Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
4.2. Преобразование Фурье. Спектральная плотность сигнала Перейдем к количественному анализу. В соответствии с формулой (3.4) периодический сигнал ) ( 1 t s можно представить в виде комплексного ряда Фурье ∑ ∞ −∞ = ω = n t n n C t s 1 j 1 e ) ( , (4.1) коэффициенты разложения которого определяются соотношением: ∫ − ω − = 2 2 j 1 d e ) ( 1 1 T T t n n t t s T C (4.2) 53 Полагая 1 2 ω π = T и учитывая (4.2), преобразуем формулу (4.1) к виду e d e ) ( 2 1 ) ( 1 j 2 / 2 / j 1 1 1 1 ω ⋅ π = ω ∞ −∞ = − ω − ∑ ∫ t n n T T t n t t s t s (4.3) Устремим период Т к бесконечности. Тогда в пределе (на основании из- ложенного в подразделе 4.1) в формуле (4.3) сигнал s 1 (t) следует заменить на s(t), параметр 1 ω — на ω d , величину 1 ω n — на ω , а операцию суммирования — операцией интегрирования. В результате получаем d e d e ) ( 2 1 ) ( j j ω π = ω ω − ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − t t t t s t s (4.4) Интеграл в скобках в формуле (4.4) является функцией частоты. Этот интеграл называют спектральной плотностью сигнала и обозначают той же буквой, что и временную функцию сигнала, только прописной. Если написа- ние прописной буквы отличается только масштабом, то снизу она подчерки- вается прямой линией. В нашем случае спектральную плотность сигнала ) (t s обозначим ) j ( ω S . С учетом этого получаем пару интегральных преобразова- ний Фурье, связывающих временную и спектральную функции сигнала: ∫ ∞ ∞ − ω − = ω ; d e ) ( ) j ( j t t s S t (4.5) ∫ ∞ ∞ − ω ω π = ω d e ) j ( 2 1 ) ( j t S t s (4.6) Выражение (4.5) называют прямым преобразованием Фурье, а выраже- ние (4.6) — обратным преобразованием Фурье. Прямое преобразование Фу- рье позволяет перейти от временной функции сигнала, к его спектральной плотности, а обратное преобразование Фурье позволяет сделать обратный переход от спектральной плотности сигнала к его временной функции. 54 4.3. Некоторые представления спектральной плотности Как следует из (4.5) спектральная плотность в общем случае представля- ет собой комплексную функцию частоты. Используя формулу Эйлера в (4.5), представим спектральную плотность в алгебраической форме , ) ( j ) ( ) j ( ω + ω = ω B A S (4.7) где ) ( ω A и ) ( ω B — действительная и мнимая части спектральной плотности, вычисляемые по формулам: ∫ ∞ ∞ − ω = ω ; d ) cos( ) ( ) ( t t t s A (4.8) ∫ ∞ ∞ − ω − = ω d ) sin( ) ( ) ( t t t s B (4.9) Заметим, что ) ( ω A является четной, а ) ( ω B — нечетной функциями ар- гумента ω , что следует из (4.8) и (4.9). Перейдём к показательной форме представления ) ( j e ) j ( ) j ( ω θ ω = ω S S , (4.10) где ) j ( ω S и ) ( ω θ — модуль и аргумент спектральной плотности, вычисляе- мые по формулам: ; ) ( ) ( ) j ( 2 2 ω + ω = ω B A S (4.11) )) ( ), ( ( angle ) ( ω ω = ω θ B A (4.12) Заметим, что ) j ( ω S является четной, а ) ( ω θ — нечетной функциями ар- гумента ω , что следует из четности ) ( ω A и нечетности ) ( ω B . Результаты спектрального анализа отображают в виде спектрограмм модуля и аргумента, которые в этом случае представляют собой графики зависимости модуля и аргумента спектральной плотности от частоты. 55 4.4. Обратное преобразование Фурье в тригонометрической форме Обратное преобразование Фурье, записанное в виде формулы (4.6), представлено в комплексной форме. Интегрирование при этом осуществля- ется в области как положительных (физических), так и отрицательных (мате- матических) частот. Если сигнал ) (t s представляет собой чисто действитель- ную функцию времени, то (4.6) можно представить в тригонометрической форме. При этом интегрирование будет осуществляться только в области фи- зических частот. По аналогии с рядом Фурье (см. подраздел 3.3) осуществим переход к тригонометрической форме. Подставляя (4.10) в (4.6), получаем = ω ω π = ω ω π = ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ω θ + ω ω ω θ d e ) j ( 2 1 d e e ) j ( 2 1 ) ( )] ( [ j j ) ( j t t S S t s d )] ( sin[ ) j ( 2 1 j d )] ( cos[ ) j ( 2 1 ω ω θ + ω ω π + ω ω θ + ω ω π = ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − t S t S В последнем выражении второй