Сергеев - Метрология. В. Г. Фирстов Кандидат физикоматематических наук

• Название: В. Г. Фирстов Кандидат физикоматематических наук
• Анкор: Сергеев - Метрология.doc
• Дата: 28.01.2017
• Размер: 4.38 Mb.
• Имя файла: Сергеев - Метрология.doc
• Тип: Документы; #707
• страница: 10 из 37

Глава 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ

ПОГРЕШНОСТЕЙ

4.1. Классификация погрешностей

Качество средств и результатов измерений принято характеризовать, указывая их погрешности. Введение понятия "погрешность" требует определения и четкого разграничения трех понятий: истинного и действительного значений измеряемой физической величины и результата измерения. Истинное значение физической величины — это значение, идеальным образом отражающее свойство данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Оно не зависит от средств нашего познания и является той абсолютной истиной, к которой мы стремимся, пытаясь выразить ее в виде числовых значений. На практике это абстрактное понятие приходится заменять понятием "действительное значение". Действительное значение физической величины. — значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него. Результат измерения представляет собой приближенную оценку истинного значения величины, найденную путем измерения.

Понятие "погрешность" — одно из центральных в метрологии, где используются понятия "погрешность результата измерения" и "погрешность средства измерения". Погрешность результата измерения — это разница между результатом измерения X и истинным (или действительным) значением Q измеряемой величины:

(4.1)

Она указывает границы неопределенности значения измеряемой величины. Погрешность средства измерения — разность между показанием СИ и истинным (действительным) значением измеряемой ФВ. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством.

Эти два понятия во многом близки друг к другу и классифицируются по одинаковым признакам.

По характеру проявления погрешности делятся на случайные, систематические, прогрессирующие и грубые (промахи).

Заметим, что из приведенного выше определения погрешности никак не следует, что она должна состоять из каких-либо составляющих. Деление погрешности на составляющие было введено для удобства обработки результатов измерений исходя из характера их проявления, В процессе формирования метрологии было обнаружено, что погрешность не является постоянной величиной. Путем элементарного анализа установлено, что одна ее часть проявляется как постоянная величина, а другая — изменяется непредсказуемо. Эти части назвали систематической и случайной погрешностями.

Как будет показано в разд. 4.3, изменение погрешности во времени представляет собой нестационарный случайный процесс. Разделение погрешности на систематическую, прогрессирующую и случайную составляющие представляет собой попытку описать различные участки частотного спектра этого широкополосного процесса: инфранизкочастотный, низкочастотный и высокочастотный.

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера ФВ, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей (рис. 4.1) не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.



Рис. 4.1 . Изменение случайной погрешности от измерения к измерению
В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправки, однако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа наблюдений. Поэтому для получения результата, минимально отличающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения требуемой величины с последующей математической обработкой экспериментальных данных.

Большое значение имеет изучение случайной погрешности как функции номера наблюдения i или соответствующего ему момента времени t проведения измерений, т.е. _i = (t_i). Отдельные значения погрешности являются значениями функции A(t), следовательно, погрешность измерения есть случайная функция времени. При проведении многократных измерений получается одна реализация такой функции. Именно такая реализация показана на рис. 4.1. Повтор серии измерений даст нам другую реализацию этой функции, отличающуюся от первой, и т. д. Погрешность, соответствующая каждому i-му измерению, является сечением случайной функции (t). В каждом сечении данной функции можно найти среднее значение, вокруг которого группируются погрешности в различных реализациях. Если через полученные таким образом средние значения провести плавную кривую, то она будет характеризовать общую тенденцию изменения погрешности во времени.

Систематическая погрешность — составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ. Постоянная и переменная систематические погрешности показаны на рис. 4.2. Их отличительный признак заключается в том, что они могут быть предсказаны, обнаружены и благодаря этому почти полностью устранены введением соответствующей поправки.

Следует отметить, что в последнее время приведенное выше определение систематической погрешности подвергается обоснованной критике, особенно в связи с техническими измерениями. Весьма аргументированно предлагается [7, 58] считать систематическую погрешность специфической, "вырожденной" случайной величиной (см. разд. 5.1), обладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике. Ее свойства, которые необходимо учитывать при объединении составляющих погрешности, отражаются теми же характеристиками, что и свойства "настоящих" случайных величин: дисперсией (средним квадратическим отклонением) и коэффициентом взаимной корреляции.



