учебник. 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
 Скачать 2.95 Mb.
|
|
2.10.4. Равновесие жидкости в поле центробежных сил при нулевой или слабой гравитация Пусть равномерно вращающийся сосуд принадлежит к системе, которая перемещается с некоторым ускорением, и пусть при этом инерционная сила переносного движения системы уравновешивает силу тяжести, (рис. 2.22). Тогда независимо от направления оси вращения сосуда на содержащуюся в нем жидкость из всех массовых сип будет действовать только одна - центробежная. Действием силы тяжести можно пренебречь и в том случае, когда центробежное ускорение, вызываемое вращением сосуда, несоизмеримо больше ускорения свободного падения. В обоих случаях дифференциальные уравнения гидростатики упрощаются. Так как движение симметрично относительно оси вращения, то рассмотрим равновесие частиц жидкости, расположенных в плоскости координат . Рис. 2.22. Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде при нулевой гравитации Связав оси координат с сосудом и совместив ось с осью вращения (которая при отсутствии гравитации может иметь любое правление), используем основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10) . Подставляя значения проекции единичных массовых сил и , получим . Интегрируя, получаем закон распределения давления . Определим постоянную для граничных условий , . Тогда , т.е. полное давление складывается из двух составляющих: 1) внешнего давления ; 2) давления от центробежной силы . Дифференциальное уравнение поверхности (2.12) уровня примет вид . Уравнение будет равно нулю только в случае если , т.е. . Таким образом, как и следовало ожидать, поверхности равного давления представляют собой в нашем случае семейство соосных цилиндров с радиусами от до , где - внутренний радиус сосуда, а - радиус свободной поверхности (при полном заполнении сосуда жидкостью . 2.11. Формы поверхностей раздела между жидкостью и газом (паром) в условиях динамической невесомости Динамическая невесомость характеризуется тем, что сила тяжести уравновешена инерционной силой переносного движения системы, т.е. результирующая массовых сил равна нулю. В этом случае отчетливо выраженной свободной поверхности может и не существовать, поскольку отсутствует массовая сила, действие которой и приводит к разделению жидкости и газа. В условиях невесомости весьма вероятно образование суспензии, т.е. смеси капельной жидкости и газа. Отсутствие поля массовых сил приводит в условиях невесомости к увеличению роли сил поверхностного натяжения, которыми в гидромеханике обычно пренебрегают. В тех случаях, когда поверхность раздела между капельной жидкостью и газом в условиях невесомости существует, ее форма определяется действием сил поверхностного натяжения и зависит поэтому от краевого контактного угла , образуемого жидкостью со стенкой. В зависимости от величины этого угла капельные жидкости, как известно, могут быть разделены на смачивающие и не смачивающие стенку из того или иного материала. Если контактный угол меньше (рис. 2.23, 2.24, 2.25), то по отношению к данной стенке капельная жидкость принадлежит к смачивающим, если же этот угол превышает (рис. 2.26 и 2.27), жидкость следует рассматривать как не смачивающую. а - при обычной гравитации; б - в условиях невесомости Рис. 2.23. Смачивающая жидкость заполняет сферический сосуд менее чем наполовину а - обычная гравитация; б – невесомость Рис. 2.24. Смачивающая жидкость заполняет сосуд более чем наполовину а - обычная гравитация; б – невесомость Рис. 2.25. Полностью смачивающая жидкость ( ) заполняет сферический сосуд менее чем наполовину а - обычная гравитация; б – невесомость Рис.2.26. Несмачивающая жидкость заполняет сферический сосуд менее чем наполовину а - обычная гравитация; б - невесомость. Рис. 2.27. Несмачивающая жидкость заполняет сферический сосуд почти полностью При исследовании формы поверхности раздела между капельной жидкостью и газом (паром) необходимо исходить из того, что контактный угол, полностью определяемый действием адгезионных молекулярных сил, не зависит от наличия или отсутствия гравитации, и поэтому его величина в условиях невесомости будет такой же, как и в земных. (Силы молекулярного взаимодействия можно разделить на когезионные (между молекулами самой жидкости) и адгезионные (между молекулами жидкости и ограничивающего ее твердого тела или газа)). Кроме того, следует учитывать, что форма поверхности раздела определяется не только углом контакта, но и такими факторами, как форма сосуда и степень заполнения его жидкостью. На рис.2.23 - 2.27 приведены характерные формы поверхности раздела капельной жидкости и газа в сферических сосудах по З. Каллагану [3]. В заключение отметим, что при отсутствии поля массовых сил давление не зависит от глубины погружения рассматриваемой точки и в пределах любого непрерывного объема жидкости остается одинаковым. 3. Гидродинамика 3.1. Основные задачи гидродинамики. Два метода изучения движения жидкости (Лагранжа и Эйлера) 3.2. Виды движения жидкости 3.3. Линия тока и траектория частицы, элементарная струйка 3.4. Закон сохранения массы. Расход. Уравнение неразрывности 3.5. Живое сечение. Смоченный периметр. Гидравлический радиус 3.6. Уравнение количества движения для потока жидкости 3.7. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в форме уравнений Эйлера 3.8. Основное дифференциальное уравнение установившегося движения идеальной жидкости 3.9. Уравнение Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости 3.10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости 3.