Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
2.5.2. Решение Полная энергия сигнала определяется соотношением (2.6). В соответст- вии с этой формулой сигнал ) (t s следует задать на бесконечном интервале времени. Из рис. 2.6 следует: s(t) t 0 t и E Рис. 2.6 33 ≤ ≤ > < = 0 ; 0 0 и и и , t t if t t E t t t if t s ) ( (2.24) Подставим (2.24) в формулу (2.6). В результате получим с В 1 , 0 3 d )d ( Э 2 0 и 2 2 2 и 2 2 и = = = = ∫ ∫ ∞ ∞ − t t E t t t E t t s Средняя мощность периодического сигнала определяется соотношением (2.10). На интервале, равном периоду, аналитическое выражение для перио- дического сигнала совпадает с формулой (2.24), описывающей одиночный импульс. Поэтому среднюю мощность процесса, получаемого периодиче- ским повторением заданного импульса, определим как 5 3 d )d ( 1 и 0 и 2 2 2 и 2 2 2 2 cp = = = = ∫ ∫ − t T T T t E t t T t E t t s T P В 2 Действующее значение этого процесса определим по формуле (2.13) ,24 2 5 ср д ≈ = = P S В . 34 3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ФУРЬЕ - АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ 3.1. Определение спектра по Фурье и основные понятия Наибольшее распространение в радиоэлектронике нашло разложение сигналов по системе гармонических функций. С этим разложением связано определение спектра по Фурье, который первым доказал, что сложные сиг- налы можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Спектром сигнала по Фурье называют набор гармонических колебаний, на кото- рые разлагается этот сигнал. Спектр по Фурье (в дальнейшем просто спектр) по своей сути определяет частотный со- став сигнала. Для уяснения этого понятия рас- смотрим простой пример, а именно определим спектр сигнала t E t s 1 2 cos ) ( ω = . Применим для этого метод тригонометрических преобразований. Суть этого метода состоит в использовании из- вестных тригонометрических формул. В данном случае применим формулу [ ] 2 ) 2 cos( 1 cos 2 α + = α . С учетом этой формулы, получаем ) 2 cos( 2 2 ) ( 1 t E E t s ω + = Таким образом, сигнал ) (t s можно представить в виде суммы двух гар- монических составляющих (рис. 3.1). Первая составляющая, изображенная на рис. 3.1,а, представляет собой константу 2 ) ( 1 E t u = (вырожденный случай Рис. 3.1 0 t t u 1 (t) u 2 (t) E / 2 E / 2 s(t) π/ω 1 0 0 а) b) c) E t 0 35 гармонического колебания с нулевой частотой). Вторая составляющая, изо- браженная на рис. 3.1,b, представляет собой гармоническое колебание с час- тотой 1 2 ω : ) 2 cos( 2 ) ( 1 2 t E t u ω = . Эти две составляющие в сумме дают исход- ный сигнал s(t), который изображен на рис. 3.1,c. По результатам спектрального анализа периодических сигналов строят спектрограммы (рис. 3.2). Спектрограмма амплитуд (спектр ампли- туд)— это зависимость амплитуд составляющих спектра от частоты. Спектрограмма начальных фаз (спектр фаз)— это зависимость начальных фаз состав- ляющих спектра от частоты. На рис. 3.2,a построена спектрограмма ампли- туд, а на рис. 3.2,b — спектрограмма начальных фаз рассмотренного сигнала. 3.2. Разложение периодического сигнала в комплексный ряд Фурье Рассмотрим задачу спектрального Фурье-анализа произвольного перио- дического сигнала сигнал s(t) с круговой частотой T π = ω 2 1 (рис. 3.3), для которого на интервале времени, равном периоду T , выполняется условие аб- солютной интегрируемости , d ) ( 2 / 2 / ∞ < ∫ − t t s T T (3.1) а также выполняются условия Дирихле (конечное число экстремумов и раз- рывов первого рода на интервале, равном периоду). Рис. 3. 