Рис. 4.2. Постоянная и переменная систематические погрешности
Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Впервые это понятие было введено в монографии М.Ф. Маликова "Основы метрологии" [17], изданной в 1949 г. Отличительные особенности прогрессирующих погрешностей:

• они могут быть скорректированы поправками только в данный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются;

• изменения прогрессирующих погрешностей во времени — нестационарный случайный процесс, и поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могут быть описаны лишь с известными оговорками.

Прогрессирующая погрешность — это понятие, специфичное для нестационарного случайного процесса изменения погрешности во времени, оно не может быть сведено к понятиям случайной и систематической погрешностей. Последние характерны лишь для стационарных случайных процессов. Прогрессирующая погрешность может возникнуть вследствие как непостоянства во времени текущего математического ожидания нестационарного случайного процесса, так и изменения во времени его дисперсии или формы закона распределения.

Понятие прогрессирующей погрешности широко используется при исследовании динамики погрешностей СИ [5] и метрологической надежности последних.

Грубая погрешность (промах) — это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Они, как правило, возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора (его психофизиологического состояния, неверного отсчета, ошибок в записях или вычислениях, неправильного включения приборов или сбоев в их работе и др.). Возможной причиной возникновения промахов также могут быть кратковременные резкие изменения условий проведения измерений. Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают. Однако чаще всего промахи выявляют только при окончательной обработке результатов измерений с помощью специальных критериев, которые рассмотрены в гл. 7.

По способу выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности.

Абсолютная погрешность описывается формулой (4.1) и выражается в единицах измеряемой величины. Однако она не может в полной мере служить показателем точности измерений, так как одно и то же ее значение, например, Д = 0,05 мм при X = 100 мм соответствует достаточно высокой точности измерений, а при X — 1 мм — низкой. Поэтому и вводится понятие относительной погрешности. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

(4.2)

Эта наглядная характеристика точности результата измерения не годится для нормирования погрешности СИ, так как при изменении значений Q принимает различные значения вплоть до бесконечности при Q = 0. В связи с этим для указания и нормирования погрешности СИ используется еще одна разновидность погрешности — приведенная.

Приведенная погрешность — это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность СИ отнесена к условно принятому значению Q_N, постоянному во всем диапазоне измерений или его части:

(4.3)

Условно принятое значение Q_N называют нормирующим. Чаще всего за него принимают верхний предел измерений данного СИ, применительно к которым и используется главным образом понятие "приведенная погрешность".

В зависимости от места возникновения различают инструментальные, методические и субъективные погрешности.

Инструментальная погрешность обусловлена погрешностью применяемого СИ. Иногда эту погрешность называют аппаратурной.

Методическая погрешность измерения обусловлена:

• отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения;

• влиянием способов применения СИ. Это имеет место, например, при измерении напряжения вольтметром с конечным значением внутреннего сопротивления. В данном случае вольтметр шунтирует участок цепи, на котором измеряется напряжение, и оно оказывается меньше, чем было до присоединения вольтметра;

• влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вычисления результатов измерений;

• влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых средств измерения.

Отличительной особенностью методических погрешностей является то, что они не могут быть указаны в нормативно-технической документации на используемое СИ, поскольку от него не зависят, а должны определяться оператором в каждом конкретном случае. В связи с этим оператор должен четко различать фактически измеряемую им величину и величину, подлежащую измерению.
Пример 4.1. Определить в общем виде методическую погрешность измерения мощности постоянного тока косвенным, методом по показаниям амперметра и вольтметра при двух схемах их включения, показанных на рис. 4.3. Внутренние сопротивления амперметра и вольтметра соответственно равны К_д и R_v.