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости 3.12. Классификация гидравлических потерь. Гидравлический и пьезометрический уклоны. 3.13. Применение уравнения Бернулли в технике 3.14. Основы гидродинамического подобия 3.15. Режимы течения жидкости 3.16. Критерий Рейнольдса и гидравлический радиус 3.1. Основные задачи гидродинамики. Два метода изучения движения жидкости (Лагранжа и Эйлера) Гидродинамика – раздел гидравлики, изучающий законы движения жидкости. Жидкость в гидродинамике рассматривается как сплошная среда, которая состоит из множества частиц, движущихся одна относительно другой. Главной задачей гидродинамики является определение скоростей (поля скоростей) и гидродинамических давлений в любой точке жидкости. Рассматривая движущуюся жидкость, различают две основные задачи гидродинамики – внешнюю и внутреннюю. 1. Внешняя задача. Заданы характеристики потока. Требуется найти силы, действующие на то или другое тело при обтекании его потоком. Эта задача возникает в машиностроении при проектировании различных насосов и турбин, а в аэродинамике в связи с потребностями авиации (теория крыла, динамика полета) и судостроения. 2. Внутренняя задача. Заданы силы, действующие на жидкость. Требуется определить гидродинамические характеристики потока – скорость, давление и др. Эта задача чаще встречается в технической гидравлике, её мы и будем в основном рассматривать. В гидравлике движение жидкости рассматривается как движение системы неограниченного множества материальных точек. При этом все частицы жидкости движутся различно, каждая по своей траектории, с различными скоростями и ускорениями. Такое движение представляет собой чрезвычайно сложный процесс, изучение которого связано с большими трудностями. Целью изучения движения жидкости является определение кинематических характеристик – скоростей и ускорений, а на их основе – динамических характеристик, необходимых для решения практических задач. Существуют два принципиально отличных метода изучения движения жидкости. Оба метода связаны с именами известных математиков и механиков – Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813 г.г.) и Леонарда Эйлера (1707-1783 г.г.). В обоих методах жидкость (капельная и газообразная) рассматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая данное пространство. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается «частица» бесконечно малых размеров, но не отождествляемая с молекулой или атомом. Метод Лагранжа. Метод Лагранжа основан на исследовании движения отдельных частиц жидкости при их перемещении в пространстве. В методе Лагранжа положение индивидуальной частицы описывается законом её движения, т.е. тремя уравнениями ; (3.1) где - координаты частицы; - время; - начальные координаты частиц, т.е. положение частиц в начальный момент времени. Следовательно, текущие координаты некоторой движущейся частицы являются функциями четырёх переменных и . Эти переменные называют переменными Лагранжа. Совместное решение уравнений (3.1) определяет траекторию MN конкретной частицы с начальными координатами в течение времени (рис. 3.1). Рис. 3.1. Траектория частицы жидкости Из теоретической механики известно, что первые производные этих функций по времени определяют компоненты скорости частицы жидкости: ; ; , а вторые производные – ускорения: ; ; , где - компоненты вектора скорости . Таким образом, в методе Лагранжа исследованию подлежит движение отдельных частиц жидкости. Метод Эйлера. В методе Эйлера исследуют поля векторных и скалярных параметров движущейся жидкости, не рассматривая вопрос о том, как движется та или иная частица. При неустановившемся движении каждому моменту времени соответствует своё поле скоростей в рассматриваемой области движения жидкости. Полное описание процесса достигается в том случае, когда определены скорости во всех точках области за весь период наблюдения . Это можно представить как серию последовательных кадров поля скоростей, полученного киносъёмкой. Если для данной системы координат определены функции, описывающие изменение поля скоростей и давления во времени (3.2) , то этим решена одна из основных задач гидродинамики – установлен закон распределения скоростей и давлений в потоке. Таким образом, исследуют поля векторных и скалярных параметров движущейся жидкости, не рассматривая вопрос о том, как движется та или иная частица. Оба метода исследования жидкости – и метод Лагранжа и метод Эйлера математически связаны между собой и возможен переход от уравнений (3.1) к уравнениям (3.2). Как показало развитие гидравлики, в большинстве случаев метод Лагранжа более сложен и трудоёмок, чем метод Эйлера. Поэтому далее в основном рассматривается решение задач движения жидкости на основе метода Эйлера. Однако задача отыскания функций скорости и давления методом Эйлера также является весьма сложной. Даже заменяя реальную жидкость моделью «идеальной жидкости», решить её в большинстве случаев не представляется возможным. Поэтому в технической гидродинамике идут по иному пути и используют так называемый «гидравлический метод». Гидравлический метод (метод технической гидродинамики) основан на использовании некоторых осреднённых и интегральных характеристик потока. В основу этого метода полагают уравнения, которые существенно отличаются от системы уравнений в методе Эйлера. К числу таких основных уравнений гидравлики относятся следующие: - уравнение несжимаемости и неразрывности для потока жидкости (уравнение расхода); - уравнение кинетической энергии для потока реальной жидкости (уравнение Бернулли); - уравнение количества движения для потока реальной жидкости; - эмпирические и полуэмпирические зависимости (Дарси и Вейсбаха) для оценки работы сил трения, возникающих в реальной жидкости. Используя данные уравнения в сочетании с некоторыми приёмами рассмотрения гидравлических явлений (линия тока, средняя скорость и др.) получаем законченную техническую теорию, позволяющую с приемлемой точностью решать большой круг практических задач, относящихся к механике реальной жидкости. 