Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике

• Название: В радиоэлектронике
• Анкор: Сигналы и процессы в электронике
• Дата: 15.09.2022
• Размер: 2.48 Mb.
• Имя файла: р_190002.pdf
• Тип: Учебное пособие; #679531
• страница: 5 из 25

3.4. Спектры чётных и нечётных функций времени
3.4.1. Пусть s(t) — чётная функция времени, то есть s(t) = s(
− t). В этом случае из (3.20) вытекает, что коэффициенты
0
=
n
b
, а из (3.19) следует, что коэффициенты
n
a можно рассчитать по более простой формуле, осуществляя интегрирование на интервале времени, равном половине периода d
)
cos(
)
(
4 2
/
0 1
∫
ω
=
T
n
t
t
n
t
s
T
a
(3.22)
Тогда амплитуды и начальные фазы гармоник спектра определяются со- отношениями:
;
d
)
cos(
)
(
4 2
/
0 1
∫
ω
=
=
T
n
n
t
t
n
t
s
T
a
A
(3.23)



<
π
>
=
=
θ
0
;
0 0
)
0
,
(
angle
n
n
n
n
a
if
a
if
a
(3.24)

42
3.4.2. Пусть s(t) — нечётная функция времени, то есть s(t) =
−s(− t). В этом случае из (3.19) следует, что коэффициенты
0
=
n
a
, а из (3.20) следует, что коэффициенты
n
b можно рассчитать по более простой формуле, осуще- ствляя интегрирование на интервале, равном половине периода
∫
ω
−
=
2
/
0 1
d
)
sin(
)
(
4
T
n
t
t
n
t
s
T
b
(3.25)
Тогда амплитуды и начальные фазы гармоник спектра определяются со- отношениями:
;
d
)
sin(
)
(
4 2
/
0 1
∫
ω
=
=
T
n
n
t
t
n
t
s
T
b
A
(3.26)



<
π
−
>
π
+
=
=
θ
0 2
/
;
0 2
/
)
,
0
(
angle
n
n
n
n
b
if
b
if
b
(3.27)
3.5. Распределение средней мощности периодического сигнала по
спектру. Эффективная ширина спектра
Ряд Фурье (3.16) содержит бесконечное число членов и сходится к сиг- налу s(t) с нулевой среднеквадратической ошибкой [4]. Таким образом, тео- ретически ширина спектра периодического сигнала бесконечна. На практике спектр ограничивают некоторой полосой частот, называемой практической или эффективной шириной спектра. Наиболее часто в качестве критерия ог- раничения ширины спектра используют так называемый энергетический
критерий, в соответствии с которым эффективная ширина спектра — это полоса частот, в пределах которой содержится основная часть (обычно 90%) средней мощности периодического сигнала.
Методика расчета эффективной ширины спектра согласно энергетиче- скому критерию состоит в следующем. Среднюю мощность периодического сигнала в соответствии с (2.10) запишем в виде d
)
(
1 2
/
2
/
2
ср
∫
−
=
T
T
t
t
s
T
P
(3.28)

43
В силу ортогональности составляющих спектра эта мощность распреде- ляется между постоянной составляющей и гармониками. Поэтому мощность, сосредоточенную в полосе частот от нуля до k-ой гармоники, исключая мощ- ность постоянной составляющей, можно определить по очевидной формуле
2 1
1 2
∑
=
=
k
n
n
k
A
P
(3.29)
Доля мощности, сосредоточенной в этой полосе, по отношению к сред- ней мощности сигнала (исключая мощность постоянной составляющей) оп- ределяется отношением
,
)
(
4
d
)
(
1 2
1 4
2
/
2
/
2 0
2 1
2 2
0
ср
k
a
t
t
s
T
A
a
P
P
T
T
k
n
n
k
γ
=
−
=
−
∫
∑
−
=
(3.30) где
)
(k
γ
— долевой коэффициент (
1
)
(
≤
γ
k
), зависящий от номера
k
Изменяя k в (3.30) находят такое значение эф
k
k
=
, при котором выпол- няется равенство
9
,
0
)
(
эф
≈
γ
k
. Тогда эффективную ширину спектра опреде- лим по формуле
1
эф эф
ω
=
ω
∆
k
3.6. Спектр
периодической
последовательности
импульсов
прямоугольной формы
Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных им- пульсов, график которой изображен на рис. 3.6.
0
s(t)
E
t
t
и
/
2
−
t
и
/
2
Т
2Т
Рис. 3.6
…
…
–Т