При использовании схемы на рис. 4.3,а измеренное значение мощности постоянного тока



Рис. 4.3. Два варианта включения амперметра и вольтметра при

косвенном методе измерения мощности постоянного тока

где I — ток, измеряемый амперметром; 1_н — ток, протекающий через сопротивление нагрузки r_h; I_v — ток, протекающий через вольтметр; Р_н — действительное значение измеряемой мощности.
Абсолютная методическая погрешность измерения мощности по схеме на рис. 4.3,а составляет

Относительная методическая погрешность в этом случае рассчитывается по формуле



Аналогично для схемы на рис. 4.3,6 измеряемое значение мощности



где U — напряжение, измеряемое вольтметром; U_A — падение напряжения на амперметре. При этом абсолютная методическая погрешность измерения мощности

`

Относительная методическая погрешность в данном случае рассчитывается по формуле



Анализ формул, описывающих относительные погрешности, показывает, что первую схему (см. рис. 4.3,а) целесообразно использовать для измерения мощности низкоомных нагрузок, так как при r_h  0 погрешность также стремится к нулю. По аналогичным причинам вторую схему (рис. 4.3,б) выгоднее применять для измерения мощности на высокоомных нагрузках. Граница между высокоомными и низкоомными нагрузками определяется в рассматриваемом случае параметрами используемых средств измерений. Действительно, из равенства методических погрешностей для каждой из схем получаем

Пусть R_A = 0,002 Ом, a R_v = 1000 Ом, тогда R_нгр = 1,41 Ом. В этом случае методическая погрешность измерения мощности составит 0,14 %.
Субъективная (личная) погрешность измерения обусловлена погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИ, диаграммам регистрирующих приборов. Они вызываются состоянием оператора, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами СИ. Характеристики личной погрешности определяют на основе нормированной номинальной цены деления шкалы измерительного прибора (или диаграммной бумаги регистрирующего прибора) с учетом способности "среднего оператора" к интерполяции в пределах деления шкалы.
Пример 4.2. Пусть цена деления равномерной шкалы равна Х_д единиц измеряемой физической величины, длина деления равна Ь_д мм. Определить наибольшее значение личной погрешности.

При условии, что средний оператор может интерполировать в пределах деления шагами по 0,2 деления, т.е. по 0,2L , наибольшее значение личной погрешности


По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности (рис. 4.4):


Рис. 4.4. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в)

погрешности
• аддитивные _а, не зависящие от измеряемой величины;

• мультипликативные _м, которые прямо пропорциональны измеряемой величине;

• нелинейные _н, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитивные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании погрешностей СИ.

Примеры аддитивных погрешностей — от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.

По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешности СИ. Основной называется погрешность СИ, определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждого СИ в нормативно-технических документах оговариваются условия эксплуатации — совокупность влияющих величин (температура окружающей среды, влажность, давление, напряжение и частота питающей сети и др.), при которых нормируется его погрешность. Дополнительной называется погрешность СИ, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин.

В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величин погрешности СИ делят на статические и динамические. Статическая погрешность — это погрешность СИ применяемого для измерения ФВ, принимаемой за неизменную. Динамической называется погрешность СИ, возникающая дополнительно при измерении переменной ФВ и обусловленная несоответствием его реакции на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.

4.2. Принципы оценивания погрешностей

Оценивание погрешностей производится с целью получения объективных данных о точности результата измерения. Точность результата измерения характеризуется погрешностью. Погрешность измерения описывается определенной математической моделью, выбор которой обуславливается имеющимися априорными сведениями об источниках погрешности, а также данными, полученными в ходе измерений. С помощью выбранной модели определяются характеристики и параметры погрешности, используемые для к-оли-чественного выражения тех или иных ее свойств.

Характеристики погрешности принято делить на точечные и интервальные. К точечным относятся СКО случайной погрешности и предел сверху для модуля систематической погрешности, к интервальным — границы неопределенности результата измерения. Если эти границы определяются как отвечающие некоторой доверительной вероятности, то они называются доверительными интервалами. Если же минимально возможные в конкретном случае границы погрешности оценивают так, что погрешность, выходящую за них, встретить нельзя, то они называются предельными (безусловными) интервалами.

В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов. Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности. Это связано с тем, что модели погрешностей, как правило, сложны и описываются многими параметрами. Определение их всех весьма затруднительно, а иногда и невозможно. Кроме этого, в большинстве практических случаев полное описание модели погрешности содержит избыточную информацию, в то время как знание отдельных ее характеристик вполне достаточно для достижения цели измерения. Во-вторых, оценки погрешности определяют приближенно, с точностью, согласованной с целью измерения. Это обусловлено тем, что погрешности определяют лишь зону неопределенности результата измерения и их не требуется знать очень точно. В-третьих, погрешности оцениваются сверху, поэтому погрешность лучше преувеличить, чем преуменьшить, так как в первом случае снижается качество измерений, а во втором — возможно полное обесценивание результатов всего измерения. В-четвертых, поскольку стремятся получить реалистические значения оценки погрешности результата измерения, т.е. не слишком завышенные и не слишком заниженные, точность измерений должна соответствовать цели измерения. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств и времени. Недостаточная точность в зависимости от цели измерения может привести к признанию годным в действительности негодного изделия, к принятию ошибочного решения и т. п.