3 s(t) 0 t T 2T … … Рис. 3.2 A( ω ) ω 2 ω 1 E/2 0 θ(ω) 2 ω 1 0 ω E/2 а ) b ) 36 Осуществим разложение этого сигнала в спектр по системе комплекс- ных гармонических функций e ) ( 1 j t n n t ω = ϕ (3.2) Докажем, что система функций (3.2) является ортогональной на интер- вале времени ) 2 , 2 ( T T − . Для этого проверим выполнение условия (2.20): ∫ ∫ ∫ − − ω − ω − ω − ω ∗ = ϕ = = = ≠ = ϕ ϕ 2 2 2 2 2 j j 2 2 j j d e e : ; 0 d e e : d ) ( ) ( 1 1 1 1 T T T T n t n t n T T t m t n m n T t n m if t n m if t t t (3.3) В случае n m ≠ интеграл в (3.3) берется следующим образом: 0 e ) ( j 1 d e e 2 2 ) ( j 1 2 2 j j 1 1 1 = − ω = − ω − − ω − ω ∫ T T t m n T T t m t n m n t Таким образом, периодический сигнал произвольной формы на интерва- ле времени ( 2 , 2 T T − ), а значит и на бесконечном интервале времени, можно разложить по системе ортогональных функций (3.2.). В этом случае ряд (2.21) принимает вид ∑ ∞ −∞ = ω = n t n n C t s 1 j e ) ( (3.4) Ряд (3.4) называют рядом Фурье в комплексной форме. Спектр сигна- ла, представленного в виде ряда (3.4), содержит бесконечный набор ком- плексных гармонических функций с кратными положительными и отрица- тельными частотами. Коэффициенты разложения n С в этом случае являются комплексными амплитудами гармонических колебаний с частотами 1 ω n . Оп- ределим n С в соответствии с (2.23): 37 d e ) ( 1 d ) ( ) ( 1 2 / 2 / j 2 / 2 / 2 1 ∫ ∫ − ω − − ∗ = ϕ ϕ = T T t n T T n n n t t s T t t t s C (3.5) Поскольку в общем случае эти коэффициенты являются комплексными числами, то представим их в алгебраической и показательной формах: n n ns nc n C c c C θ = + = j e | | j , (3.6) где ns nc c c , — действительная и мнимая части, а n n C θ |, | — модули и аргу- менты комплексных весовых коэффициентов. Применяя формулу Эйлера в (3.5) и правила взятия модуля и аргумента комплексного числа, определим ns nc c c , , n n C θ |, | : ; d ) cos( ) ( 1 2 / 2 / 1 ∫ − ω = T T nc t t n t s T c (3.7) d ) sin( ) ( 1 2 / 2 / 1 ∫ − ω − = T T ns t t n t s T c (3.8) ; | | 2 2 ns nc n c c C + = (3.9) ) , ( angle Arctg ns nc nc ns n c c c c = = θ (3.10) В формуле (3.10) angle — это оператор, позволяющий определить аргу- мент комплексного числа по его действительной и мнимой частям в диапазо- не π < θ ≤ 2 0 Из (3.7)…(3.10) следует, что с nc и n C являются чётными функциями ар- гумента n, а с ns и n θ — нечетными. Представляя в формуле (3.4) коэффициент разложении n C в показатель- ной форме, получаем e | | ) ( ) ( j 1 ∑ ∞ −∞ = θ + ω = n t n n n C t s (3.11) 38 Эта форма комплексного ряда Фурье удобна для построения спектро- грамм. В данном случае строят спектрограммы модулей и аргументов коэф- фициентов разложения. На рис. 3.4,а изображен пример спектрограммы мо- дулей, а на рис. 3.4,b — спектрограммы аргументов. Рис. 3.4 ω ω 1 0 2 ω 1 3 ω 1 4 ω 1 −ω 1 − 2 ω 1 − 3 ω 1 − 4 ω 1 b) ω ω 1 0 C 0 2 ω 1 | n C | 3 ω 1 4 ω 1 −ω 1 − 2 ω 1 − 3 ω 1 − 4 ω 1 а) … … … … | 1 C | | 2 C | | 3 C | | 4 C | | 1 − C | | 2 − C | | 3 − C | | 4 − C | n θ 4 θ 3 θ 2 θ 1 θ 4 − θ 3 − θ 2 − θ 1 − θ 3.3. Ряд Фурье в тригонометрической форме Комплексный ряд Фурье (3.11) содержит набор комплексных гармони- ческих функций с положительными и с отрицательными частотами. Если сигнал ) (t s представляет собой чисто действительную функцию времени, то ряд (3.11) можно преобразовать к сумме действительных гармонических функций только с положительными (физическими) частотами. Такой ряд на- зывают рядом Фурье в тригонометрической форме. Осуществим переход к такому ряду Фурье. Для этого разобьём (3.11) на две суммы, выделив при этом отдельно коэффициент 0 C : e | | e | | ) ( 1 ) ( j 1 0 ) ( j 1 1 ∑ ∑ ∞ = θ + ω − −∞ = θ + ω + + = n t n n n t n n n n C C C t s (3.12) В последнем выражении первое и третье слагаемые — это суммы ком- плексных гармонических функций только с отрицательными и только