44
Начало отсчета выбрано так, что рассматриваемый сигнал является чёт- ной функцией времени. При этом (см. п. 3.4.1.) для расчета спектра доста- точно задать аналитически сигнал на интервале времени (0, Т/2):




≤
<
<
≤
=
2 2
0
;
2 0
)
(
и и
T
t
t
if
t
t
if
E
t
s
(3.31)
В рассматриваемом случае
0
=
n
b
, а коэффициенты
n
a определим по формуле (3.23). Используя (3.31), получаем
2 2
sin
2
d
)
cos(
4
d
)
cos(
)
(
4
и
1
и
1 2
/
0 1
2
/
0 1
и
t
n
t
n
Q
E
t
t
n
E
T
t
t
n
t
s
T
a
t
T
n
ω





 ω
=
ω
=
ω
=
∫
∫
. (3.32)
Используя формулу (3.32), определим постоянную составляющую, ам- плитуды и начальные фазы гармоник спектра:
;
2 0
Q
E
a
=
(3.33)
;
2 2
sin
2
и
1
и
1
t
n
t
n
Q
E
a
A
n
n
ω





 ω
=
=
(3.34)



<
π
>
=
θ
0
;
0 0
n
n
n
a
if
a
if
(3.35)
Введём понятие огибающей спектра амплитуд — это мысленная ли- ния, соединяющая максимальные значения отсчетов дискретной функции
n
A .
Определим выражение для огибающей спектра амплитуд. Для этого в фор- муле (3.34) дискретный аргумент
1
ω
n
заменим непрерывным аргументом
ω
В результате получим

45 2
2
sin
2
)
(
и и
t
t
Q
E
A
ω





 ω
=
ω
(3.36)
Определим расположение нулей огибающей спектра амплитуд, прирав- няв (3.36) к нулю. В результате решения находим
k
t
k
и
0 2
π
=
ω
, что соответствует
,
1
и
0
k
t
f
k
=
(3.37) где
3
,
2
,
1
=
k
Построим спектрограммы амплитуд и начальных фаз (рис. 3.7). На этом рисунке по оси абсцисс отложена частота
π
ω
=
2
f
Рис. 3.7
A
n
( f )
b)
0 1
/
t
и
2
/
t
и
2f
1 3
/
t
и
f
θ
n
( f )
f
1 0
1
/
t
и
2
/
t
и
2f
1 3
/
t
и
f
π
a)
a
0
/
2
A
1
A
2
f
1
…
…
…
…
…
…
…
…
В спектре могут отсутствовать (выпадать) составляющие с частотами
1
mf (m — номер выпадающей гармоники). Это произойдет, если нули оги- бающей спектра амплитуд совпадут с этими частотами, то есть
1 0
mf
f
k
=
(3.38)

46
Из (3.38) с учетом (3.37) определим номера выпадающих гармоник
1 0
Qk
f
f
m
k
=
=
(3.39)
Из (3.39) следует, что если скважность Q —целое число, то выпадают гармоники, номера которых кратны Q. Так при Q = 3 выпадут гармоники с номерами m = 3, 6, 9,… . Если же Q не является целым числом, то номера выпадающих гармоник соответствуют целочисленным значениям произведе- ния Qk. Так при Q = 2,5 выпадут гармоники с номерами m = 5, 10, 15,… .
3.7. Меандр и его спектр
Меандр (в переводе с греческого означает “орнамент”). Меандр (рис.
3.8) представляет собой частный случай периодической последовательности прямоугольных импульсов при скважности Q = 2 и нулевой постоянной со- ставляющей (сдвиг сигнала вдоль оси ординат на величину E/2 вниз). Поэто- му при анализе спектра меандра воспользуемся результатами, полученными в предыдущем подразделе.
Рис. 3.8
s(t)
T
t
2T
−
T
…
…
E
0
Из формулы (3.32) при Q = 2 получим следующее выражение для
n
a :
2 2
sin
n
n
E
a
n
π