Оценивание погрешностей может проводится до (априорное) и после (апостериорное) измерения. Априорное оценивание — это проверка возможности обеспечить требуемую точность измерений, проводимых в заданных условиях выбранным методом с помощью конкретных СИ. Оно проводится в случаях:

• нормирования метрологических характеристик СИ;

• разработки методик выполнения измерений;

• выбора средств измерений для решения конкретной измерительной задачи;

• подготовки измерений, проводимых с помощью конкретного СИ.

Апостериорную оценку проводят в тех случаях, когда априорная оценка неудовлетворительна или получена на основе типовых метрологических характеристик, а требуется учесть индивидуальные свойства используемого СИ. Такую оценку следует рассматривать как коррекцию априорных оценок.

4.3. Математические модели и характеристики

погрешностей

В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов [48, 49]. Без этого невозможно решение большого числа практических метрологических задач. Прежде чем перейти к рассмотрению математических моделей погрешностей измерений, кратко изложим основные моменты теории случайных функций.

Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = t_Q является случайной величиной X(t₀). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией. При проведении серии опытов можно получить группу или семейство реализаций случайной функции (рис. 4.5). Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на основе которого можно получить его характеристики и параметры.



Рис. 4.5. Вид случайных функций
Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t₀ (см. рис. 4.5) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t_Q. Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.

Наиболее полно случайные процессы описываются законами распределения: одномерным, двумерным и т.д. Однако оперировать с такими, в общем случае многомерными функциями очень сложно, поэтому в инженерных приложениях, каковым является метрология, стараются обойтись характеристиками и параметрами этих законов, которые описывают случайные процессы не полностью, а частично. Характеристики случайных процессов, в отличие от характеристик случайных величин, которые подробно рассмотрены в гл. 6, являются не числами, а функциями. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция



которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения. Здесь p(x,t) — одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).Таким образом, математическое ожидание в данном случае является средней функцией, вокруг которой группируются конкретные реализации.

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция



значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m_x(t).

Математическое ожидание случайного процесса и его дисперсия являются весьма важными, но не исчерпывающими характеристиками, так как определяются только одномерным законом распределения. Они не могут характеризовать взаимосвязь между различными сечениями случайного процесса при различных значениях времени t и t'. Для этого используется корреляционная функция — неслучайная функция R(t, t') двух аргументов t и t', которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:



Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t'-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.

На пpaктике часто используется нормированная корреляционная функция



Она обладает следующими свойствами: 1) при равенстве аргументов t и t' r(t,t') = 1; 2) симметрична относительно своих аргументов: r(t,t') = r(t',t); 3) ее возможные значения лежат в диапазоне [-1; 1], т.е. |r(t,t')| < 1. Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции между случайными величинами, но зависит от двух аргументов и не является постоянной величиной.

Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными. Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями.

• Математическое ожидание стационарного процесса постоянно, т.е.

m (t) = m_x = const. Однако это требование не является существенным, поскольку от случайной функции X(t) всегда можно перейти к центрированной функции, для которой математическое ожидание равно нулю. Отсюда вытекает, что если случайный процесс нестационарен только за счет переменного во времени (по сечениям) математического ожидания, то операцией центрирования его всегда можно свести к стационарному.

• Для стационарного случайного процесса Дисперсия по сечениям является постоянной величиной, т.е. D_x(t) = D_x = const.

• Корреляционная функция стационарного процесса зависит не от значения аргументов t и t', а только от промежутка  = t' - t, т.е. R(t,t') = R(). Предыдущее условие является частным случаем данного условия, т.е. D_x(t) = R(t,t) = R( = 0) = const.

Таким образом, зависимость автокорреляционной функции только от интервала является единственным существенным условием стационарности случайного процесса.

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(), которая описывает частотный состав случайного процесса при  > О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:



Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты S() 0. Площадь, заключенная под кривой S(), пропорциональна дисперсии процесса.

Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность



Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его реализация достаточной продолжительности является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций процесса. В таких процессах любая реализация рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени.

