учебник. 08 Уч. пос 1.15 Гидравлика РД. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет
 Скачать 2.95 Mb.
|
|
3.16. Критерий Рейнольдса и гидравлический радиус Числовые значения коэффициента трения и коэффициента местного сопротивления зависят от режима течения и определяются в соответствии с законами гидродинамического подобия. Для того чтобы потоки вязкой жидкости были между собой динамически подобны, необходимо кроме пропорциональности сходственных размеров и равенства соответствующих углов соблюдать равенство отношений инерционных сил к силам внутреннего трения, обусловленным вязкостью. Можно доказать (см. п. 3.15), что это условие означает равенство отношения . (3.50) Здесь индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся к каждому из двух сравниваемых потоков, причём под понимается любой характерный для потока размер. Возможность произвольного выбора линейного размера вытекает из условия геометрического подобия потоков, означающего пропорциональность сходственных размеров . Условие (3.504.2) может быть записано и как критерий подобия Рейнольдса . (3.51). Для достижения динамического подобия потоков требуется соблюдение равенства чисел Рейнольдса или . Число Рейнольдса представляет собой меру отношения инерционных сил к силам внутреннего трения. Это критерий, учитывающий влияние вязкости на подобие. При рассмотрении потока жидкости в круглой трубе в качестве характерного размера при определении числа Рейнольдса принимается внутренний диаметр трубы, а за скорость – средняя скорость потока (рис. 3.19,е) . (3.52) Для потока некруглого сечения при вычислении Re удобно в качестве характерного размера принимать так называемый гидравлический радиус . (3.53) Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения к смоченному периметру (каппа) . (3.54) При прочих равных условиях (одинаковой скорости, одинаковой вязкости) совпадение гидравлических радиусов означает равенство отношений инерционных сил к силам внутреннего трения (поскольку инерционные силы зависят от площади сечения, а поверхность трения - от величины смоченного периметра). Введение гидравлического радиуса как характерного размера при определении числа Рейнольдса позволяет сравнивать по критерию потоки с разными формами живого сечения (рис. 3.19). Рис.3.19. К определению гидравлического радиуса при напорном течении При напорном течении жидкости в прямоугольном канале (рис.3.19,а) гидравлический радиус . (3.55) Для зазора (рис. 3.19,б), образованного параллельными стенками, когда , получим, пренебрегая слагаемым в знаменателе правой части формулы (3.55) . (3.56) По этой же формуле определяется гидравлический радиус в случае кольцевого зазора, если (рис. 3.19,в). При напорном течении в канале квадратного сечения (рис. 3.19,г) . (3.57) В случае эллиптического сечения (рис. 3.19,д) . (3.58) При напорном течении в круглой трубе (рис. 3.19,е) . (3.59) Таким образом, гидравлический радиус круглого сечения не совпадает с геометрическим - он не в два, а в четыре раза меньше геометрического диаметра. Следовательно, при переходе от числа Рейнольдса по гидравлическому радиусу к числу Рейнольдса по диаметру необходимо помнить, что . (3.60) Следует также иметь в виду, что совпадение чисел Рейнольдса по гидравлическому радиусу у потоков с различными формами сечения не гарантирует в полной мере динамического подобия, так как в этом случае отсутствует подобие геометрическое. 4. Ламинарное течение жидкости 4.1. Распределение скоростей при ламинарном течении 4.2. Расход при ламинарном режиме в круглой трубе. Формула Пуазейля. Коэффициент Кориолиса 4.3. Потери на трение. Формула Дарси-Вейсбаха 4.4. Влияние теплообмена на профиль скоростей и потери по длине 4.5. Начальный участок ламинарного потока 4.6. Потери на трение при ламинарном течении в каналах некруглой формы 4.7. Ламинарное течение в зазорах 4.1. Распределение скоростей при ламинарном течении Рассмотрим установившийся ламинарный поток в горизонтальной цилиндрической трубе на достаточном удалении от входа в неё. Труба выбирается горизонтальной с целью исключения действия силы тяжести. При этом вывод упрощается, но результаты его справедливы для