Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
b. 4.11. Спектральная плотность гармонического колебания Рассмотрим гармоническое колебание ) cos( ) ( 1 1 1 θ + ω = t A t s (4.62) Представим выражение (4.62) в виде 2 e e ) ( ) ( j ) ( j 1 1 1 1 1 θ + ω − θ + ω + = t t A t s (4.63) Применим к (4.63) прямое преобразование Фурье: ∫ ∫ ∞ ∞ − ω ∞ ∞ − = + = ω − θ + ω − ω − θ + ω t A t A S t t t t d e e 2 d e e 2 ) j ( j 1 1 ) ( j j ) ( j 1 1 1 1 d e e 2 d e e 2 ) ( j ) ( j 1 1 1 1 j 1 j 1 ∫ ∫ ∞ ∞ − θ − ∞ ∞ − θ ω + ω − ω − ω − + = t A t A t t В соответствии с (4.60) последнее выражение представим в виде ) ( e ) ( e ) j ( 1 1 1 1 1 1 j j ω + ω δ π + ω − ω δ π = ω θ − θ A A S (4.64) Итак, спектральная плотность гармонического колебания представляет собой сумму двух δ -функций, расположенных на частотах 1 ω и 1 ω − . Эти 72 функции имеют одинаковые весовые коэффициенты 1 A π и противополож- ные по знаку аргументы. Спектрограммы модуля и аргумента гармоническо- го колебания изображены на рис. 4.11,a и 4.11,b соответственно. Рис. 4.11 |S(j ω )| π А 1 δ ( ω + ω 1 ) 0 ω 1 −ω 1 ω π А 1 δ ( ω – ω 1 ) ∞ ∞ θ 1 θ ( ω ) −θ 1 ω ω 1 −ω 1 0 a) b) Наличие δ -функций в спектральной плотности говорит о том, что ам- плитуда гармонического колебания на частоте 1 ω имеет конечную величину. 4.12. Спектральная плотность произвольного периодического процесса Представим произвольный периодический процесс в виде ряда Фурье, содержащего постоянную составляющую и бесконечный набор гармоник: ) cos( ) ( 1 1 0 ∑ ∞ = θ + ω + = n n n t n A C t s (4.65) С учетом результатов, полученных в подразделах 4.10 и 4.11, можно за- писать выражение для спектральной плотности этого процесса в виде [ ] ∑ ∞ = θ − θ ω + ω δ + ω − ω δ π + ω δ π = ω 1 1 1 0 e ) ( e ) ( ) ( 2 ) j ( j j n n n n n n A C S (4.66) Как видно из формулы (4.66), спектральная плотность периодического процесса представляет собой бесконечное множество δ -функций, располо- женных в дискретных частотных точках 1 ω ± n . Пример спектрограмм произ- 73 вольного периодического процесса представлен на рис. 4.12. Рис. 4.12 |S(j ω )| 0 ω π А 1 ∞ ω 1 −ω 1 ∞ π А 1 2 π C 0 π А 2 ∞ 2 ω 1 π А 3 ∞ 3 ω 1 − 2 ω 1 ∞ π А 2 … … θ ( ω ) ω −θ 1 −ω 1 0 θ 1 ω 1 θ 2 2 ω 1 θ 3 3 ω 1 −θ 2 − 2 ω 1 … … … Распространение понятия спектральной плотности на периодические процессы не дает качественно новых результатов. Однако этот подход удо- бен, поскольку позволяет осуществлять спектральный анализ процессов, со- держащих как периодическую, так и непериодическую компоненты и ото- бражать результаты на одних и тех же спектрограммах. 4.13. Взаимосвязь между спектрами одиночного импульса и сигнала, получаемого периодическим повторением этого импульса Сравним выражение для спектральной плотности импульсного процесса (4.5) с выражением для коэффициента разложения n C периодического про- цесса в комплексный ряд Фурье (3.5). Эти выражения отличаются коэффици- ентом T 1 , а также тем, что в первом случае частота может принимать любое значение ω , а во втором — дискретные значения 1 ω n . Отсюда вытекает про- стая взаимосвязь спектральной плотности импульса с комплексными ампли- тудами гармоник процесса, получаемого путем периодического повторения этого импульса. Если учесть, что n n C A 2 = • , то получим ( ) j 2 1 ω = • n S T A n (4.67) Из формулы (4.67) следует, что модуль спектральной плотности отдель- 74 ного импульса и огибающая спектра амплитуд процесса, получаемого путем периодического повторения этого импульса, совпадают по форме, отличаясь только масштабным коэффициентом T 2 . Применение формулы (4.67) позволяет избежать громоздких выкладок, что иллюстрируется в следующем подразделе. 