поло- жительными частотами соответственно. Поменяем в первой сумме знак n на противоположный: 39 ) ( j 1 0 ) ( j 1 1 1 e | | e | | ) ( n n t n n n t n n n C C C t s θ + ω ∞ = θ + ω − ∞ = − ∑ ∑ + + = − В последнем выражении учтем, что n C является четной функцией пе- ременной n , а n θ — нечетной, то есть | | | | n n C C − = ; n n − θ − = θ . Тогда e | | e | | ) ( ) ( j 1 0 ) ( j 1 1 1 n n t n n n t n n n C C C t s θ + ω ∞ = θ + ω − ∞ = ∑ ∑ + + = (3.13) Учтем, что [ ] ) cos( | | 2 e e | | 1 ) ( j ) ( j 1 1 n n t n t n n t n C C n n θ + ω = + θ + ω θ + ω − (3.14) Объединяя обе суммы в (3.13) с учетом (3.14), получаем ) cos( | | 2 ) ( 1 1 0 ∑ ∞ = θ + ω + = n n n t n C C t s (3.15) Выражение (3.15) представляет собой ряд Фурье в тригонометриче- ской форме, который содержит косинусоидальные гармонические колебания только с физическими частотами. Представим (3.15) в следующем виде , ) cos( 2 ) ( 1 1 0 ∑ ∞ = θ + ω + = n n n t n A a t s (3.16) где 0 0 2 C a = — постоянная составляющая, которая не зависит от времени; | | 2 n n C A = и n θ — амплитуды и начальные фазы колебаний с частотами n ω 1 Каждый член ряда Фурье (3.16) представляет собой действительное гар- моническое колебание с амплитудой A n , физической частотой n ω 1 и началь- ной фазой n θ Амплитуды n A и начальные фазы n θ определяют по следующим форму- лам, которые вытекают из соотношений (3.9), (3.10): ; 2 2 2 2 2 n n ns nc n b a c c A + = + = (3.17) 40 , ) , ( angle Arctg Arctg n n n n nc ns n b a a b c c = = = θ (3.18) где коэффициенты разложения a n и b n определяют по формулам, вытекаю- щим из соотношений (3.7) и (3.8): ; d ) cos( ) ( 2 2 2 / 2 / 1 ∫ − ω = = T T nc n t t n t s T c a (3.19) d ) sin( ) ( 2 2 2 / 2 / 1 ∫ − ω − = = T T ns n t t n t s T c b (3.20) Установим физический смысл постоянной составляющей, выражение для которой получим из формулы (3.19) положив в них 0 = n . В результате получим d ) ( 1 2 2 / 2 / 0 0 ∫ − = = T T t t s T C a (3.21) Соотношение (3.21) представляет собой запись теоремы о среднем [4]. Поэтому постоянная составляющая численно равна среднему значению функции s(t) за период Т. Построим спектрограммы амплитуд и начальных фаз тригонометриче- ского ряда Фурье (рис. 3.5). Сравнивая спектрограммы для комплексно- го и тригонометрического рядов Фурье, пред- ставленные на рис. 3.4 и рис. 3.5, видим, что во втором случае отсутствуют отрицательные час- тоты, а амплитуды колебаний n A в два раза пре- вышают модули коэффициентов разложения n C , за исключением постоянной составляющей, ве- личина которой остается неизменной. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы. Рис. 3.5 А n ω ω 1 0 2 ω 1 3 ω 1 4 ω 1 θ n θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 b) ω 1 0 4 ω 1 ω a 0 /2 А 1 2 ω 1 А 2 А 3 А 4 3 ω 1 a) … … 41 1) Периодические сигналы обладают дискретной (линейчатой) структу- рой спектра.Дискретный спектр — это такой спектр, в состав которого входят гармонические колебания с дискретными значениями частот. 2) Спектр периодического сигнала состоит из гармонических колебаний с кратными частотами 1 ω n , где T π = ω 2 1 — частота сигнала, разлагаемого в спектр. Гармонические колебания с кратными частотами называют гармо- никами. Поэтому можно сказать, что спектр периодического сигнала — это бесконечный набор гармоник. 3) В спектре периодического сигнала может присутствовать постоянная составляющая, которая рассматривается как вырожденное гармоническое ко- лебание с нулевой частотой. 4) Спектральный анализ позволяет рассматривать сигнал в двух облас- тях: временной и частотной (спектральной). Причём, любые изменения фор- мы сигнала во времени приводят к изменению его спектра и наоборот. |