трубы, имеющей любой наклон. Под достаточным удалением от входа понимается расстояние, превышающее длину начального участка, в пределах которого происходит формирование профиля скоростей. Таким образом, рассматривается установившийся равномерный поток, поскольку профиль скоростей по всей длине потока предполагается стабилизированным. Поставим перед собой две задачи: 1) найти закон распределения местных скоростей в живом сечении потока; 2) определить величину гидравлических потерь на трение. Решение этой задачи предполагает ответ на три вопроса: 1) Найти зависимость местной скорости от текущего радиуса точки - ; 2) Определить отношение максимальной скорости к средней по сечению - . 3) Установить величину коэффициента, учитывающего неравномерность распределения местных скоростей - . Ламинарное течение является строго упорядоченным, слоистым течением без перемешивания жидкости. Теория ламинарного течения жидкости основывается на законе трения Ньютона . Это трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии в данном случае. Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с диаметром (рис. 4.1). Рис. 4.1. К выводу закона распределения скоростей и определению потерь при равномерном ламинарном течении В потоке жидкости выделим цилиндрический объём длиной и радиусом , ограниченный с торцов двумя живыми сечениями потока 1-1 и 2-2. Уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид , где - потери напора на трение по длине. Отбросим остальную жидкость, и заменим её действие на выделенный цилиндрический объём соответствующими напряжениями. Спроектируем все внешние по отношению к этому объёму силы на направление потока. Такими внешними силами являются: - силы давления; - и силы сопротивления. При равномерном течении жидкости сумма этих проекций должна быть равна нулю, т.к. ускорение при равномерном движении равняется нулю: , (4.1) где - давление соответственно в сечениях 1-1 и 2-2; - касательное напряжение на боковой поверхности. Откуда касательное напряжение равно , (4.2) где - потери давления на трение. Из формулы (4.14) следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону (рис. 4.3) в функции радиуса и не зависят от режима движения жидкости. При , при . Выразим касательное напряжение по закону Ньютона . (4.3) Знак минус обусловлен тем, что направление отсчёта (от оси к стенке вниз) противоположно направлению отсчёта (от стенки вверх). Подставим значение в уравнение (4.2) , Откуда . После интегрирования, получим . Постоянную интегрирования С найдём при , . (4.4) Тогда скорость по окружности радиусом . (4.5) Учитывая, что при , получим , (4.6) т.е. максимальная скорость совпадает с постоянной интегрирования (4.4). Подставляем этот результат в формулу (4.5) . (4.7). Формулы (4.5) и (4.7) выражают закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении, известного под названием закона Стокса. Анализ этих выражений позволяет сделать вывод, что эпюра скоростей в живом сечении стабилизированного ламинарного потока (в круглой трубе) представляет собой параболоид вращения, а в проекции на плоскость – параболу второй степени (рис. 4.1). 4.2. Расход при ламинарном режиме в круглой трубе. Формула Пуазейля. Коэффициент Кориолиса При выводе теоретической формулы для определения расхода жидкости воспользуемся полученным законом распределения скоростей по сечению (закон Стокса). Выдели в потоке элементарное сечение в виде кольца, радиус которого - , ширина - , а площадь - (рис. 4.2). Рис. 4.2. К выводу формулы Пуазейля Определим расход жидкости через это бесконечно малое сечение . Интегрируя, получаем объёмный расход через всё живое сечение потока: ; Расход жидкости через живое сечение потока можно выразить и через диаметр трубы, тогда получим - формула Пуазейля. (4.8) Этот закон впервые был сформулирован Г. Хагеном в 1839 году и вскоре повторно выведен французским врачом Жаном Пуазейлем (1799-1869) в 1840 году. Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки и четвёртой степени диаметра трубы. Эта зависимость была получена чисто эмпирическим путём при исследовании движения жидкости в тонких капиллярных трубках. Среднюю скорость по сечению найдём делением расхода на площадь живого сечения потока . (4.9) Сравнив выражение для средней скорости (4.9) с выражением для максимальной скорости (4.6) получим, что . т.