учебник. 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
 Скачать 2.95 Mb.
|
|
Пример 1.4. Для периодического аккумулирования прироста воды, получающегося при изменении температуры, в системах центрального водяного отопления устраивают расширительные резервуары, которые присоединяются к системе в верхней ее точке и сообщаются с атмосферой. Определить наименьший объем расширительного резервуара, чтобы он полностью не опорожнялся. Допустимое колебание температуры воды во время перерывов в топке . Объем воды в системе . Коэффициент температурного расширения воды (при ). Решение.Наименьший объем расширительного резервуара должен быть равен изменению объема воды при изменении ее температуры на 25°. Изменение объема воды находим из формулы (1.11). 1) , 2) . Пример 1.5. В отопительный котел поступает вода в объеме при температуре . Сколько кубометров воды будет выходить из котла, если доводить нагрев до температуры (коэффициент температурного расширения воды )? Решение. 1) , 2) . Гидростатика 2.1. Основные понятия гидростатики 2.2. Дифференцальные уравнения гидростатики 2.3. Основные задачи гидростатики 2.4. Основное уравнение гидростатики из уравнений Эйлера. Закон распределения давления 2.5. Применение закона Паскаля в технике 2.6. Сила давления на плоскую стенку. Гидравлический парадокс 2.7. Центр давления 2.8. Сила давления жидкости на криволинейные стенки 2.9. Закон Архимеда 2.10. Относительное равновесие жидкости в движущихся сосудах 2.11. Формы поверхностей раздела между жидкостью и газом (паром) в условиях динамической невесомости Целью настоящей главы является определение характера напряжений, возникающих в покоящейся жидкости, и выявление законов их изменения. Содержание данной главы позволяет инженерам овладеть методами расчета элементов различных агрегатов жидкостных ракетных двигателей, находящихся под силовым воздействием покоящейся жидкости. Рассмотрены также вопросы, касающиеся относительного равновесия жидкости в движущихся сосудах, а также определения формы поверхностей раздела между жидкостью и газом (паром) в условиях динамической невесомости. В ракетно-космической технике масса баков с жидким топливом составляет около 85% общей массы летательных аппаратах, что и обуславливает наличие целого ряда задач по разделу гидростатика. 2.1. Основные понятия гидростатики 2.1.1. Равновесие жидкости. Гидростатическое давление 2.1.2. Давление абсолютное, избыточное, вакуум 2.1.3. Свойства гидростатического давления 2.1.4. Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля 2.1.5. Поверхности уровня 2.1.1. Равновесие жидкости. Гидростатическое давление Гидростатика - раздел гидравлики о законах равновесия жидкости и её взаимодействии с твердыми телами и газами. Равновесие капельных жидкостей. Под равновесием жидкости понимается отсутствие перемещения одних её частей относительно других и жидкости в целом относительно ограничивающих её стенок. При этом сам сосуд вместе с заключенной в нем жидкостью может перемещаться в любом направлении и с любым ускорением. Различают «абсолютное» и относительное равновесие (покой) жидкости. «Абсолютное» равновесие» - это равновесие жидкости в неподвижном относительно земли сосуде в поле только гравитационных сил. При «абсолютном» равновесии результирующая массовых сил направлена вертикально вниз. Относительное равновесие жидкости - это равновесие её в поле силы тяжести и сил инерции. При относительном равновесии результирующая массовых сил может быть направлена в любом направлении. Очевидно, что «абсолютное» равновесие представляет собой частный случай относительного, характеризующийся тем, что из всех массовых сип действует только сила тяжести. В жидкости, находящейся в покое, силы трения, обусловленные вязкостью, не проявляются (не действуют касательные силы). Поэтому, реальные жидкости по своим свойствам будут очень близки к идеальным, и, следовательно, все задачи гидростатики будут решаться с большой точностью. Гидростатическое давление. Как отмечалось ранее, на жидкость могут действовать поверхностные и массовые силы. Массовые силы в соответствии со вторым законом Ньютона пропорциональны массе жидкости или, для однородной жидкости, - ее объёму. К ним относятся сила тяжести и сила инерции переносного движения системы, действующая на жидкость при относительном ее покое (а также при ускоренном движении). Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности жидкости и при равномерном их распределении пропорциональны площади этой поверхности. Эти силы обусловлены непосредственным воздействием соседних объемов жидкости на данный объем или же воздействием других тел (твердых или газообразных), соприкасающихся с данной жидкостью. Как следует из третьего закона Ньютона, с такими же силами, но в противоположном направлении, жидкость действует на соседние с нею тела. Согласно положению теоретической механики любая система, в том числе и жидкостная, может находиться в равновесии только при условии равенства нулю равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил, а также их результирующего момента. Состояние жидкости при этом характеризуется только внутренними (молекулярными) силами. Рассечём жидкость воображаемой поверхностью и выделим около точки с координатами некоторую площадку величиной (рис. 2.1). Рис. 2.1. Разложение поверхностной силы на две составляющие В общем случае поверхностная сила , действующая в точке на площадке , направлена под некоторым углом к ней, и ее можно разложить на две силы: - нормальную сжимающую силу; и- тангенциальную силу или силу трения. Нормальная сжимающая сила может быть условно представлена в виде вектора, который направлен по внутренней нормали к выделенной площадке (т.