выражением .

Таким образом, для гидродинамически подобных потоков в натуре (н) и модели (м) имеем

(число Ньютона). (3.40)

Это отношение, одинаковое для подобных потоков, называют числом Ньютона и обозначают . Здесь под подразумевается основная сила: сила давления, вязкости, тяжести или др. Следова­тельно, соотношение (3.40) представляет собой общий вид закона гидродинамического подобия.

Рассмотрим три характерных случая воздействия на движущуюся жидкость основных сил и найдем усло­вия подобия потоков.

1. На жидкость действуют лишь силы давления и инерции. Тогда и условие (3.40) примет вид

(число Эйлера), (3.41)

где - некоторая разность давлений (или просто давление);

- безраз­мерный критерий, называемый числом Эйлера.

Следовательно, условием гидродинамического подобия геомет­рически подобных потоков в данном случае является равенство для них чисел Эйлера.

Из предыдущего ясен физический смысл числа Эйлера: это есть величина, пропорциональная отношению сил давления к силам инерции.

2. На жидкость действуют силы вязкости, давления и инерции. Тогда

и условие (3.40) после деления последнего выражения на при­мет вид

, или

(число Рейнольдса), (3.42)

где Re — безразмерный критерий, называемый числом Рейнольдса.

Отступление. 0. Рейнольдс (1842—1912 гг.) - известный английский физик и инженер. Помимо установления важнейшего критерия, названного его именем, исследовал ряд других вопросов гидравлики с позиций инженера: режимы те­чения жидкости, теорию наиболее сложного турбулентного режима течения, теорию смазки, течение с парообразованием (кавитацию) и др.

Следовательно, условием гидродинамического подобия геомет­рически подобных потоков в рассматриваемом случае является ра­венство чисел Рейнольдса, подсчитанных для сходственных сечений потоков.

Последнее условие является особенно важным, так как им устанавливается основной критерий подобия напорных потоков - число Рейнольдса. За характерный размер Lпри под­счете числа Рейнольдса должен приниматься поперечный размер потока, например, диаметр сечения.

Из предыдущего ясен физический смысл числа Рейнольдса: это есть величина, пропорциональная отношению сил вязкости к силам инерции.

3. На жидкость действуют силы тяжести, давления и инерции. Тогда и условие (3.40) принимает вид
или
(число Фруда), (3.43)
где - безразмерный критерий, называемый числом Фруда.

Следовательно, условием гидродинамического подобия геометри­чески подобных потоков в данном случае является равенство чисел Фруда. Из предыдущего яс­но, что число Фруда — это величина, пропорциональная отношению сил инерции к силам тяжести. Критерий Фруда являет­ся важным при рассмотре­нии безнапорных течений в открытых руслах, для на­порных течений его можно не учитывать.

Для установления связи между гидродинамическим подобием и основным уравнением гидравлики - уравнением Бернулли - рассмотрим два напорных потока I и II, которые подобны друг другу гидродинамически, и отметим на них сходственные сечения 1-1 и 2-2 (рис. 3.17).

Рис. 3.17. Подобные потоки
Запишем уравнение Бернулли для указанных сечений одного из потоков в предположении, что жидкость идеальная. Это будет соответствовать первому из рассмотренных выше случаев движения, так как на жидкость, можно считать, будут действовать лишь силы давления и инерции. Будем иметь

,

где и — приведенные давления.

Используя уравнение расхода

,

исключим скорость и, перегруппировав члены уравнения, приведем его к безразмер­ному виду. Для этого разделим уравнение на , после чего получим

. (3.44)

Правая часть уравнения (3.44) одинакова для подобных пото­ков вследствие геометрического подобия, а левая часть, представ­ляющая собой удвоенное число Эйлера , одинакова вследствие динамического подобия, и всё уравнение (3.44) одинаково для по­добных потоков идеальной жидкости. Таким образом, для обеспе­чения гидродинамического подобия напорных потоков идеальной жидкости достаточно одного геометрического подобия.

Теперь запишем уравнение Бернулли для тех же сечений 1-1 и 2-2 одного из напорных потоков вязкой жидкости, подобных гидродинамически. Будем иметь

,

где - коэффициент потерь энергии между рассматриваемыми сечениями.

