учебник. 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
 Скачать 2.95 Mb.
|
|
Элементарной струйкой называется совокупность линий тока, проходящих через все точки бесконечно малой площадки (рис.3.4). Рис.3.4. Элементарная струйка и трубка тока При установившемся движении элементарная струйка сохраняет с течением времени постоянными свою форму, размеры и положение в пространстве, что является следствием аналогичного свойства составляющих её линий тока. При стремлении поперечных размеров струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока. Боковая поверхность элементарной струйки называется трубкой тока (рис.3.4). Трубка тока, таким образом, является как бы непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток. В случае установившегося движения элементарная струйка обладает следующими тремя свойствами: 1) Форма элементарной стройки не меняется во времени, т.к. при установившемся движении не меняется форма линий тока; 2) Поверхность элементарной струйки (трубки тока) непроницаема, т.е. перетекание через боковые стенки отсутствует. Частицы жидкости, движущиеся в одной линии тока, не могут принадлежать другим; 3) Скорость и давление для всех точек данного поперечного сечения струйки постоянны, однако вдоль струйки эти величины могут меняться. Таким образом, при установившемся движении элементарная струйка сохраняет с течением времени постоянными свою форму, размеры и положение в пространстве. Массообмен через боковую поверхность исключён, и движение жидкости возможно только вдоль элементарной струйки. Если учесть несжимаемость жидкости, то получим следствие, лежащее в основе одного из центральных положений гидравлики, – уравнение неразрывности: объём жидкости, прошедший через любое поперечное сечение с площадью за время , должен равняться объёму жидкости, прошедшему через любое другое сечение с площадью за то же время. Невыполнение сформулированного условия привело бы к изменению массы жидкости между двумя сечениями, что противоречит свойствам принятой модели жидкости как несжимаемой среды. 3.4. Закон сохранения массы. Расход. Уравнение неразрывности Выделим элементарную струйку в области установившегося неравномерного течения жидкости (рис. 3.5). Определим массу жидкости, проходящей через произвольные сечения 1-1 и 2-2 за время . Воспользуемся свойством элементарной струйки о постоянстве скоростей в пределах бесконечно малых сечений и , т.е. считаем, что все частицы движутся через сечение 1-1 со скоростью , а через сечение 2-2 они движутся с другой, но тоже одинаковой по этому сечению скоростью . Рис. 3.5. К закону сохранения массы В течение выбранного промежутка времени через сечение 1-1 в отсек между сечениями войдёт объём жидкости , массой . За это же время через сечение 2-2 вытечет объём жидкости массой , так как поверхность элементарной струйки (трубки тока) непроницаема. За время положение, форма и размеры отсека элементарной струйки 1-2 не изменяются благодаря установившемуся движению жидкости. Учитывая, что жидкость представляет собой однородную несжимаемую среду, её плотность остаётся постоянной во времени, т.е. . Следовательно, масса жидкости в пределах отсека 1-2 тоже должна сохраняться неизменной во времени. На основе приведённых рассуждений можно сделать вывод: масса жидкости, поступающая в отсек 1-2 через сечение 1-1 за время , должна равняться массе жидкости при её вытекании из этого отсека за то же время через сечение 2-2, т.е. , . Сократив обе части на , получим . (3. 2) Уравнение (3.2) называется уравнением неразрывности для элементарной струйки при установившемся движении. Оно является частным выражением общего закона сохранения массы в классической механике. Название «уравнение неразрывности» в условиях постоянства плотности жидкости подчёркивает невозможность нарушения её однородности во всей области движения. Если в движущейся жидкости появляются разрывы, например при кавитации, уравнение (3.4) теряет свою справедливость. Расход. Расходом называется количество жидкости, протекающее через поперечное сечение элементарной струйки в единицу времени. Это количество жидкости можно измерять в единицах массы, веса и объёма. Следовательно, для элементарной струйки: массовый расход - , ; весовой расход - , ; объёмный расход - , , где - мгновенная или локальная скорость, т.е. скорость в точке жидкости в данный момент времени. Различают также три способа измерения расхода – объёмный, массовый и весовой. Уравнение расхода для потока жидкости. Расход потока жидкости равен алгебраической сумме расходов элементарных струек , составляющих данный поток, через поперечное сечение . Местная скорость жидкости в различных точках поперечного сечения потока может быть неодинаковой. Поэтому для упрощения описания характеристики движения всего потока вводится понятие средней по всему сечению скорости потока - . Средняя скорость определяется выражением . Отсюда следует, что расход потока жидкостиравен средней скорости, умноженной на площадь его поперечного сечения . (3.3) Таким образом, в случае несжимаемой жидкости объёмный расход остаётся вдоль струйки постоянным. Из уравнения (3.3) для двух сечений следует , (3.4) т.