Для эргодического стационарного случайного процесса его математическое ожидание может быть определено из выражения



Достаточным условием выполнения этого равенства — эргодичности стационарного случайного процесса X(t) по математическому ожиданию — является выполнение условия

Дисперсия эргодического процесса может быть найдена по формуле



Достаточным условием выполнения этого равенства — эргодичности стационарного процесса X(t) по дисперсии — является

, где R_Y() — корреляционная функция стационарного случайного процесса Y(t) = [X(t)]² .

Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса может быть определена по формуле



Достаточным условием выполнения последнего равенства — эргодичности стационарного процесса X(t) по корреляционной функции — является

, где R_Z() — корреляционная функция стационарного случайного процесса Z (t, ) = X(t) X(t + ).

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Модели для измерений, проводимых различными методами и средствами, могут существенно различаться.

В общем случае абсолютную погрешность измерения Д(1) следует представлять [7, 58] в виде суммы нескольких составляющих:



Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.̊

Систематическая составляющая ̊(t) представляет собой нестационарную случайную функцию, описывающую постоянную или инфра-низкочастотную погрешность, причины возникновения которой могут быть различными. Периоды изменения составляющих систематической погрешности значительно больше времени, необходимого для проведения измерения. Поэтому погрешность \(t) условно принимается за постоянную и для ее учета применяются математические методы, разработанные для неизменных во времени и от измерения к измерению погрешностей, значения которых неизвестны.

Составляющая ̊(t) является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения составляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена на две составляющие: ̊_0в(t) и ̊_0н(t), которые являются стационарными случайными функциями времени с различными частотными спектрами — высокочастотным и низкочастотным соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего времени измерения. Для низкочастотной составляющей автокорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Такое различие в поведении этих составляющих обуславливает их выделение и применение к ним различных методик обработки.

Составляющая ̊₀ является центрированной случайной величиной, не зависящей от времени, но изменяющейся от измерения к измерению. Величины ̊_0в(t) и ̊₀ могут быть объединены в одну стационарную центрированную функцию ̊(t). Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который меньше времени проведения всего измерения, но существенно больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель погрешности измерения может быть записана в виде



Отдельные составляющие этого уравнения могут отсутствовать при моделировании погрешности конкретного измерения. Так, зачастую нет необходимости учитывать высокочастотную составляющую погрешности измерения.

Эффективное использование рассмотренной модели погрешности измерения возможно только при известном частотном спектре ее составляющих. Однако данное условие весьма трудно выполнить на практике, и поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще в более упрощенном виде, а именно в виде случайной величины. При этом для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:

• применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

• большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.

С учетом этих ограничений процесс появления случайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов.

При выполнении измерений требуется количественно оценить погрешность. Для такой оценки необходимо знать определенные характеристики и параметры модели погрешности. Их номенклатура зависит от вида модели и требований к оцениваемой погрешности. В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа — задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик — погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик — статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.

В качестве характеристик случайной погрешности используют СКО случайной составляющей погрешности измерений и, если необходимо, ее нормализованную автокорреляционную функцию.

Систематическая составляющая погрешности измерений характеризуется:

• СКО неисключенной систематической составляющей погрешности измерений;

• границами, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью (в частности, и с вероятностью, равной единице).

Требования к характеристикам погрешности и рекомендации по их выбору приведены в нормативном документе МИ 1317-86 "ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров".

4.4. Погрешность и неопределенность

Разделение погрешности измерения на случайную и систематическую и построенные на таком разделении методы ее описания к началу 80-х годов стали подвергаться определенной критике: эти представления перестали удовлетворять требованиям, предъявляемым решаемыми в метрологии задачами. Сложившаяся ситуация затрудняла развитие отдельных теоретических и прикладных вопросов метрологии, что и привело к возникновению различных инициатив, направленных на разрешение возникшей проблемы.