После приведения этого уравнения к безразмерному виду подобно предыдущему получим

. (3.45)

Число одинаково для рассматриваемых подобных потоков вследствие их динамического подобия; коэффициенты Кориолиса и одинаковы из-за кинематического подобия, следовательно, одинаковым будет и коэффициент потерь , а также все уравнение.

Если же рассматривать подобные потоки в трубах постоянного сечения, то одинаковым будет коэффициент потерь на трение по длине - .

Итак, в подобных напорных потоках имеем равенство безразмер­ных коэффициентов и чисел и некоторых других, которые будут введены в рассмотрение ниже.

Изменение числа означает, что изменяется соотношение основных сил в потоке, в связи с чем указанные коэффициенты могут также несколько изме­ниться. Поэтому все коэффициенты следует рассматривать как функ­ции основного и определяющего критерия для напорных потоков вязкой жидкости — числа Рейнольдса - (хотя в некоторых интер­валах числа эти коэффициенты могут оставаться постоянными).

При экспериментальных исследованиях и моделировании напор­ных течений в лабораторных условиях необходимо, во-первых, обес­печить геометрическое подобие модели (II) и натуры (I), включая условия входа и выхода, и, во-вторых, соблюсти равенство чисел Рейнольдса: . Из второго условия получаем необходимую скорость потока при эксперименте

.

В частном случае, при скорость при эксперименте должна быть больше натурной в раз. Применяя менее вязкую жид­кость (или ту же жидкость, но при повышенной температуре) можно снизить скорость .

Помимо перечисленных основных критериев подобия (Eu, Re, Fr), в гидравлике применяют и другие критерии для особых случаев течения жидкости. Так, при рассмотрении течений, связанных с по­верхностным натяжением (например, при распаде струи на капли, распыливании топлива в двигателях), вводят критерий Вебера (We), равный отношению сил поверхностного натяжения к силам инерции. Для этого случая условие (3.40) принимает вид

(критерий Вебера). (3.46)

При рассмотрении неустановившихся (нестационарных) периодических течений с периодом (например, течений в трубопроводе, присоединенном к поршневому насосу) вводят критерий Струхаля ( ), учитывающий силы инерции от нестационарности, называемые локальными. Последние пропорциональны массе ( )и ускорению , которое, в свою очередь, пропорционально . Следовательно, условие (3.40) для этого случая принимает вид

или

(критерий Струхаля). (3.47)

При рассмотрении движений жидкости с учетом ее сжимаемости (например, движений эмульсий) вводят критерий Маха ( ), учиты­вающий силы упругости. Последние пропорциональны площади ( )и объемному модулю упругости [см. сжимаемость – закон Гука]. Поэтому силы упругости пропорциональны и условие (3.40) принимает вид

или

(число Маха). (3.48)

Критерий Маха имеет очень большое значение при рассмотрении движений газа. Чем ближе число М к единице, тем больше влияние сжимаемости газа при его движении.
3.15. Режимы течения жидкости

Существуют два принципиально различных режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный.

Исследованием механизма движения жидкости в различное время занимались многие знаменитые ученые: немецкий инженер-гидравлик Готтхильфом Хаген (иногда Гаген) (1797-1884), русские ученые – химик Д.И. Менделеев (1834-1907) и физик Н.П. Петров (1836-1920), английский физик О. Рейнольдс (1842-1912). Д.И. Менделеев в своей монографии «О сопротивлении жидкостей и о воздухоплавании» в 1880 г. указывал на существование в природе двух режимов движения жидкости с различными законами ее сопротивления. Эта же мысль была развита и доказана в 1883 г. русским физиком Н. П. Петровым (1836—1920), впервые установившим, что при смазке силы трения, определяемые вязким сопротивлением при ламинарном движении, пропорциональны первой степени скорости.

И хотя многие исследователи указывали на различные режимы движения жидкости, наличие двух режимов движения было подтверждено только в 1883 году О. Рейнольдсом. Он наблюдал структуру ламинарного и турбулентного потоков визуально на простой установке (рис. 3.18).

К баку 1 подсоединена горизонтальная стеклянная труба 2 с краном 3. Над баком установлен сосуд 4 с окрашенной жидкостью, которая подаётся в трубу 2 по тонкой трубке 5, снабжённой краником 6. В бак 1 заливается вода, и уровень её поддерживается постоянным. Затем открытием крана 3 в трубе 2 создают поток, в который подают тонкую струйку окрашенной жидкости. Постепенным открытием крана 2 можно повышать расход, а, следовательно, и скорость жидкости в трубе.

