учебник. 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
 Скачать 2.95 Mb.
|
|
2.7. Центр давления При решении технических задач необходимо знать не только величину и направление силы давления, но во многих случаях и величину момента этой силы относительно той или иной оси. Определение же момента невозможно без учета координат точки приложения результирующей силы, так называемого центра давления, т.е. точки пересечения вектора силы со смоченной поверхностью стенки. В общем случае центр давления расположен глубже центра тяжести смоченной площади. Это объясняется тем, что давление распределяется неравномерно по высоте: чем глубже точка от поверхности, тем больше давление в этой точке. Определим координаты центра давления при условии, что давление на свободной поверхности равно атмосферному, следовательно, избыточное давлении распределяется по закону треугольника (рис. 2.15). (При рассмотрении свойств жидкости, указывалось, что в жидкостях возможны лишь распределенные силы, поэтому центры давления можно рассматривать лишь условно?) Так как внешнее давление передается всем точкам площади одинаково, то его равнодействующая сила будет приложена в центре тяжести площади . Для определения ординаты центра избыточного давления приравняем момент результирующей силы избыточного давления относительно оси сумме моментов сил, действующих на элементарные площадки, относительно той же оси , (2.24) где . Учитывая, что , а интеграл есть не что иное, как момент инерции площади относительно оси (от которой отмечается ордината ), подставим их значения в (2.24) и решим относительно . Откуда . От момента инерции можно перейти к моменту инерции площади относительно оси, проходящей через центр тяжести этой площади параллельно оси , (2.25) где - ордината центра тяжести площади . Подставляя значение из формулы (2.25) в формулу (2.24), получим , т.е. . (2.26) Таким образом, центр давления расположен глубже центра тяжести смоченной площади стенки. Смещение центра давления относительно центра тяжести иногда называют эксцентриситетом давления . (2.27) В виде примера определим силу избыточного давления на вертикальную прямоугольную стенку (рис. 2.16). Рис.2.16 Пусть ширина стенки; - высота уровня жидкости перед стенкой. Будем считать, что по другую сторону стенки, как и на свободной поверхности жидкости, давление равно атмосферному. Центр тяжести лежит на пересечении диагоналей прямоугольника, т.е. на глубине . Избыточное давление на этой глубине . Сила давления на стенку равна произведению давления в точке на площадь прямоугольника : . Определим глубину погружения центра избыточного давления по формуле (2.26), учитывая, что момент инерции прямоугольника : . Как исследовало ожидать, центр давления лежит на той же глубине, что и центр тяжести эпюры давления, которая в данном случае представляет собой прямоугольный треугольник. Таким образом, в частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами (рис. 2.16) и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления находится на расстоянии от нижней стороны. 2.8. Сила давления жидкости на криволинейные стенки В случае криволинейной стенки задача усложняется тем, что искомая сила давления неизвестна не только по величине, но и по направлению. Конечно, давление в любой точке криволинейной поверхности направлено по нормали к ней, но и результирующая сила в точке её приложения может иметь и любое другое направление. Решение этой задачи проводится в два этапа: сначала определяются составляющие этой силы, а затем по этим составляющим находят результирующую. Таким образом, нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае сводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Частным случаем криволинейных поверхностей являются цилиндрические или сферические поверхности. Сила давления жидкости в этом случае сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии. Возьмем цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 2.17), и определим силу давления жидкости для двух случаяев: 1) жидкость расположена сверху (рис. 2.17, а); 2) жидкость расположена снизу (рис. 2.17, б). Рис 2.17. Схема для определения силы давления жидкости па цилиндрическую поверхность В первом случае выделим объем жидкости, ограниченный рассматриваемой поверхностью , вертикальными поверхностями, проведенными через границы этого участка, и свободной поверхностью жидкости, т.