 π
=
(3.40)
Из (3.39) и (3.40) следует, что
n
a обращается в нуль при четных значе- ниях n , то есть из спектра меандра выпадают все четные гармоники. Рассчи- таем амплитуды и начальные фазы первой и третьей гармоник по формулам

47
(3.23) и (3.24): А
1
= 2Е/
π
≈ 0,7Е; θ
1
= 0; А
3
= 2Е/3
π
≈ 0,23Е; θ
3
=
π
. На рис. 3.9
(диаграмма а) представлены эти гармоники, которые обозначены s
1
(t) и s
3
(t) соответственно. Проведём суммирование этих составляющих. На рис. 3.9
(диаграмма b) представлена сумма этих гармоник, обозначенная как s
Σ
(t). Там же пунктиром изображен меандр s(t), спектр которого мы анализируем.
Рис. 3.9
t
s
1
(t),
s
3
(t)
t
a)
s
Σ
(t),
s(t)
T
−
T
T
−
T
0 0
s
1
(t)
s
3
(t)
s
Σ
(t)
s(t)
b)
Полученная в результате суммирования функция s
Σ
(t) отличается от ме- андра. Если число суммируемых гармоник увеличить, то результирующее колебание s
Σ
(t) по форме в большей степени приблизится к меандру. При стремлении числа составляющих спектра к бесконечности, сумма ряда Фурье сходится к меандру. Исключение составляют точки разрыва, в которых сум- ма сходится к величине
E
18
,
1
[1]. Однако длительность этих выбросов при бесконечном увеличении членов ряда стремится к нулю, и они не влияют на среднеквадратическую ошибку, которая в пределе равна нулю.
3.8. Пример решения задачи
3.8.1. Условие
Провести спектральный анализ периодического процесса, изображенно- го на рис. 3.10. Построить спектрограммы амплитуд и начальных фаз. Ис- ходные данные: высота Е = 100 В; период
3 10 10
−
⋅
=
T
с.

48
s(t)
t
0
T
E
Рис. 3.10
…
…
−T
T/2
−T/2 2T
−2T
3.8.2. Решение
Поскольку заданный процесс является четной функцией времени, то ко- эффициенты
0
=
n
b
, а коэффициенты
n
a рассчитаем по формуле (3.22).
В соответствии с этой формулой достаточно задать сигнал на интервале времени
)
2
,
0
(
T
. На этом интервале сигнал
)
(t
s
можно записать в виде
2
E
t
T
E
t
s
+
−
=
)
(
(3.41)
Подставим (3.41) в формулу (3.22), что дает d
)
cos(
2 4
2 0
1
∫
ω






+
−
=
T
n
t
t
n
E
t
T
E
T
a
Беря интеграл в последнем выражении, получаем
]
)
cos(
1
[
1 8
2 1
2 2
π
−
ω
=
n
n
T
E
a
n
Учтем, что
T
π
=
ω
2 1
. После преобразований, окончательно получаем
2
)
2
sin(
2




π
π
=
n
n
E
a
n
(3.42)
Определим амплитуды и начальные фазы гармоник спектра. В соответ- ствии с (3.23) и (3.24) можем записать

