Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
6.3. Автокорреляционная функция пачки импульсов Рассмотрим пачку, состоящую из двух одинаковых прямоугольных им- пульсов длительностью и t , следующих с интервалом 1 T (рис. 6.3,а). Длитель- ность этого сигнала и 1 c t T T + = Поскольку этот сигнал является кусочно-непрерывной функцией, то и АКФ представляет собой тоже кусочно-непрерывную функцию. Проведем расчет АКФ на различных участках непрерывности, осуществляя сдвиг в сторону опережения и учитывая, что АКФ — четная функция. 93 1) На интервале и 0 t ≤ τ ≤ (рис. 6.3,b) ) ( 2 d d ) ( и 2 0 2 2 и c 1 τ − = + = τ ∫ ∫ τ − τ − t E t E t E B t T T (6.8) В частности, при τ = 0 получаем 1 и 2 Э 2 2 ) 0 ( = = t E B , где и 2 1 Э t E = — энергия одиночного импульса. Рис. 6.3 t s(t+ τ ) t s(t) t и 0 T с T 1 E a) t τ 0 s(t+ τ ) E c) 0 t τ E b) t τ 0 s(t+ τ ) d) E τ e) E 0 t τ f) E 0 s(t+ τ ) s(t+ τ ) t и −τ T c −τ T 1 −τ T c −τ 2) На интервале и 1 и t Т t − ≤ τ ≤ (рис. 6.3,c) 0 ) ( = τ В (6.9) 3) На интервале 1 и 1 T t T ≤ τ ≤ − (рис. 6.3,d) ) ( d ) ( и 1 1 и 2 2 ∫ τ − τ + − = = τ t T T t E t E B (6.10) 94 В частности, при | τ |= Т 1 получаем 1 и 2 1 Э ) ( = = t E T B 4) На интервале с 1 Т Т ≤ τ ≤ (рис. 6.3,е) ) ( d ) ( с 0 c 2 2 ∫ τ − τ − = = τ T T E t E B (6.11) В частности, при | τ | = Т с получаем 0 ) ( = τ В 5) На интервале c T > τ (рис. 6.3, f) 0 ) ( = τ В (6.12) На основании формул (6.8)…(6.12) построен график АКФ (рис. 6.4). Рис. 6.4 B( τ ) 2Э 1 t и −t и −T c T c τ T 1 Э 1 −T 1 0 Из графика следует, что АКФ пачки из двух прямоугольных импульсов состоит из трех треугольных импульсов. В общем случае АКФ пачки, состоящей из n одинаковых импульсов произвольной формы, представляет собой пачку из (2n – 1) импульсов, сов- падающих по форме с АКФ отдельного импульса из этой пачки. Причем при 0 = τ АКФ максимальна и равна полной энергии пачки 1 Э ) 0 ( n B = 6.4. Автокорреляционная функция периодических сигналов Введенное ранее понятие АКФ (формула (6.1)) не может быть использо- вано для периодических сигналов, поскольку эти сигналы обладают беско- нечной энергией, что приводит к появлению разрывов второго рода в (6.1). Поэтому для периодических сигналов АКФ вводят в следующем виде 95 ∫ − τ + = τ 2 / 2 / пер d ) ( ) ( 1 ) ( Т Т t t s t s Т В (6.13) Рассмотрим основные свойства АКФ периодических сигналов. 1) Свойство периодичности Из (6.13) следует, что АКФ периодического сигнала также периодиче- ская функция переменной τ с тем же периодом Т. 2) Длительность АКФ Длительность АКФ периодического сигнала бесконечна. Это вытекает из предыдущего свойства периодичности. 3) Величина АКФ при нулевом значении временного сдвига τ Положим в (6.13) 0 = τ . В результате с учетом (2.10) получим d ) ( 1 ) 0 ( ср 2 / 2 / 2 пер Р t t s Т В Т Т = = ∫ − (6.14) Таким образом, при нулевом сдвиге τ АКФ периодического сигнала по- ложительна, максимальна и равна средней мощности этого сигнала. 4) Свойство четности АКФ периодического сигнала является четной функцией временного сдвига τ , то есть ) ( ) ( τ − = τ B B 5) Форма АКФ периодической импульсной последовательности Из (6.13) следует, что на интервале τ, равном ( − T/2, T/2), АКФ периоди- ческой последовательности импульсов совпадает по форме с АКФ одиночно- го импульса из этой последовательности. С использованием последнего свойства построим АКФ периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 6.5). Рис. 6.5 τ B( τ ) t и −t и −2T 2T T P ср −T 0 … … 96 6.5. Автокорреляционная функция гармонического колебания Определим АКФ гармонического колебания с произвольной начальной фазой, заданного следующей формулой ) cos( ) ( 0 0 θ + ω = t U t s m (6.15) Для этого воспользуемся соотношением (6.13): d ] ) ( cos[ ) cos( ) ( 0 2 / 2 / 0 0 0 2 пер t t t T U В Т Т m θ + τ + ω θ + ω = τ ∫ − Используя в последней формуле известное соотношение для произведе- ния косинусов, получаем d ) cos( d ) 2 2 cos( 2 ) ( 2 / 2 / 2 / 2 / 0 0 0 0 2 пер τ ω + θ + τ ω + ω = τ ∫ ∫ − − T T T T m t t t T U В Первый интеграл на интервале, равном периоду, обращается в нуль. В итоге получаем ) cos( 2 d ) cos( 2 ) ( 0 2 2 / 2 / 0 2 пер τ ω = τ ω = τ ∫ − m T T m U t T U В (6.16) Таким образом, АКФ гармонического колебания с произвольной на- чальной фазой представляет собой гармоническое колебание с такой же час- тотой и нулевой начальной фазой. Отсюда следует, что АКФ гармонического колебания не зависит от начальной фазы этого колебания. 