е. объем , и рассмотрим условия его равновесия в вертикальном и горизонтальном направлениях. Если жидкость действует на стенку с силой , то стенка действует на жидкость с силой , направленной в обратную сторону. На рис. 2.17 показана эта сила реакции, разложенная на две составляющие: горизонтальную и вертикальную . Условие равновесия объема в вертикальном направлении имеет вид . (2.25) где - давление на свободной поверхности жидкости; - площадь горизонтальной проекции поверхности ; - вес выделенного объема жидкости. Условие равновесия того же объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости па поверхности и взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь , т.е. на вертикальную проекцию поверхности . Тогда . (2.26) Определив по формулам 1.31 и 1.32 вертикальную и горизонтальную составляющие, найдем полную силу давления . Когда жидкость расположена снизу (см. рис. 2.16,б), гидростатическое давление во всех точках поверхности имеет те же значения, что и в первом случае, но направление его будет противоположным, и суммарные силы и определятся теми же формулами - (2.25) и (2.26), но с обратным знаком. При этом под величиной следует понимать так же, как и в первом случае, вес жидкости в объеме , хотя этот объем и не заполнен жидкостью. Положение центра давления на цилиндрической стенке можно легко найти, если известны силы и и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести выделенного объема . Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности, так как любая элементарная сила давления нормальна к поверхности, т.е. направлена по радиусу. Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к сферическим поверхностям, причем равнодействующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и лежит в вертикальной плоскости симметрии. 2.9. Закон Архимеда Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда. Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом (рис. 2.18). Спроектируем его сечение на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела от нижней ее части . Рис. 2.18. Схема для доказательства закона Архимеда Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме . Вертикальная составляющая силы давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме . Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме, равном разности указанных двух объемов, т.е. . В этом и заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тела. Сила . называется архимедовой силой, или силой поддержания, а точка ее приложения, т.е. центр тяжести объема - центром водоизмещения. В зависимости от соотношения веса тела и архимедовой силы возможны три случая: 1) - тело тонет; 2) - тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погруженном состоянии; 3) - тело плавает в полностью погруженном состоянии. Для равновесия плавающего тела кроме равенства сил должен быть равен нулю суммарный момент. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной вертикали с центром водоизмещения. Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии, заключается в следующем: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения. Устойчивость равновесия тел, плавающих на поверхности жидкости, здесь не рассматривается. 2.10. Относительное равновесие жидкости в движущихся сосудах 2.10.1. Движение сосуда с жидкостью прямолинейно в произвольном направлении с постоянным ускорением 2.10.2. Движение сосуда с жидкостью вертикально вниз с постоянным ускорением 2.10.3. Равномерное вращение цилиндрического сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси 2.10.4. Равновесие жидкости в поле центробежных сил при нулевой или слабой гравитация Ранее было рассмотрено равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы - ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли. При этом свободная и прочие поверхности уровня жидкости представляют собой горизонтальные плоскости. Относительным равновесием жидкости называется такой случай ее движения, при котором вся масса жидкости движется как твердое тело, а отдельные ее частицы не смещаются одна относительно другой. Например, представим, что некоторый замкнутый сосуд с жидкостью движется с постоянной скоростью (или постоянным ускорением) в любом направлении, тогда с этой же скоростью (или ускорением) движется также и каждая частица жидкости. Очевидно, что рассматриваемая масса жидкости будет неподвижна в координатной системе, связанной с движущимся резервуаром. Такое движение жидкости представляет собой относительное ее равновесие. При относительном покое свободная поверхность жидкости и прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от поверхностей уровня при покое жидкости в неподвижном сосуде, т.