49
;
2
)
2
sin(
2




π
π
=
=
n
n
E
a
A
n
n
(3.43)
0
=
θ
n
(3.44)
Из (3.43) следует, что из спектра выпадают все четные гармоники. В со- ответствии с (3.44) начальные фазы всех нечетных гармоник равны нулю.
Постоянная составляющая в соответствии с (3.43) равна
2 2
0
E
a
=
Тогда ряд Фурье (3.16) для данного случая принимает вид
∑
∞
=
ω




π
π
+
=
1 1
2
)
cos(
2
)
2
sin(
2
)
(
n
t
n
n
n
E
E
t
s
(3.45)
Для построения спектрограмм проведем расчет постоянной составляю- щей, а также амплитуд первой, третьей и пятой гармоник:
В
50 2
0
=
a
;
В
57
,
40 4
2 1
≈
π
=
E
A
;
В
51
,
4 9
4 2
3
≈
π
=
E
A
;
В
62
,
1 25 4
2 5
≈
π
=
E
A
. Спектро- граммы амплитуд и начальных фаз построены на рис. 3.11.
A
n
,В
f , Гц
Рис. 3.11
0 100 200 300 400 500
a
0
/2 =50
θ
n
f , Гц
0 100 200 300 400 500
A
1
=40,57
A
3
=4,51
A
5
=1,62
Результат суммирования постоянной составляющей первой, третьей и пятой гармоник иллюстрируется рис. 3.12.

50
s
Σ
(t)
t
0
T
E
Рис. 3.12
…
…
−T
2T
−2T
Из рис. 3.12 следует, что в этом случае наблюдается достаточно хорошая сходимость ряда Фурье к исходному сигналу (см. рис. 3.10).

51
4.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ФУРЬЕ - АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ
СИГНАЛОВ
4.1. Постановка задачи
Понятие «спектр» можно распространить и на непериодические сигна- лы, для которых выполняется условие абсолютной интегрируемости (3.1) на бесконечном интервале времени. Рассмотрим непериодический сигнал в виде одиночного импульса s(t) длительностью t
1
произвольной формы (рис. 4.1, сплошная линия). Необходимо определить спектр этого сигнала.
Рис. 4.1
s(t),
s
1
(t)
t
1
T
2T
s(t)
s
1
(t)
t
0
…
…
Построим периодическое продолжение s
1
(t) сигнала s(t) с периодом по- вторения
1
t
T
>
(рис. 4.1, штриховая линия). Очевидно, что при стремлении периода Т к бесконечности, сигнал s
1
(t) стремится к сигналу s(t), то есть
)
(
lim
)
(
1
t
s
t
s
T
∞
→
=
Таким образом, спектр непериодического сигнала можно получить пу- тем предельного перехода от спектра периодического сигнала при устремле- нии
∞
→
T
. При таком переходе возникают два качественно новых свойства, присущих спектру непериодического сигнала. Проанализируем эти свойства.
1) Частотное расстояние между спектральными линиями в спектре пе- риодического сигнала s
1
(t) равно
T
π
=
ω
2 1
(см. рис. 3.5). При устремлении

52
∞
→
T
в пределе получаем
(
)
0 2
lim
1
=
π
=
ω
∞
→
T
T
Таким образом, спектр непериодического сигнала s(t) становится сплошным. Сплошной спектр— это спектр, состоящий из гармонических колебаний, физические частоты которых могут принимать любые значения от
0
до
∞
+
. Поэтому можно сказать, что частоты этих колебаний образуют непрерывное (сплошное) множество.
2) Амплитуды спектральных составляющих периодического сигнала, в соответствии с формулами (3.17), (3.19), (3.20), обратно пропорциональны периоду Т. Устремляя период к бесконечности (
∞
→
T
), в пределе получаем
0
lim
=
∞
→
n
A
T
Таким образом, амплитуды составляющих спектра непериодического сигнала представляют собой бесконечно малые величины.
В результате проведенного качественного анализа показано, что спектр непериодического сигнала представляет собой бесконечный набор бесконеч- но малых по амплитуде гармонических колебаний, физические частоты кото- рых могут принимать любые значения от
0
до
∞
+