4.14. Спектр пачки разновеликих прямоугольных импульсов На рис. 4.13 изображен процесс в виде пачки, состоящей из четырех раз- новеликих прямоугольных импульсов одинаковой длительности и t , следую- щих друг за другом с интервалом, равным 1 T . Высоту каждого импульса обо- значим как i P , где 3 , 2 , 1 , 0 = i Рис. 4.13 P 0 P 1 P 2 P 3 t s(t) 0 T 1 2T 1 3T 1 t и Данный процесс можно рассматривать как сумму четырех прямоуголь- ных импульсов сдвинутых относительно друг друга на интервал 1 T . Поэтому, в соответствии с (4.23) спектральную плотность пачки определим как сумму спектральных плотностей этих импульсов. Учитывая теорему сдвига (4.26), а также выражения для спектральной плотности одиночного прямоугольного импульса (4.46), получаем ( ) ( ) e e e e 2 in s 2 j 2 j 3 j 3 2 j 2 j 1 0 и и 1 1 1 t T T T P P P P t S ω − ω − ω − ω − + + + ω ω = ω (4.68) Определим модуль спектральной плотности 75 ( ) e e e 2 in s 2 j 1 1 1 3 j 3 2 j 2 j 1 0 и T T T P P P P t S ω − ω − ω − + + + ω ω = ω (4.69) Результаты расчета на ЭВМ модуля спектральной плотности (4.69) при 2 и 1 = t T иллюстрируются рис. 4.14. |S(j ω )| ω 0 2 π/ T 1 − 2 π/ T 1 2 π/ t и − 2 π/ t и 4t и ω 0 2 π/ T 1 − 2 π/ T 1 2 π/ t и − 2 π/ t и 6,5t и Рис. 4.14 a) b) |S(j ω )| На рис. 4.14,а изображена спектрограмма при значениях 3 2 1 0 P P P P = = = . Этот частный случай рассмотрен в [1]. Он соответствует пачке равновеликих импульсов и характеризуется всплесками спектральной плотности на частотах, кратных 1 1 2 T π = ω , а также отсутствием в спектре составляющих с частотами: 4 3 ; 2 ; 4 1 1 1 ω ω ω . Изменение размаха любого из импульсов в пачке приводит к существенному изменению структуры спектра в полосе частот от нуля до 1 ω . На рис. 4.14,bв качестве примера изображена спектрограмма при значениях 0 P = 1 В, 1 P = 1,5 В, 2 P = 2 В, 3 P = 2,5 В. Это свойство спектра может быть использовано для проведения функ- циональных преобразований над амплитудами импульсов в пачке. Покажем такую возможность. Для этого сформируем периодическую последователь- ность таких пачек, следующих с периодом 1 4T T = , и определим амплитуду 76 первой гармоники частоты 4 2 1 ω = π = Ω T . При этом рассмотрим частный случай, положив 1 и T t = . В соответствии с (4.67) амплитуда первой гармоники равна e e e 2 ) j ( 2 2 3 j 3 j 2 2 j 1 0 1 π − π − π − + + + π = Ω = P P P P S T A (4.70) Преобразуя (4.70), приходим к следующему: ( ) ( ) j 2 3 1 2 0 1 P P P P A − − − π = (4.71) Взяв модуль в последнем выражении, получим ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 0 1 P P P P A − + − π = (4.72) Таким образом, выделяя с помощью полосно-пропускающего фильтра первую гармонику и измеряя ее амплитуду, можно осуществлять функцио- нальное преобразование (4.72). 4.15. Пример решения задачи 4.15.1. Условие Рассчитать спектральную плотность импульса, изображенного на рис. 4.15. По- строить спектрограммы модуля и аргумен- та. Оценить эффективную ширину спектра. Исходные данные: высота Е = 40 В; дли- тельность импульса 3 1 10 1 − ⋅ = t с. 4.15.2. Решение Спектральная плотность непериодического процесса определяется при- менением прямого преобразования Фурье к сигналу ) (t s . Поскольку задан- s(t) t 0 E Рис. 4.15 − t 1 /2 t 1 /2 77 ный сигнал является четной функцией времени, то спектральная плотность представляет собой чисто действительную функцию частоты, которую мож- но определить с помощью формулы (4.15). В соответствии с этой формулой зададим сигнал ) (t s на интервале времени, равном ( ) ∞ + , 0 : 2 , 0 2 0 , 2 ; 1 1 1 > = < ≤ t t if t t if t t E t s ) ( (4.73) Подставим (4.73) в формулу (4.15): d ) cos( 2 2 d ) cos( ) ( 2 ) ( ) j ( 2 0 1 0 1 ∫ ∫ ω = ω = ω = ω ∞ t t t t t E t t t s A S Беря интеграл в последнем выражении, приходим к следующему: 1 ) 2 cos( ) 2 sin( 2 4 ) ( ) j ( 2 2 1 1 1 1 ω − ω ω + ω ω = ω = ω t t t t E A S После преобразований спектральная плотность приводится к виду 4 ) 4 sin( 2 2 ) 2 sin( ) ( ) j ( 2 1 1 1 1 1 1 ω ω − ω ω = ω = ω t t Et t t Et A S (4.74) Из (4.74) следует, что на нулевой частоте спектральная плотность равна площади сигнала: 02 , 0 2 ) 0 ( 1 = = Et S В/Гц, что подтверждает правильность решения. Спектрограммы модуля и аргумента в виде функций частоты f , рассчитанные при заданных исходных данных, изображены на рис. 4.16. Определим частоты, на которых спектральная плотность обращается в нуль. Для этого приравняем (4.74) к нулю. В результате несложных выкладок получаем следующую формулу для расчета 78 k t k 1 0 4 π = ω , либо k t f k 1 0 2 = , (4.75) где ,... 