е. от горизонтальной плоскости. При определении формы и положения свободной поверхности жидкости, находящейся в относительном покое, следует руководствоваться основным свойством всякой поверхности уровня, которое заключается в следующем: равнодействующая массовых сил всегда действует нормально к поверхности уровня. В самом деле, если бы равнодействующая массовая сила действовала под некоторым углом к поверхности уровня, то касательная составляющая этой силы вызывала бы перемещение частиц жидкости вдоль поверхности уровня. Рассмотрим три практически наиболее интересных случая относительного покоя жидкости:1) движение сосуда прямолинейно в произвольном направлении; 2) движение сосуда по вертикали; и 3) вращательное движение относительно вертикальной оси. 2.10.1. Движение сосуда с жидкостью прямолинейно в произвольном направлении с постоянным ускорением Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением в произвольном направлении, т.е. равноускоренно или равнозамедленно (рис. 2.19). Рис. 2.19. Силы, действующие при относительном покое жидкости и прямолинейном равноускоренном движении В этом случае на любую точку в жидкости действуют две единичные массовые силы: - сила тяжести; - сила инерции переносного движения, равная ускорению , но направленная в противоположную сторону. Результирующая массовая сила , действующая на жидкость, равна сумме векторов силы тяжести и силы инерции, и направлена нормально к свободной поверхности. Проведя геометрическое сложение этих единичных сил (ускорений), получим результирующую единичную массовую силу : , где и - векторы единичных сил инерции и сил тяжести. Оси координат жестко свяжем с сосудом. Для упрощения вывода ось проведём параллельно результирующему вектору , но направим в противоположную сторону. Оси и расположим в плоскости, нормальной к оси . Поверхности уровня в этом случае представляет собой семейство плоскостей, нормальных к вектору , т.е. параллельных плоскости . Одна из них совпадает со свободной поверхностью жидкости ( ; ). Применим к этому случаю основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10) . Для нашего случая проекции единичных массовых сил будут равны , и . Тогда уравнение гидростатики примет вид , или . После интегрирования получаем . Постоянную интегрирования найдем из условий на свободной поверхности, т.е. для ; : , или . Но - глубина погружения точки относительно свободной поверхности . Таков закон распределения давления в рассматриваемом случае. Учитывая, что , а отношение может быть названо коэффициентом перегрузки, то закон распределения давления можно записать в другой форме: , где - коэффициент перегрузки. При давлении на свободной поверхности, равном атмосферному , избыточное давление в точке определяется формулой . Для определения угла наклона свободной поверхности жидкости при произвольном движении необходимо знать угол наклона вектора ускорения относительно оси . 2.10.2. Движение сосуда с жидкостью вертикально вниз с постоянным ускорением Предположим, что открытый резервуар вместе с находящейся в ней жидкостью движется в вертикальном направлении сверху вниз с некоторым постоянным ускорением , равным или меньшим ускорению свободного падения (рис. 2.20). В этом случае на любую точку в жидкости действуют две единичные массовые силы: - сила тяжести; - сила инерции переносного движения. Результирующая массовая сила , действующая на жидкость, равна сумме векторов силы тяжести и силы инерции, и направлена в сторону, обратную ускорению . Рис. 2.20. Относительное равновесие жидкости при движении по вертикали Обозначив вектор равнодействующей массовой силы, отнесенной к единице массы, через получим , где и - векторы единичных сил инерции и тяжести. Определим: 1) вид поверхности уровня; 2) закон распределения гидростатического давления. Заметим, что, согласно принципу Даламбера, при любом движении тела можно пользоваться уравнениями статики, если к системе действующих сил прибавить силы инерции (они направлены в сторону, противоположную направлению движения). Такая система сил будет уравновешена, и тело можно считать находящимся в равновесном состоянии. Воспользуемся дифференциальным уравнением поверхности уровня (2.12) . Определим для данного случая проекции единичных массовых сил , и , которые численно равны ускорениям. Ускорение свободного падения (9,81 м/с2) и ускорение сил инерции направлены параллельно оси . Следовательно, проекции этих ускорений на оси и равны нулю: и . Проекция на ось равна . Подставив в дифференциальное уравнение поверхности, получим . Учитывая, что , а , т.е. , следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы . Интегрируя последнее выражение, находим . А это значит, что поверхность уровня будет горизонтальной плоскостью. Если , то и тогда может быть и не равным нулю, следовательно, форма свободной поверхности может быть произвольной. Определим теперь закон распределения гидростатического давления для этого случая. Запишем основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме (2.10) . Для нашего случая ось направлена вертикально вверх, а оси и лежат в плоскости нормальной оси , поэтому проекции единичных массовых сил будут равны и и . Тогда уравнение гидростатики примет вид . Так как , получим , Введем обозначение . где представляет собой объемный вес жидкости в условиях вертикального спуска с ускорением ; - коэффициент перегрузки или просто перегрузка. Делая подстановку, получим , и после интегрирования найдем закон распределения давления . (2.27) Таким образом, в условиях спуска по вертикали с ускорением закон распределения гидростатического давления будет таким же, как и в обычных условиях равновесия жидкости в поле земного тяготения. Отличие заключается в том, что в подвижной системе координат удельный вес жидкости зависит от коэффициента перегрузки . Причем, если , то при свободном падении, объемный вес , т.е. жидкость стала «невесомой». Если ускорение имеет знак минус, т.е. происходит торможение, объемный вес будет «тяжелее» в раз. Таким образом, вес жидкости при относительном равновесии зависит от коэффициента перегрузки. 2.10.3. Равномерное вращение цилиндрического сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси Предположим, что открытый цилиндрический сосуд с жидкостью приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 2.21). Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращательное движение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости - и всю ее массу. По истечении известного времени все частицы жидкости будут вращаться примерно с одной и той же угловой скоростью , а свободная поверхность жидкости видоизменится. В центральной части уровень понизится, а у стенок – повысится. Допустим, что такой момент времени наступил. Определим форму поверхности уровня и, в частности, свободной поверхности. Рис. 2.21. Относительное равновесие при вращении жидкости вокруг вертикальной оси Оси координат, как обычно, свяжем с сосудом. При этом будет представлять собой горизонтальную плоскость, а ось - направлена вертикально вверх. Отметим в жидкости произвольную точку . Как и в предыдущей задаче, используем общее дифференциальное уравнение поверхности уровня (2.12) . Так как движение симметрично относительно оси вращения, то рассмотрим равновесие частиц жидкости, расположенных в плоскости координат . На жидкость действуют единичные объемные силы: - сила земного тяготения; - сила инерции. Сила инерции представляет собой центробежную силу, направленную параллельно оси в сторону от оси вращения. Следовательно, равнодействующая внешних объемных сил равна , и направлена по нормали к свободной поверхности под углом к оси . Очевидно, что в данном случае проекции единичных массовых сил: ; ; . Делая подстановку в основное уравнение поверхности, получим: , или , и после интегрирования . Постоянную интегрирования находим при , , т.е. . Тогда уравнение поверхности представляет собой параболу с вершиной в точке на оси , (2.28) где - глубина погружения точки . Поскольку уравнение симметрично относительно оси , постольку поверхность уровня будет представлять собой параболоид вращения. Закон распределения давления найдем, используя основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10) . Так как проекции единичных массовых сил равны ; ; , то после подстановки, имеем , или , или . Интегрируя, находим (при и ) . Для определения возьмем точку на свободной поверхности при . Для этой точки (давление атмосферное), (координата вершины параболы). Тогда , и после подстановки . Учитывая, что и умножив обе части на , получим значение давления для всех точек любой вертикали на расстоянии от оси . (2.29) Как видим, при вращении сосуда с жидкостью давление в некоторой точке складывается из трёх частей: 1) внешнего давления на свободной поверхности; 2) весового давления ; 3) давления , производимого центробежной силой. При этом давление в разных точках одной и той же горизонтальной плоскости не остается здесь постоянным, а изменяется по параболическому закону – пропорционально квадрату текущего радиуса вращения. С другой стороны, при распределение давления остается таким же, как при «абсолютном» равновесии. |