е. скорость течения несжимаемой жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения струйки. В случае сжимаемой жидкости (газообразной) требование неразрывности потока приводит к установлению равенства массового (3.5) или весового (3.6) расхода жидкости , (3.5) . (3.6) Каждое из уравнений (3.3), (3.4), (3.5), (3.6) может быть названо уравнением неразрывности в форме уравнений расхода для потока жидкости. При решении задач гидромеханики следует помнить, что уравнения неразрывности в форме массового и весового расхода (3.5), (3.6) справедливы для сжимаемой и несжимаемой жидкости, а в форме объёмного расхода (3.3), (3.4) – только для жидкости несжимаемой. Вместе с тем уравнение расхода во всех этих трёх формах представляет собой частное выражение одного и того же закона – закона сохранения массы. 3.5. Живое сечение. Смоченный периметр. Гидравлический радиус В гидравлических расчётах для характеристики размеров и формы поперечного сечения потока вводят понятие о живом сечении и его элементах: смоченном периметре и гидравлическом радиусе. Живым сечением называется поверхность в пределах потока, проведённая нормально к линиям тока. Для круглого трубопровода, когда всё поперечное сечение заполнено жидкостью, живым сечение является площадь круга: (рис.3.6). Рис. 3.6. Элементы потока Смоченным периметром называют ту часть периметра живого сечения, по которой жидкость соприкасается со стенками трубопровода (рис.3.6). Смоченный периметр обычно обозначают греческой (хи). Для круглой трубы полностью заполненной жидкостью смоченный периметр равен длине окружности: . Гидравлическим радиусом называют отношение живого сечения к смоченному периметру, т.е. величину . Эта величина характеризует удельную, т.е. приходящуюся на единицу длины смоченного периметра, площадь живого сечения. Легко сделать вывод, что поток с наибольшим гидравлическим радиусом при прочих равных условиях имеет минимальную силу трения, приложенную к смоченной поверхности. Для круглых труб, полностью заполненных жидкостью, гидравлический радиус равен четверти диаметра: . Введение гидравлического радиуса как характерного размера позволяет сравнивать по критерию подобия (Re) потоки с разными формами живого сечения. Рассмотренные основные понятия позволяют решать самые различные практические задачи гидравлики. Пример 3.1. Определить скорость потока в трубопроводе. Диаметр , расход воды (несжимаемой жидкости) - . Решение. Искомая скорость . Определим площадь живого сечения: . Скорость потока: . 3.6. Уравнение количества движения для потока жидкости Гидравлика – это техническая механика жидкости, в которой часто используются упрощённые методы для решения инженерных задач. Во многих случаях при решении практических задач гидравлики удобно применять такие центральные понятия механики, как количество движения (уравнение импульсов) и кинетическая энергия. В связи с этим необходимо рассмотреть возможность вычисления количества движения и кинетическую энергию потока жидкости по средней скорости, а не по действительным местным скоростям. Это позволит существенно упростить гидравлические расчёты. Для материального тела массой , движущегося со скоростью , изменение количества движения за время вследствие действия силы выразится векторным уравнением , (3.7) где - приращение количества движения, обусловленное импульсом . Жидкость представляет собой материальную систему, поэтому основной закон механики может быть приложен к любой выделенной из неё массе. Применим эту теорему механики к участку потока жидкости с расходом между сечениями 1-1 и 2-2 (выделенный участок заштрихован). Ограничимся рассмотрением только установившегося движения жидкости (рис. 3.7). За время этот участок переместится в положение, определяемое сечениями и . Объёмы этих элементов , а, следовательно, и их массы одинаковы, поэтому приращение количества движения будет равно . (3.8) Это приращение количества движения обусловлено импульсом всех внешних сил, действующих на объём жидкости между сечениями 1-1 и 2-2. Внешними силами, приложенными к выделенному объёму, являются сила тяжести всего объёма , силы давления в первом и втором сечениях и (нормальные к этим сечениям и направленные внутрь объёма), а также реакции стенок трубы , которая складывается из сил давления и трения, распределённых по боковой поверхности объёма. Рис. 3.7. Применение уравнения количества движения к потоку жидкости Уравнение импульсов (3.7) для рассматриваемого случая можно записать в виде . После сокращения на . (3.9) Составив проекции этого векторного уравнения на три координатные оси, получим три алгебраических уравнения с тремя неизвестными - . Л. Эйлер предложил удобный графический способ нахождения силы . Перенося в формуле (3.?) все слагаемые в одну сторону, можно представить его в виде суммы векторов: = 0, (3.10) где вектор взят с обратным знаком (т.е. по направлению обратный действительному). В соответствии с этим выражением (3.10) силу можно найти, построив замкнутый многоугольник сил, как это показано на рис. 3.7, а. Анализ показывает, что при вычислении количества движения и кинетической энергии по средней скорости допускается ошибка, которую можно учесть с помощью двух коэффициентов: - коэффициента Буссинеска при вычислении количества движения ; - коэффициента Кориолиса в уравнении Бернулли при вычислении кинетической энергии . Величина обоих коэффициентов зависит от характера распределения скоростей в поперечном сечении потока жидкости. На практике при турбулентном режиме движения коэффициент Кориолиса , а коэффициент Буссинеска . Поэтому обычно полагают . Однако встречаются отдельные случаи, когда достигает больших значений, и тогда пренебрежение им может привести к значительным погрешностям. Пример 3.2. Определить силу воздействия потока жидкости на преграду. Пусть жидкость вытекает в атмосферу и наталкивается на безграничную стенку, установленную нормально к потоку. В результате жидкость растекается по стенке, изменяя направление своего течения на 900 (рис. 3.8). Известны площадь сечения потока , скорость истечения и плотность жидкости . Рис. 3.8. Воздействие струи на преграду Для решения данной задачи берём фиксированный объём, показанный штриховой линией, и применяем теорему Эйлера. Так как давление внутри струи и по поверхности жидкости равно атмосферному, т.