3 , 2 , 1 ± ± ± = k A( f ), В/Гц f, кГц π −π θ ( f ) 0 2 1 3 4 − 4 − 3 − 2 − 1 0,02 0,02 f, кГц 0 2 1 3 4 − 4 − 3 − 2 − 1 f, кГц 0 2 1 3 4 − 4 − 3 − 2 − 1 Рис. 4.16 |S(j f )|, В/Гц При заданных исходных данных нули наблюдаются на частотах ,... кГц 6 , кГц 4 , кГц 2 ± ± ± Из спектрограммы модуля следует, что данный импульс является видео- импульсом, поскольку спектральная плотность существенно отличается от нуля в полосе частот, примыкающей к нулевой частоте. С ростом частоты модуль спектральной плотности немонотонно убыва- ет, стремясь к нулю. Основная часть энергии сигнала сосредоточена в полосе частот, ограниченной двумя первыми лепестками спектрограммы. Поэтому оценкой эффективной ширины спектра может служить величина кГц 2 2 1 эф = ≈ ∆ t f 79 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА 5.1. Постановка задачи Для корректного применения преобразований Фурье сигнал ) (t s должен удовлетворять условию абсолютной интегрируемости, которое имеет вид [4]: ∞ < ∫ ∞ ∞ − t t s d | ) ( | (5.1) Это обстоятельство ограничивает область применения преобразований Фурье. Для преодоления указанного ограничения умножим сигнал ) (t s на так называемый множитель сходимости t σ − е ( σ > 0). В результате умножения по- лучаем функцию ) ( 1 t s следующего вида e ) ( ) ( 1 t t s t s σ − = (5.2) Положим, что при 0 < t сигнал ) (t s равен нулю. Для конечных во вре- мени сигналов это обеспечивается путем соответствующего выбора начала координат. Тогда для подавляющего большинства сигналов, используемых на практике, функция ) ( 1 t s будет удовлетворять условию (5.1) и к этой функ- ции можно применить прямое преобразование Фурье. 5.2. Преобразование Лапласа Запишем выражение для прямого преобразования Фурье от функции ) ( 1 t s . С учетом (5.2) получим 80 ) j ( d e ) ( d e ) ( ) j ( ) j ( j 1 1 ω + σ = = = ω ∫ ∫ ∞ ∞ − ω + σ − ∞ ∞ − ω − S t t s t t s S t t (5.3) Таким образом, спектральная плотность сигнала ) ( 1 t s представляет со- бой спектральную плотность сигнала ) (t s , вычисленную на комплексной частоте ( ω + σ j ). Определим ) ( 1 t s , применяя обратное преобразование Фурье к спек- тральной плотности ) j ( 1 ω S : d e ) j ( 2 1 e ) ( ) ( j 1 ∫ ∞ ∞ − ω σ − ω ω + σ π = = t t S t s t s Из последней формулы выразим ) (t s : d e ) j ( 2 1 ) ( ) j ( ∫ ∞ ∞ − ω + σ ω ω + σ π = t S t s (5.4) Произведем в (5.3) и (5.4) замену переменной: p j = ω + σ . При этом j ) p ( σ − = ω , j dp d = ω , а пределы интегрирования в (5.4) по новой перемен- ной от ) j ( ∞ − σ до ) j ( ∞ + σ . В результате замены получаем: ∫ ∞ ∞ − − = ; d e ) ( ) p ( p t t s S t (5.5) ∫ ∞ + σ ∞ − σ π = j j p dp e ) p ( j 2 1 ) ( t S t s (5.6) Выражения (5.5) и (5.6) представляют собой пару преобразований Лап- ласа, где ) p ( S называют изображением, а ) (t s — оригиналом. Преобразова- ние Фурье можно рассматривать как частный случай преобразования Лапла- са при σ = 0, что дает ω = j p . Таким образом, переход от одной пары преоб- разований к другой осуществляют путем замены p на ω j и наоборот. 81 Как уже отмечалось, комплексную переменную ω + σ = j p называют комплексной частотой. Колебание с комплексной частотой представляет со- бой функцию, осциллирующую с частотой ω и амплитудой, убывающей по закону ) exp( t σ − . В этом смысле изображение представляет собой спектраль- ную плотность, которая определяется для комплексной частоты ω + σ = j p Иначе говоря, спектр в данном случае рассматривается как набор осцилли- рующих с частотой ω колебаний, амплитуды которых уменьшаются по экс- поненциальному закону. |