е. при ламинарном режиме течения средняя скорость в два раза меньше максимальной. Определим коэффициент неравномерности расхода как отношение кинетической энергии, вычисленной по местным скоростям, к энергии, вычисленной по средней скорости потока . После интегрирования, подстановки пределов и сокращения получим значение коэффициента Кориолиса для ламинарного течения жидкости в круглой трубе . Таким образом, кинетическая энергия ламинарного потока в 2 раза больше кинетической энергии, рассчитанной по средней скорости. 4.3. Потери на трение. Формула Дарси-Вейсбаха Определим потери напора на трение при ламинарном течении жидкости в круглой трубе. Применим к двум сечениям 1-1 и 2-2 (рис.4.3) уравнение Бернулли: . Для нашего случая - т.к. труба горизонтальная; - сечение потока постоянно; - течение ламинарное. В результате уравнение Бернулли упростится: . Откуда . (4.10) Из формулы Пуазейля (4.20) выразим и подставим в (4.10 22) ; (4.11) Учитывая, что и , получим окончательно . (4.12) Выразив в формуле (4.12 24) расход через среднюю скорость , получим . (4.13) Таким образом, при ламинарном течении потери на трение линейно зависят от расхода или средней скорости потока. Характерна для ламинарного режима и прямая зависимость потерь от вязкости. В такой форме следует учитывать потери по длине в уравнении Бернулли, т.е. . Для того чтобы формулу Пуазейля структурно привести к форме Дарси-Вейсбаха, достаточно умножить и разделить правую часть формулы (4.13) на . Подставляя , получаем . (4.14) Сравнивая (4.14) и формулу Дарси-Вейсбаха (3.28), приходим к выводу, что при ламинарном течении в круглой цилиндрической трубе . (4.15) Графически эта зависимость представлена на рис. 4.3. Рис. 4.3. Зависимость - опытные точки лежат выше теоретической кривой 4.4. Влияние теплообмена на профиль скоростей и потери по длине Приведённые выше закономерности справедливы лишь для изотермического движения, когда температура жидкости, а, следовательно, её вязкость и плотность во всех точках потока сохраняет одну и ту же величину. При наличии теплообмена температура жидкости меняется как по сечению трубы, так и по её длине. Изменение температуры по сечению приводит к изменению плотности жидкости и её вязкости и, как следствие этого, к изменению профиля скоростей и гидравлических сопротивлений. Наиболее распространённый метод расчёта гидравлических сопротивлений при неизотермическом движении жидкости состоит во введении поправочных множителей к коэффициенту гидравлического трении, найденному для условий изотермического движения. Опыт не всегда подтверждает выведенный здесь параболический закон распределения скоростей и формулу Пуазейля для потерь по длине при ламинарном режиме течения. Отклонения от этого закона наблюдаются в тех случаях, когда температура жидкости существенно отличается от температуры окружающей среды. Теплообмен между потоком и средой приводит к перераспределению местных скоростей. Если температура среды (например, воздуха) ниже температуры жидкости, то у стенок жидкость охлаждается, вязкость растёт и местные скорости понижаются. По мере приближения к оси потока, где температура максимальная, вязкость постепенно падает, а местные скорости растут. И наоборот, если жидкость холоднее окружающей среды, её температура вблизи стенки выше, а вязкость меньше, чем в центральной части потока. Неравномерное распределение вязкости по сечению потока приводит к соответствующей деформации поля местных скоростей (рис. 4.4). Закон Пуазейля в принципе выдерживается и при наличии теплообмена, но числовые коэффициенты как в уравнении Пуазейля, так и в формуле Дарси могут под действием теплообмена существенно изменяться. Так, при охлаждении стенок наружной средой потери, а, следовательно, и эти коэффициенты растут. 1 - изотермическое течение ( ); 2 - наружная среда охлаждает стенку ( ); 3 - наружная среда нагревает стенку ( ) Рис.4.4. Влияние теплообмена на профиль скоростей при ламинарном течении жидкости Числовое значение коэффициента может быть определено с достаточной точностью по формуле М.