6.6. Взаимосвязь автокорреляционной функции и спектральной плотности детерминированного сигнала Рассмотрим взаимосвязь автокорреляционной функции и спектральной плотности для сигналов с конечной энергией. Для этого воспользуемся фор- мулой Рэлея (4.40), положив в ней ) ( ) ( ), ( ) ( τ + = = t s t f t s t g 97 Тогда с учетом теоремы сдвига получим d e ) j ( 2 1 d e ) j ( ) j ( 2 1 d ) ( ) ( j 2 j * ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ωτ − ωτ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ω ω π = ω ω ω π = τ + S S S t t s t s Интеграл в левой части полученного равенства является АКФ сигнала, а в правой части — обратное преобразование Фурье от 2 ) j ( ω S (знак в показа- теле экспоненты не имеет значения из-за четности 2 ) j ( ω S , в дальнейшем выберем знак « + »). Таким образом, АКФ и квадрат модуля спектральной плотности детерминированного сигнала связаны между собой парой преоб- разований Фурье. С учетом четности АКФ и 2 ) j ( ω S можно записать: ; d ) cos( ) ( 2 d e ) ( ) j ( 0 j 2 ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ωτ − τ ωτ τ = τ τ = ω B B S (6.17) d ) cos( ) j ( 1 d e ) j ( 2 1 ) ( 0 2 j 2 ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ωτ ω ωτ ω π = ω ω π = τ S S B (6.18) Из проведенного анализа вытекает, что АКФ не зависит от аргумента спектральной плотности. Поэтому различным сигналам могут соответство- вать одинаковые корреляционные функции, при условии, что спектрограммы модулей этих сигналов одинаковы. В частности отсюда следует, что сдвиг сигнала во времени не приводит к изменению АКФ. 6.7. Взаимная корреляционная функция двух сигналов Рассмотрим два импульсных сигнала s 1 (t) и s 2 (t) произвольной формы (рис. 6.6,а). Рис. 6.6 s 2 (t) s 1 (t) 0 t T c1 T c2 a) B 21 ( τ ) 0 τ T c1 −T c2 Э 12 T c2 −T c1 B 12 ( τ ) b) s 1 (t), s 2 (t) B 21 ( τ ), B 12 ( τ ) 98 Для количественной оценки степени корреляции этих сигналов вводят понятие взаимная корреляционная функция (ВКФ), которая определяется как площадь перекрытия одного из сигналов со сдвинутой копией второго. Из этого определения следует две возможности задания ВКФ: ; d ) ( ) ( ) ( 2 1 12 ∫ ∞ ∞ − τ + = τ t t s t s B (6.19) d ) ( ) ( ) ( 2 1 21 ∫ ∞ ∞ − τ + = τ t t s t s B (6.20) На рис. 6.6,b изображены графики ВКФ двух импульсных сигналов ) ( 1 t s и ) ( 2 t s , построенных качественно в соответствии с (6.19) и (6.20). Рассмотрим основные свойства ВКФ. 1) Длительность ВКФ Очевидно, что длительность ВКФ двух импульсных сигналов равна сумме длительностей исходных сигналов: Т вк = Т с1 + Т с2 . 2) Величина ВКФ при нулевом значении временного сдвига τ Положим в (6.19), (6.20) τ = 0. В результате получим Э Э d ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( 21 12 2 1 21 12 = = = = ∫ ∞ ∞ − t t s t s B B (6.21) Таким образом, при нулевом значении временного сдвига τ ВКФ чис- ленно равна взаимной энергии сигналов. В частности для ортогональных сигналов при τ = 0 ВКФ всегда обращается в нуль. 3) Свойство зеркальной симметрии ВКФ, в отличие от АКФ, в общем случае не является четной функцией временного сдвига τ . Из приведенного выше определения ВКФ следует, что сдвиг вправо s 2 (t) равнозначен сдвигу влево s 1 (t). Таким образом, для ВКФ выполняется условие зеркальной симметрии: ) ( ) ( 21 12 τ − = τ B B 99 6.8. Пример решения задачи 