3.2. Виды движения жидкости Всякое движение жидкости характеризуется следующими основными параметрами: форма потока, плотность жидкости, скорость, ускорение, давление. В зависимости от изменения основных параметров рассматривают различные виды движения жидкости: установившееся и неустановившееся, равномерное и неравномерное. Неустановившимся (нестационарным) называется движение, когда скорость течения и давление зависят от координат точки и изменяются во времени: , . Примерами неустановившегося движения жидкости могут служить, например: истечение жидкости через отверстие из резервуара, если уровень в нём меняется; истечение жидкости из аккумулятора при изменении давления газа в нём; течение жидкости в трубопроводе с включённым в гидросистему поршневым насосом. Неустановившиеся процессы происходят в магистралях жидкостного ракетного двигателя (ЖРД) при запуске и остановке или при переходе с одного режима тяги на другой. Установившимся (стационарным) называется движение жидкости, при котором скорость и давление являются функциями только координат и не зависят от времени. , . Параметры жидкости при установившемся движении будут функцией только трёх переменных, а именно координат рассматриваемой точки. Установившееся движение может бытьравномерным и неравномерным. При равномерном движении скорость и давление в соответствующих точках сечения по длине остаются постоянными, т.е. поле скоростей остаётся неизменным вдоль потока. Примером равномерного движения жидкости может служить установившееся течение в цилиндрическом трубопроводе на достаточном удалении от входа в него (рис. 3.2,а). Рис. 3.2. Равномерное (а) и неравномерное (б) движение При неравномерном движении скорость, давление и плотность могут изменяться с изменением координат движущейся частицы жидкости. Примером неравномерного течения жидкости может служить установившийся поток в конической трубе, а также движение жидкости на входном участке потока с меняющимся (нестабилизированным) от сечения к сечению профилем местных скоростей (рис. 3.2,б). Исследование установившихся течений значительно проще, чем неустановившихся. В дальнейшем мы будем рассматривать, главным образом, установившиеся течения и лишь некоторые частные случаи неустановившегося движения. Кроме рассмотренных видов движения жидкости различают также движение безнапорное и напорное. Безнапорное движение происходит в открытых системах и осуществляется за счёт сил тяжести. Например, движение воды в реках, каналах, трубах при неполном их заполнении. Напорное движение происходит в закрытых системах (трубопроводах), когда поток со всех сторон окружён твёрдыми стенками и движение осуществляется за счёт разности давлений по длине потока. Например, например движение жидкости в трубопроводе от насоса. Гидродинамическое давление. При движении вязкой жидкости обязательно возникают касательные напряжения. Согласно законам механики, в общем случае это приводит к возникновению в данной точке нормальных напряжений по трём взаимно ортогональным направлениям. Напряжения сжатия по разным направлениям могут быть разными, в отличие от условий покоя, когда они по всем направлениям одинаковы, о чём говорит одно из свойств гидростатического давления. В гидродинамике по аналогии с гидростатикой вводится понятие гидродинамического давления с тем же свойством быть постоянным по всем направлениям в данной точке. Для него сохраняется то же обозначение . Таким свойством обладает среднее арифметическое значение нормальных напряжений в рассматриваемой точке по трём взаимно ортогональных площадкам, взятое с обратным знаком . 3.3. Линия тока и траектория частицы, элементарная струйка Через любую точку А потока (рис.3.3) всегда можно провести линию, в каждой точке которой вектор местной скорости в данный момент времени направлен по касательной к ней. Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной. Это понятие является центральным в методе Эйлера. Рис. 3.3. Линия тока и траектория частицы жидкости Траекторией называется путь, который описывает точка при своём движении. При установившемся движении линия тока и траектория частицы совпадают. В общем случае неустановившегося движения в следующий момент времени через ту же точку А может проходить уже другая линия тока. Вектор скорости с компонентами касателен к линии тока, т.е. совпадает по направлению с элементами линии тока , имеющего проекции на оси координат. Воспользуемся известным условием параллельности двух векторов – их проекции на оси координат должны быть пропорциональны друг другу . Полученное условие является уравнением линии тока в дифференциальной форме. В частном случае при установившемся движении каждая линия тока сохраняет своё положение в пространстве и одновременно становится линией, по которой перемещаются частицы, т.е. совпадает с траекторией. |