Одной из них была новая концепция представления результатов измерений, развиваемая по инициативе международных метрологических организаций. Ее суть состоит в следующем. Обработка результатов измерений во всех странах проводится с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики. Практически везде погрешности разделяются на случайные и систематические. Однако модели погрешностей, значения доверительных вероятностей и формирование доверительных интервалов в разных странах мира отличаются друг от друга. Это приводит к определенным трудностям при сличении результатов измерений, полученных в лабораториях разных стран. Для устранения этих сложностей к началу 90-х годов с участием ряда международных организаций — Международной организации законодательной метрологии (МОЗМ), Международного комитета мер и весов (МКМВ), Международного бюро мер и весов (МБМВ), Международной организации по стандартизации (ИСО) и Международной электротехнической комиссии (МЭК) — был разработан документ, содержащий новую концепцию описания результатов измерений. Документ, названный "Руководством для выражения неопределенности в измерении" (Guide to the expression of uncertainty in measurement, ISO/TAG —/WG3, Geneva, June 1992), содержит правила для стандартизации, калибровки, аккредитации лабораторий метрологических служб. Основными положения ми документа являются [7, 50]:

• отказ от использования таких понятий, как истинное и действительное значения измеряемой величины, погрешность, относительная погрешность, точность измерения, случайная и систематическая погрешности;

• введение нового термина "неопределенность" — параметра, связанного с результатом измерения и характеризующего дисперсию значений, которые могут быть обоснованно приписаны измеряемой величине;

• разделение составляющих неопределенности на два типа: А и В. Вновь вводимые группы неадекватны случайным и систематическим погрешностям. Разделение основано не на теоретических предпосылках, а на практических соображениях.

Неопределенности типа А могут быть оценены статистическими методами на основе многократных измерений и описываются традиционными характеристиками центрированных случайных ве личин — дисперсией или СКО. Взаимодействие неопределенностей типа А описывается взаимным корреляционным моментом или коэффициентом взаимной корреляции.

Неопределенности типа В могут быть оценены любыми другими методами, кроме статистических. Они должны описываться величинами, аналогичными дисперсии или СКО, так как именно эти характеристики можно использовать для объединения неопределенностей типа В как между собой, так и с неопределенностями типа А.

Эти нововведения должны быть, по мнению МБМВ, распространены на практическую деятельность метрологов. Единое мнение метрологов России на этот документ к настоящему времени еще не сформировано. Рассмотренные рекомендации не вошли ни в один нормативный документ метрологических органов России. Тем не менее многие из метрологов [7, 50] склоняются к мнению, что понятие "неопределенность измерения" надо вводить в практику, но не вместо понятия "погрешность", а наряду с ним.

4.5. Правила округления результатов измерений

Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону неопределенности результатов, их не требуется знать очень точно. В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одним или двумя значащими цифрами, Эмпирически были установлены следующие правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного результата измерения.

1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной — если первая цифра равна 3 или более.

2. Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.

4. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.

5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четкая, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

6. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

Если руководствоваться этими правилами округления, то количество значащих цифр в числовом значении результата измерений дает возможность ориентировочно судить о точности измерения. Это связано с тем, что предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения.

Для оценки влияния округления результата измерения Y представим его в виде

(4.4)

где А₁ ..., А_s— десятичные цифры и старшая цифра A₁ ≠ 0; R, P, S — целые числа, причем R - Р = S - 1.

Абсолютная погрешность, обусловленная округлением,  = 0,510^P. В качестве оценки относительной предельной погрешности округления рекомендуется [4] принять



поскольку деление абсолютной погрешности лишь на первый член суммы (4.4) ведет к увеличению числового значения оценки погрешности. Поскольку значения A₁ могут находиться в пределах от 1 до 9, то при одной значащей цифре (S = 1) предельная погрешность округления может находится в пределах от 6 до 50%. При двух значащих цифрах она составит от 0,6 до 5%, при трех — от 0,06 до 0,5%.

Оцененные границы погрешности округления характеризуют влияние округления на точность результата измерения. Кроме того, эти данные позволяют ориентироваться в минимально необходимом для записи результата измерений числе значащих цифр при его заданной точности.
Контрольные вопросы
1. Перечислите возможные проявления погрешностей.

2. Назовите признаки, по которым классифицируются погрешности.

3. Сформулируйте свойства случайной, систематической и прогрессирующей составляющих погрешности измерений.

4. Приведите известные вам примеры методических погрешностей.

5. В чем заключаются принципы оценивания погрешностей?

6. Расскажите о математических моделях погрешности измерения.

7. Какие характеристики погрешностей вам известны?

8. Перечислите правила округления результатов измерений.

9. Каким образом ориентировочно оценить погрешность результата измерения по числу его значащих цифр?