А. Михеева: , (4.16) где - соответственно числа Рейнольдса, Прандтля, Грасгофа, определённые по коэффициенту вязкости при средней температуре жидкости; - число Прандтля при температуре стенки. Можно пользоваться и приближённой формулой , (4.17) где - коэффициент трения с учётом теплообмена; - значение этого коэффициента при отсутствии теплообмена ( ); - кинематическая вязкость жидкости при температуре стенки; - кинематичесая вязкость жидкости при средней по сечению потока температуре (в замкнутых системах – температура жидкости в сборном баке); - показатель, изменяющийся при ламинарном течении в пределах 3-4 (по Михееву ). В гидравлических расчётах коэффициент трения обычно принимают равным (см. рис. 4.3). Однако не следует к коэффициенту в числителе этой дроби относится догматически. В зависимости от интенсивности теплообмена лучше в каждом случае определять коэффициент по формулам (4.16) или (4.17). Это особенно важно при характерной для новейших летательных аппаратов работе гидросистем в условиях кинетического нагрева. 4.5. Начальный участок ламинарного потока Формирование параболического профиля скоростей происходит не сразу, а постепенно, на протяжении так называемого начального участка потока, примыкающего к входному сечению трубы. Почти равномерное распределение скоростей на входе в трубу под действием трения становится мере по продвижения жидкости вперед все менее равномерно, пока в конце начального участка не подчинится закону квадратной параболы. При этом коэффициент неравномерности распределения кинетической энергии в сечении потока постепенно возрастает от на входе в трубу в конце начального участка. Дальше, на всём остальном протяжении потока, сохраняется характерный для стабилизированного ламинарного течения параболический профиль скоростей ( ). Существуют разные теории начального участка, различающиеся между собой наперед принятыми гипотезами. Авторы одних теорий строят модель начального участка исходя из того, что в конечном его сечении профиль скоростей переходит в параболический. Авторы других теорий исходят из предположения, что пограничный слой, толщина которого постепенно растет, смыкается в конце начального участка, заполняя все живое сечение потока. Естественно, что первое предположение хорошо подтверждается опытом вблизи конечного сечения этого участка, а второе - вблизи входного. По Буссинеску относительная длина начального участка составляет , (4.18) по Л.Шиллеру . (4.19) Результаты Шиллера ближе других к опытным данным. Легко подсчитать по его формуле, что максимально возможная длина начального участка, достигаемая при , составляет 66 калибров. Чем более равномерно в том или ином сечении начального участка распределяются местные скорости, тем резче переход от нулевой скорости потока на его границе к постоянной конечной скорости в так называемом потенциальном ядре. Таким образом, на начальном участке потока, особенно у самого входа в трубу, абсолютная величина радиального градиента скорости у стенки больше, чем при стабилизированном профиле скоростей. Это приводит к увеличению напряжения трения на границе потока , а следовательно, к увеличению гидравлических потерь. У коротких трубопроводов, длина которых соизмерима с величиной начального участка, потери нельзя определять просто по формуле Пуазейля или по формуле Дарси с коэффициентом трения . Необходимо при их расчете вводить поправку на влияние начального участка, Это влияние может быть оценено поправочным коэффициентом, представляющим собой убывающую функцию относительной абсциссы сечения начального участка: ; (4.20) . (4.21) где - потери на отрезке начального участка длиной . При коэффициент т.е. напор, потерянный на первой половине начального участка, на 25% превышает потери на такой же длине в области стабилизированного потока. Для всего начального участка ( ) этот коэффициент равен уже всего 1,09. При потери на трение по длине составляют . (4.22) Учитывая (4.27), получим окончательно . (4.23) Из этой формулы видно, что постоянную поправку 0,165 следует вводить лишь при достаточно малых значениях второго слагаемого, соизмеримых с самой поправкой. |