Рис. 3.18. Режимы течения жидкости
Исследования показали, что при небольших скоростях течения введённая краска не перемешивается с потоком, а наблюдается плавное слоистое течение без поперечного перемешивания частиц (молекулярное перемешивание происходит даже в покоящейся жидкости).

Это так называемое ламинарное течение – слоистое течение частиц жидкости без перемешивания и без пульсаций скоростей и давлений (рис. 3.18,а). При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, поперечные перемещения жидкости отсутствуют.

При увеличении скорости течения воды картина течения вначале не меняется, но затем при достижении определённой скорости наступает быстрое её изменение. Струйка краски на выходе начинает колебаться (рис. 3.18,б), затем размываться и перемешиваться с потоком жидкости. При этом становится заметным вихреобразование и вращательное движение жидкости. Течение становится турбулентным (рис. 3.18, в).

Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием частиц жидкости и вихреобразованием, а также пульсациями скоростей и давлений.

При турбулентном течении движение отдельных частиц оказывается подобным хаотическому движению молекул газа. Происходит перемешивание жидкости, сопровождающееся продольным и поперечным перемещением и вращательным движением отдельных объёмов жидкости.

Тогда же О. Рейнольдс обратил внимание на связь этих режимов с определёнными интервалами числовых значений критерия, который впоследствии был назван его именем.

, (критерий Рейнольдса) (3.49)

где - средняя скорость движения жидкости;

- диаметр трубопровода;

- кинематическая вязкость жидкости.

Оказалось, что относительно малым значениям числа Рейнольдса соответствует ламинарный режим, а относительно большим - турбулентный.

Многочисленными опытами установлено, что при напорном течении в круглой трубе нижнее значение числа Рейнольдса составляет примерно Re_н.кр  2300, а верхнее - Re_в.кр  4000.

Число Рейнольдса, ниже которого наблюдается устойчивое ламинарное течение, получило название нижнего критического, т.е.

- ламинарное течение.

При числе Рейнольдса, превышающем верхнее критическое, наблюдается устойчивый турбулентный режим:

- турбулентное течение.

В узком интервале чисел Рейнольдса между критическим нижним и критическим верхним наблюдается «переходный режим», не имеющий самостоятельного значения и отличающийся крайней неустойчивостью:

- переходной режим.

В этом диапазоне значений чисел может существовать как ламинарное, так и турбулентное течение, но оба они здесь неустойчивы и легко переходят друг в друга.

Наличие двух режимов можно объяснить тем, что при малых числах Рейнольдса, силы вязкости достаточно велики по сравнению с инерционными силами. Поэтому тормозящее (направляющее) воздействие стенок, осуществляемое через механизм внутреннего трения, распространяется на всю толщу потока. При больших числах Рейнольдса, т.е. при относительно малой роли вязкости, направляющее воздействие стенок может оказаться настолько слабым, что отдельные частицы жидкости под влиянием всякого рода возмущений начнут совершать собственные движения, характерные для турбулентного потока.

Нижнее критическое число Рейнольдса имеет относительно стабильное значение, верхнее же может существенно изменяться под воздействием различных факторов: наличие или отсутствие возмущений на входе, степени шероховатости стенок, наличия или отсутствия вибрации трубы, степени её интенсивности и др.

В связи с этим число Re_кp, соответствующее переходу от ламинарного течения к турбулентному, может получиться несколько больше, чем Re_кp для обратного перехода. В особых лабораторных условиях при полном отсутствии факторов, способствующих турбулизации потока, можно получить ламинарное течение при Re, значительно превышающем Re _н.кp. Однако в этих случаях ламинар­ное течение оказывается настолько неустойчивым, что достаточно небольшого возмущения (толчка), чтобы оно перешло в турбулент­ное. На практике обычно имеются условия, способствующие турбулизации, - вибрация труб, местные гидравлические сопротивле­ния, неравномерность (пульсация) расхода и прочее, а потому ука­занное обстоятельство имеет в гидравлике скорее принципиальное, чем практическое, значение.