е. избыточное давление равно нулю, уравнение, выражающее теорему Эйлера, для направления, совпадающего с вектором скорости истечения , будет иметь вид , или . (3.11) Это и есть сила воздействия потока жидкости на преграду. При другом угле установке стенки или других её форме и размерах в правую формулы (3.11) вводится безразмерный коэффициент, отличный от единицы, но пропорциональность силы произведению сохранится. 3.7. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в форме уравнений Эйлера Рассмотрим вопрос о распределении давления в потоке идеальной жидкости. Обратимся к методу, применённому ранее для покоящейся жидкости. Выделим в потоке жидкости точку А с координатами в осях, связанных с границами потока (например, со стенками трубопровода (рис. 3.9). Рис. 3.9. К выводу уравнений Эйлера Около этой точки выделим элементарный объём жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда с боковыми рёбрами , как это было сделано в гидростатике. На движущуюся жидкость действуют массовые силы – силы тяжести и силы инерции, а также силы давления, действующие на грани и направленные внутрь рассматриваемого объёма. Пусть давление в этой точке , плотность . Скорость движения частицы жидкости обозначим через , а её проекции на оси - . Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объём, будут равны . Масса выделенного объёма - . Будем считать, что внутри этого объёма на жидкость действует результирующая массовая сила, единичные проекции которой на оси координат равны Составим уравнение движения выделенного объёма жидкости. Для этого спроектируем силы, действующие на него, в направлении оси . . (3.12) После деления на и преобразования, получим . Рассматривая аналогичным образом условия равновесия этого объёма относительно и , приходим к системе дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости Эйлера (3.13). (уравнения Эйлера) (3.13) Эти уравнения аналогичны уравнениям гидростатики, с тем, однако существенным отличием, что они, в соответствии с принципом Даламбера, содержат в правой части производную от соответствующей проекции скорости по времени. Члены этих уравнений представляют собой ускорения, а физический смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорений от массовых сил и ускорений от сил давления. Уравнения Эйлера справедливы как для несжимаемой жидкости, так и сжимаемой. Поскольку при выводе уравнений не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы также и для неустановившегося движения. Эти уравнения, как и уравнения гидростатики, были впервые выведены Леонардом Эйлером в 1755 году. 3.8. Основное дифференциальное уравнение установившегося движения идеальной жидкости Умножая левую и правую части первого из уравнений Эйлера (3.8) на , второго на - , третьего на - и складывая почленно эти уравнения, получаем . (3.14) Наложим на полученное уравнение два ограничения: 1) будем считать движение жидкости установившимся, т.е. . Тогда трёхчлен во вторых скобках есть не что иное, как полный дифференциал давления ; 2) будем считать приращения проекциями действительно малого перемещения жидкой частицы. Введение этого ограничения означает, что . В результате уравнение (3.14) принимает вид . (3.15) Преобразуя выражение во вторых скобках, получим . Тогда уравнение (3.15) можно переписать в виде . (3.16) Таким образом, мы получили основное дифференциальное уравнение установившегося движения идеальной жидкости при отсутствии инерционных сил переносного движения системы. 3.9. Уравнение Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости 3.9.1. Геометрический смысл уравнения Бернулли. Трубка Пито 3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли Рассмотрим частный случай установившегося движения жидкости, когда на неё действует лишь одна массовая сила – сила тяжести. Проекции единичных массовых сил на оси координат будут равны: , , . Подставив эти значения в уравнение (3.16), после преобразования получим . Проведём интегрирование этого уравнения, наложив на него третье ограничение - будем считать, что жидкость несжимаема, т.е. . , (3.17) или, подставив , , (3.18) где - гидродинамический напор. Уравнение в формах (3.17) и (3.18) обычно называют уравнением Бернулли, отдавая дань заслугам Даниила Бернулли, который первым установил эту закономерность и обосновал её в капитальном труде «Гидродинамика». Как известно, эту монографию, вышедшую в 1738 году, он посвятил Петербургской Академии наук. Это уравнение показывает, что приращение трёх членов при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока равно нулю, т.е. есть величина постоянная. При установившемся течении траектория жидкой частицы совпадает с линией тока. Поэтому полученное уравнение справедливо для частицы идеальной жидкости, движущейся вдоль линии тока. Учитывая малость сечения струйки, можно считать его справедливым и для элементарной струйки, осевая линия которой совпадает с линией тока. |