е. внутрь объёма жидкости) и приложена к площадке в точке . Среднее напряжение этой силы можно найти, отнеся её к площади по формуле . (2.1) Для определения истинного значения напряжения в точке необходимо перейти к пределу этого отношения при условии, что площадка уменьшении до нуля . (2.2) Нормальное напряжение силы давления, называется гидромеханическим давлением, или просто давлением, и обозначается буквой . На внешней поверхности силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости и, следовательно, являются сжимающими. Таким образом, в неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения - напряжение сжатия, т.е. гидростатическое давление. Касательное напряжение в жидкости, т. е. напряжение трения, обозначается буквой и выражается подобно давлению пределом отношения, а размерность его та же, что и давления, . (2.3) 2.1.2. Давление абсолютное, избыточное, вакуум Числовое значение давления определяется не только принятой системой единиц, но и выбранным началом отсчета. Исторически сложились три системы отсчета давления: абсолютная, избыточная и вакуумметрическая (рис.2.2). Рис. 2.2. Шкалы давления. Связь между давлением абсолютным, избыточным и вакуумом Абсолютное давление отсчитывается от абсолютного нуля (рис. 2.2). В этой системе атмосферное давление . Следовательно, абсолютное давление равно . Абсолютное давление всегда является величиной положительной. Избыточное давление отсчитывается от атмосферного давления, т.е. от условного нуля. Чтобы перейти от абсолютного к избыточному давлению необходимо вычесть из абсолютного давления атмосферное, которое в приближенных расчетах можно принять равным 1ат: . Иногда избыточное давление называют манометрическим. Вакуумметрическим давлением или вакуумом называется недостаток давления до атмосферного . Избыточное давление показывает либо избыток над атмосферным, либо недостаток до атмосферного. Ясно, что вакуум может быть представлен как отрицательное избыточное давление . Как видно, эти три шкалы давления различаются между собой либо началом, либо направлением отсчета, хотя сам отсчет может вестись при этом в одной и той же системе единиц. Если давление определяется в технических атмосферах, то к обозначению единицы давления (ат) приписывается ещё одна буква, в зависимости от того, какое давление принято за «нулевое» и в каком направлении ведется положительный отсчет. Например: - абсолютное давление равно 1,5 кг/см2; - избыточное давление равно 0,5 кг/см2; - вакуум составляет 0,1 кг/см2. Чаще всего инженера интересует не абсолютное давление, а его отличие от атмосферного, поскольку стенки конструкций (бака, трубопровода и т.п.) обычно испытывают действие разности этих давлений. Поэтому в большинстве случаев приборы для измерения давления (манометры, вакуумметры) показывают непосредственно избыточное (манометрическое) давление или вакуум. Единицы давления. Как следует из самого определения давления, его размерность совпадает с размерностью напряжения, т.е. представляет собой размерность силы, отнесенную к размерности площади. За единицу давления в Международной системе единиц (СИ) принят паскаль — давление, вызываемое силой , равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью , т.е. . Наряду с этой единицей давления применяют укрупненные единицы: килопаскаль (кПа) и мегапаскаль (МПа): ; ; . В технике в настоящее время в некоторых случаях продолжают применять также техническую МКГСС (метр, килограмм-сила, секунда, а) и физическую СГС (сантиметр, грамм, секунда) системы единиц. Используются также внесистемные единицы — техническую атмосферу и бар: Не следует также смешивать техническую атмосферу с физической , которая все ещё имеет некоторое распространение в качестве единицы давления: 2.1.3. Свойства гидростатического давления Гидростатическое давление обладает двумя основными свойствами. 1-ое свойство. Силы гидростатического давления в покоящейся жидкости всегда направлены внутрь по нормали к площадке действия, т.е. являются сжимающими. Это свойство доказывается от противного. Если предположить, что силы направлены по нормали наружу, то это равносильно появлению в жидкости растягивающих напряжений, которых она воспринимать не может (это вытекает из свойств жидкости). 2-ое свойство. Величина гидростатического давления в любой точке жидкости по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которую оно действует , где - гидростатические давления по направлению координатных осей; - то же по произвольному направлению . Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными , и (рис. 2.3). Рис. 2.3. Схема для доказательства свойства о независимости гидростатического давления от направления Введем обозначения: -гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси ; - давление на грань, нормальную к оси ; - давление на грань, нормальную к оси ; - давление, действующее на наклонную грань; - площадь этой грани; - плотность жидкости. Запишем условия равновесия для тетраэдра (как для твердого тела) в виде трех уравнений проекций сил и трех уравнений моментов: , , ; , , . При уменьшении в пределе объема тетраэдра до нуля система действующих сил преобразуется в систему сил проходящих через одну точку, и, таким образом, уравнения моментов теряют смысл. Таким образом, внутри выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, проекции ускорений которой равны , ,и . В гидравлике принято массовые силы относить к единице массы, а так как , то проекция единичной массовой силы численно будет равна ускорению. ; ; , где , , - проекции единичной массовой силы на оси координат; - масса жидкости; - ускорение. Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости в направлении оси , учитывая при этом, что все силы направлены по нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидкости: , (2.4) где - проекция силы от гидростатического давления ; - проекция силы от давления ; - проекция массовой силы, действующей на тетраэдр. Разделив уравнение (2.2) на площадь , которая равна площади проекции наклонной грани на плоскость , т. е. , получим . При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель , также стремится к нулю , а давления и остаются величинами конечными. Следовательно, в пределе получим или . Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей и , находим , , или . Так как размеры тетраэдра , и и наклон площадки взяты произвольно, то, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. Что и требовалось доказать. Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении невязкой (идеальной) жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает. В общем случае давление в точке зависит от координат рассматриваемой точки, а при неустановившемся движении жидкости может изменяться в каждой данной точке с течением времени: . 2.1.4. Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля Основное уравнение гидростатики можно получить двумя способами: 1) из условия равновесия капельной жидкости в поле земного тяготения; 2) путем интегрирования основного дифференциального уравнения гидростатики Эйлера. Рассмотрим первый частный случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила — сила тяжести. Получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Пусть на свободную поверхность жидкости (рис. 2.4) действует давление . Найдем гидростатическое давление в произвольно взятой точке , расположенной на глубине . Рис. 2.4. Схема для вывода основного уравнения гидростатики Выделим около точки элементарную горизонтальную площадку и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой . Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх. Запишем сумму сил, действующих па рассматриваемый объем в проекции на вертикаль: , (2.5) где - сила, направленная вверх; - сила, направленная вниз; - вес жидкости. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, так как они нормальны к вертикали. Сократив выражение (2.5) на , получим , (2.6) где - плотность; - удельный вес жидкости. Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно подсчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления на внешней поверхности жидкости и давления , обусловленного весом вышележащих слоёв жидкости. Вес столба жидкости, высота которого равна глубине погружения точки, а площадь основания равна единице, численно равен . Закона Паскаля. Давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково, т.е. внешнее давление является одинаковым для всех точек объема жидкости. Это положение известно под названием закона Паскаля. 2.1.5. Поверхности уровня Давление жидкости, как видно из формулы (2.6), возрастает с увеличением глубины прямолинейно (по закону треугольника) и на данной глубине есть величина постоянная (рис.2.5). Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня. Рис. 2.5. Закон распределения давления Представим уравнение (2.6) в другой форме. Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения , от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты . Обозначив через координату точки , через — координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (2.6) , получим . После деления на и перегруппировки членов, уравнение примет вид . Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости , (2.7) где все члены имеют линейную размерность и названия: координата -геометрическая высота; - пьезометрическая высота; - гидростатический напор. Уравнение (2.7) является основным уравнением гидростатики, записанным в другой форме. Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости. Далее те же основные уравнения гидростатики (2.6) и (2.7) будут получены путём интегрирования основного дифференциального уравнений гидростатики Эйлера. Отступление: Б. Паскаль (1623 —1662 гг.) — известный французский математик, физик и философ. Уже в возрасте 16 лет он написал трактат о теории конических сечений. Около 1642 года он разработал арифметическую машину для автоматизации вычислений. Далее опубликовал работы по теории чисел, теории вероятностей, анализу бесконечно малых и др. К концу 1640 – началу 1650 г.г. относится увлечение Паскаля проблемами гидро- и аэростатики, после того как он узнал об опытах Торричелли. Результаты работ были изложены в «Трактате о равновесии жидкостей…», где он исследовал атмосферное давление и заложил основы гидростатики. Это сочинение явилось продолжением работ С. Стевина, Г. Галлилея, Э. Торричелли. 2.2. Дифференциальные уравнения гидростатики |