интеграл (мнимая часть) равен нулю ввиду четности ) j ( ω S и нечетности ) ( ω θ , а первый интеграл можно упро- стить, проинтегрировав в пределах от нуля до бесконечности и удвоив ре- зультат. В итоге приходим к следующему выражению: [ ] d ) ( cos ) j ( 1 ) ( 0 ω ω θ + ω ω π = ∫ ∞ t S t s (4.13) Выражение (4.13) представляет собой обратное преобразование Фурье в тригонометрическом виде. Сравнивая формулу (4.13) и ряд (3.16), можно провести следующую аналогию. В выражении (4.13) аналогом амплитуды колебания выступает ма- лая величина A ∆ , равная ) j ( 2 ) j ( 1 f S S A ∆ ω = ω ∆ ω π ≈ ∆ 56 Из последнего равенства получаем lim ) j ( 2 0 f A S f ∆ ∆ = ω → ∆ (4.14) Итак, удвоенная величина модуля спектральной плотности на некоторой частоте представляет собой предел отношения амплитуды колебания, полу- чаемого суммированием составляющих спектра в полосе частот, включаю- щей данную частоту, к ширине этой полосы при стремлении ее к нулю. Из (4.14) следует, что размерность спектральной плотности В/Гц (для напряжения), либо А/Гц (для тока). В принципиальном плане понятие спек- тральной плотности эквивалентно понятию плотности вещества. 4.5. Спектральная плотность чётных и нечётных функций времени Если сигнал ) (t s представляет собой четную или нечетную функции времени, то спектральный анализ упрощается. 4.5.1. Пусть s(t) — чётная функция времени. При этом из формулы (4.9) вытекает, что мнимая часть спектральной плотности 0 ) ( = ω B . При этом спектральная плотность выражается в виде действительной функции частоты ) ( ω A , которую в данном случае можно рассчитать по более простой, выте- кающей из (4.8), формуле d ) cos( ) ( 2 ) ( ) j ( 0 t t t s A S ω = ω = ω ∫ ∞ (4.15) Модуль и аргумент спектральной плотности в этом случае равны: ; ) ( ) j ( ω = ω A S (4.16) < ω π ± > ω = ω θ 0 ) ( ; 0 ) ( 0 ) ( A if A if (4.17) В последней формуле +π выбирают при ω > 0, а −π — при ω < 0, по- скольку θ (ω) является нечетной функцией частоты. 57 4.5.2. Пусть s(t) — нечётная функция времени. При этом из формулы (4.8) следует, что действительная часть спектральной плотности 0 ) ( = ω A При этом спектральная плотность выражается в виде мнимой функции часто- ты ) ( j ω B , которую в данном случае можно рассчитать по более простой, вы- текающей из (4.9), формуле d ) sin( ) ( 2 j ) ( j ) j ( 0 t t t s B S ω − = ω = ω ∫ ∞ (4.18) Модуль и аргумент спектральной плотности в этом случае равны: ; ) ( ) j ( ω = ω B S (4.19) < ω π − > ω π + = ω θ 0 ) ( 2 ; 0 ) ( 2 ) ( B if B if (4.20) 4.6. Свойства спектральной плотности сигнала Свойства спектральной плотности, по существу, являются свойствами прямого преобразования Фурье. Рассмотрим некоторые из этих свойств. 4.6.1. Значение спектральной плотности сигнала при ω = 0 Положим частоту в выражении (4.5) равной нулю: 0 = ω . При этом зна- чение спектральной плотности равно d ) ( ) 0 ( ) j ( 0 ∫ ∞ ∞ − = ω = = ω t t s S S (4.21) Из математики известно, что интеграл от модуля некоторой функции ра- вен площади, ограниченной графиком этой функцией и осью абсцисс. В этом смысле площадь всегда положительная величина. Интеграл в (4.21) отлича- ется тем, что в подынтегральной функции отсутствует операция взятия моду- ля. По аналогии будем называть интеграл в (4.21) площадью сигнала ) (t s . С учетом сказанного можно утверждать, что значение спектральной плотности сигнала ) (t s при ω = 0 численно равно площади этого сигнала. 58 4.6.2. Спектральная плотность суммы сигналов Пусть сигнал ) (t s представляет собой сумму n сигналов ) ( ) ( 1 ∑ = = n k k t s t s (4.22) Необходимо определить спектр сигнала ) (t s Выполним прямое преобразование Фурье для левой и правой частей со- отношения (4.22). В результате приходим к следующему: ) j ( ) j ( 1 ∑ = ω = ω n k k S S (4.23) Таким образом, спектральная плотность суммы сигналовравна сумме спектральных плотностей этих сигналов. 