6.8.1. Условие Рассчитать автокорреляционную функцию сигнала, изображенного на рис. 6.7,а. Построить график АКФ и определить интервал корреляции. Ис- ходные данные: Е = 50 В; 3 и 10 6 − ⋅ = t с. s(t) t 0 t и E Рис. 6.7 t 0 t и −τ E s(t+ τ ) t 0 E s(t+ τ ) a) b) c) τ τ −τ t и −τ −τ 6.8.2. Решение Зададим данный сигнал аналитически на интервале времени ) , ( ∞ + −∞ : < ≤ > < = 0 ; , 0 0 ) ( и и и t t if t Е t t t if t s t (6.22) Данный сигнал представляет собой кусочно-непрерывную функцию времени, поэтому и АКФ является кусочно-непрерывной. Проведем расчеты 100 на различных участках непрерывности, используя формулу (6.1) и сдвигая копию сигнала в сторону опережения. 1) На интервале и 0 t ≤ τ ≤ (рис. 6.7,b) 2 ) ( 3 ) ( d ) ( ) ( 2 и 3 и 2 и 0 2 и и τ τ + τ = τ + = τ − − ∫ τ − t t t t Е t t t Е B t (6.23) Упрощая (6.23) и учитывая четность АКФ, приходим к следующему: 6 3 2 ) ( 3 2 и 3 и 2 и τ + τ − = τ t t Е B t (6.24) При 0 = τ из (6.24) получаем 3 ) 0 ( и 2 t E B = , что соответствует полной энергии сигнала. При и t = τ из (6.24) получаем 0 ) ( и = t B 2) На интервале и t > τ (рис. 6.7,c) 0 ) ( = τ B (6.25) Используя (6.24) и (6.25), построим график АКФ (рис. 6.8). B( τ ), В 2 ⋅ с τ , мс 0 5 − 5 5 2,5 Рис. 6.8 Для определения интервала корреляции запишем выражение для норми- рованной АКФ 2 3 2 ) 0 ( ) ( ) ( 3 и 3 2 и 3 и t t t B B R τ + τ − = τ = τ (6.26) 101 Интервал корреляции в соответствии с формулой (6.7) равен мс 75 , 3 75 , 0 ) 4 2 3 2 ( 1 d 2 3 2 2 d ) ( и 4 и 4 и 4 и 3 и 0 3 и 3 2 и 3 и кор и = = + − = τ τ + τ − = τ τ = τ ∫ ∫ ∞ ∞ − t t t t t t t t R t Таким образом, интервал корреляции треугольного импульса меньше, чем у прямоугольного импульса той же длительности (см. подраздел 6.2). 102 7. СИГНАЛЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ И ИХ СВОЙСТВА 7.1. Определение и критерии ограничения спектра Сигналом с ограниченным спектром называют такой сигнал, в спектре которого отсутствуют колебания с частотой, большей некоторой максималь- ной частоты ω m ( f m ). Ранее показано, что если длительность сигнала конечна, то его спектр неограничен. Реальные каналы связи обладают ограниченной полосой про- пускания, поэтому на практике ширину спектра сигналов искусственно огра- ничивают. При этом форма сигнала искажается. Ограничение спектра следу- ет проводить так, чтобы сохранялась основная (наиболее значимая) часть спектра, а влияние отбрасываемой части спектра на форму сигнала было бы допустимым. По сути, речь идет об определении эффективной (практиче- ской) ширины спектра сигнала. Эффективная ширина спектра в некоторой степени является условной величиной, поскольку существует ряд критериев ограничения спектра, применение которых дает несколько отличающиеся ре- зультаты. Рассмотрим основные критерии ограничения спектра. Энергетический критерий Под эффективной шириной спектра в этом случае понимают такую по- лосу частот, в пределах которой сосредоточена основная часть энергии (либо средней мощности) сигнала (обычно 90%). Этот критерий использовался ра- нее (см. подразделы 3.5 и 4.7). Амплитудный критерий Эффективной шириной спектра в этом случае называют полосу частот, на границах которой значение модуля спектральной плотности убывает в за- данное число раз относительно максимального значения (например, в 10 раз). 103 Критерий ограничения спектра по площади Пусть модуль спектральной плотности сигнала ) j ( ω S имеет макси- мальное значение max S . Под эффективной шириной спектра ∆ω эф в этом слу- чае понимают ширину спектра прямоугольной формы, величина которого равна max S а площадь равна площади функции ) j ( ω S . Исходя из этого опре- деления, можно записать d ) j ( 0 эф ∫ ∞ ω ω ω ∆ = S S max Из последнего выражения определим эффективную ширину спектра d ) j ( 0 эф max S S ∫ ∞ ω ω = ω ∆ Зная эффективную ширину спектра можно определить и максимальную частоту ω m ( f m ). |