4.6.3. Сдвиг сигнала во времени (теорема сдвига) Рассмотрим сигнал s 1 (t), которому соответствует спектральная плот- ность ) j ( 1 ω S . Осуществим сдвиг этого сигнала вдоль оси времени на величи- ну 0 t . В результате получим сигнал s 2 (t), который связан с исходным сигна- лом соотношением ) ( ) ( 0 1 2 t t s t s − = (4.24) Случай 0 0 > t соответствует запаздыванию, а 0 0 < t — опережению. На рис. 4.2. изображены сигнал s 1 (t) и сигнал s 2 (t), запаздывающий по отношению к сигналу s 1 (t). Рис. 4.2 s 1 (t), s 2 (t) s 1 (t) s 2 (t) 0 t t 2 + t 0 t 2 t 1 + t 0 t 1 59 Определим спектральную плотность сигнала s 2 (t). Для этого применим к (4.24) прямое преобразование Фурье d e ) ( d e ) ( ) j ( j j 0 1 2 2 t t t s t t s S t t ω − ω − ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = = ω (4.25) Осуществим в (4.25) замену переменной: τ = − 0 t t . Отсюда: 0 t t + τ = , τ = d dt . Пределы интегрирования по новой переменной: ∞ − ÷ ∞ + . С учетом этого (4.25) запишем в виде j j j 0 0 e ) j ( d e ) ( e ) j ( 1 1 2 t t S s S ω − ωτ − ω − ω = τ τ = ω ∫ ∞ ∞ − (4.26) Таким образом, сдвиг сигнала во времени на величину t 0 соответствует умножению спектральной плотности на 0 j e t ω − Определим модуль и аргумент спектральной плотности сдвинутого сиг- нала, используя (4.26): ω − ω θ = ω θ ω = ω ) ( ) ( ; ) j ( ) j ( 0 1 2 1 2 t S S (4.27) Из (4.27) следует, что сдвиг сигнала во времени не изменяет модуль спектральной плотности, а изменяет только ее аргумент. Изменение выража- ется в суммировании аргумента спектральной плотности исходного сигнала и величины 0 ωt − , которая линейно зависит от частоты. 4.6.4. Изменение масштаба времени Под изменением масштаба времени понимают как сжатие, так и растя- жение сигнала во времени. Рассмотрим сигнал s 1 (t), которому соответствует спектральная плотность ) j ( 1 ω S . Изменение масштаба времени осуществляют путем умножения аргумента t на константу n (n > 1 соответствует сжатие сигнала, а n < 1 — растяжение). В результате этого получим сигнал s 2 (t) ) ( ) ( 1 2 nt s t s = (4.28) 60 На рис. 4.3 показаны исходный s 1 (t) и сжатый s 2 (t) сигналы. Рис. 4.3 s 1 (t), s 2 (t) s 1 (t) s 2 (t) 0 t t 1 t 1 /n Определим спектральную плотность сигнала s 2 (t). Применим к (4.28) прямое преобразование Фурье: d e ) ( d e ) ( ) j ( j j 1 2 2 ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ω − ω − = = ω t nt s t t s S t t (4.29) Выполним в (4.29) замену переменной: τ = t n . Отсюда: n t τ = , n t τ = d d . Пределы интегрирования по новой переменной: ∞ − ÷ ∞ + . С уче- том этого (4.29) запишем в виде j 1 d e ) ( 1 ) j ( 1 j 1 2 ω = τ τ = ω ∫ ∞ ∞ − ωτ − n S n s n S n (4.30) Таким образом, умножение аргумента t на число n в выражении для временной функции приводит к делению аргумента ω на это же число n в выражении для спектральной плотности. Иначе говоря, сжатие (растяжение) сигнала во времени в nраз вызывает расширение (сжатие) его спектральной плотности во столько же раз. Следует запомнить вытекающее из этого правило: чем меньше дли- тельность сигнала, тем шире его спектр. 4.6.5. Дифференцирование сигналов по времени Рассмотрим сигнал s 1 (t), которому соответствует спектральная плот- ность ) j ( 1 ω S . Осуществим операцию дифференцирования этого сигнала по времени. В результате получим сигнал s 2 (t), который связан с исходным сиг- налом соотношением 61 t t s t s d ) ( d ) ( 1 2 = (4.31) Определим спектральную плотность сигнала s 2 (t). Путем простых вы- кладок [4] можно показать, что ) j ( j ) j ( 1 2 ω ⋅ ω = ω S S (4.32) Из (4.32) следует, что дифференцирование сигнала по времени соответ- ствует умножению спектральной плотности этого сигнала на ω j . 4.6.6. Интегрирование сигналов по времени Рассмотрим сигнал s 1 (t), которому соответствует спектральная плот- ность ) j ( 1 ω S . Рассмотрим случай, при котором выполняется условие 0 ) 0 ( 1 = S . В результате интегрирования сигнала s 1 (t) получим сигнал s 2 (t), ко- торый связан с исходным сигналом соотношением t t s t s t d ) ( ) ( 1 2 ∫ ∞ − = (4.33) Из (4.33) сигнал s 1 (t)можно выразитьв виде t t s t s d ) ( d ) ( 2 1 = Тогда на основании предыдущего свойства (4.32) запишем ) j ( j ) j ( 2 1 ω ⋅ ω = ω S S (4.34) Из (4.34) выразим спектральную плотность ) j ( 2 ω S : j ) j ( ) j ( 1 2 ω ω = ω S S (4.35) Таким образом, интегрирование сигнала по времени соответствует деле- нию его спектральной плотности на ω j |