Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
5.3. Методика определения спектральной плотности Методика определения спектральной плотности состоит в следующем. 5.3.1. Зная временную функцию ) (t s , находят ее изображение ) p ( S . Эту операцию, как правило, выполняют с использованием таблицы соответствия оригиналов и изображений по Лапласу (см. приложение). 5.3.2. Определяют полюса изображения ) p ( S и наносят их на плоскости комплексной переменной p. 5.3.3. Производят замену переменной p в изображении на переменную j ω . Если изображение ) p ( S не имеет полюсов на оси j ω , то полученная функ- ция является спектральной плотностью сигнала. 5.3.4. Если изображение ) p ( S имеет полюса на оси j ω , то определяют полусумму вычетов в этих полюсах и к результату, полученному в пункте 5.3.3. прибавляют спектральную плотность этой полусуммы вычетов. 5.4. Методика определения оригинала по спектральной плотности Методика определения оригинала состоит из следующих этапов. 5.4.1. В выражении для спектральной плотности ) j ( ω S переменную j ω заменяют переменной p. В результате получают изображение ) p ( S 5.4.2. Выполняют обратное преобразование Лапласа. При этом возмож- ны следующие варианты: 82 — использование таблицы соответствия оригиналов и изображений; — применение теоремы разложения с последующим использованием таблицы соответствия оригиналов и изображений; — непосредственное вычисление интеграла (5.6). В последнем случае интеграл (5.6) сводится к определению суммы вы- четов в полюсах изображения ∑ = i i t s , res ) ( где res i — вычет в i-ом полюсе. Если изображение представлено в виде правильной дроби , ) p ( ) p ( ) p ( N M S = (5.7) а полюс i p является простым, то вычет вычисляют по формуле [4]: e ) p ( ) p ( res p p p i t i N M = ′ = (5.8) Если полюс i p имеет кратность k , то вычет в этом полюсе вычисляют по формуле [4]: ) p p ( e ) p ( ) p ( dp d )! 1 ( 1 res p p p 1 1 i k i t k k i N M k = − − = − − (5.9) 5.5. Функция Хэвисайда и ее спектр Функция Хэвисайда представляет собой единичный скачок напряжения или тока (рис. 5.1). Модель такого процесса широко используют в радиоэлек- тронике при задании кусочно-непрерывных функций, а также в качестве тес- тового сигнала при анализе характеристик цепей. Аналитическая запись функции Хэвисайда имеет вид: < > = 0 0 ; 0 1 ) ( 1 t if t if t (5.10) 83 Рис. 5.1 1(t) t 1 0 Запишем выражение для изображения функции Хэвисайда [4]: p 1 ) p ( 1 = (5.11) Изображение (5.11) имеет один простой полюс в точке 0 p 1 = . Посколь- ку этот полюс расположен на оси j ω , то определим вычет, используя (5.8): 1 1 e res 0 p p p 1 1 = = = = t Полусумма вычетов в данном случае является постоянной величиной, равной 1/2. Заменяя в (5.11) переменную pна переменную j ω и учитывая (4.61), получаем ) ( j 1 ) ( 2 1 2 j 1 ) j ( 1 ω πδ + ω = ω δ π + ω = ω (5.12) Определим модуль и аргумент спектральной плотности: ; ) ( 1 ) j ( 1 ω πδ + ω = ω (5.13) < ω π + > ω π − = ω θ 0 2 ; 0 2 ) ( if if (5.14) Спектрограммы модуля и аргумента функции Хэвисайда, построенные в соответствии с (5.13) и (5.14), изображены на рис. 5.2. 84 ∞ 0 ω |1(j ω )| Рис. 5.2 ω 0 πδ ( ω ) −π /2 π /2 θ ( ω ) Таким образом, спектр функции Хэвисайда содержит как сплошную, так и дискретную части. Вклад составляющих сплошного спектра плавно убыва- ет с ростом частоты. На нулевой частоте имеется δ -функция ) ( ω πδ . Это яв- ляется свидетельством того, что в спектре функции Хэвисайда содержится постоянная составляющая конечной величины, которая равна 0,5. 5.6. Спектральная плотность усечённого гармонического колебания Усечённое гармоническое колебание, получаемое включением в момент времени t = 0 синусоидального сигнала изображено на рис. 5.3. Аналитиче- ская запись такого сигнала имеет вид ) ( 1 ) sin( ) ( 0 t t E t s ⋅ ω = (5.15) Рис. 5.3 T=2 π / ω 0 t E 0 s(t) Запишем выражение для изображения временной функции (5.15) [4]: 85 p ) p ( 2 0 2 0 ω + ω = E S (5.16) Изображение (5.16) имеет два простых полюса в точках 0 1 j p ω = и 0 2 j p ω − = . Поскольку эти полюсы расположены на оси j ω , то определим вы- четы, используя формулу (5.8): ; j 2 e p 2 e res 0 0 j p j p 0 1 t t E E ω = ω = ω = j 2 e p 2 e res 0 0 j p j p 0 2 t t E E ω − − = ω = ω − = Определим полусумму вычетов 2 cos 2 ) sin( 2 ) e e ( j 2 2 1 res 2 1 0 0 2 1 0 0 j j π − ω = ω = − = ω − ω ∑ = t E t E E t t i i Заменяя в (5.16) переменную pна j ω и учитывая (4.64), получаем e ) ( 2 e ) ( 2 ) j ( 2 j 0 2 j 0 2 2 0 0 π π − ω + ω δ π + ω − ω δ π + ω − ω ω = ω E E E S (5.17) Определим модуль и аргумент спектральной плотности: ; ) ( 2 ) ( 2 ) j ( 0 0 2 2 0 0 ω + ω δ π + ω − ω δ π + ω − ω ω = ω E E E S (5.18) ω − = ω π + ω = ω π − ω − < ω π − ω > ω π + ω < ω = ω θ 2 ; 2 ; ; ; 0 ) ( 0 0 0 0 0 if if if if if (5.19) Спектрограммы, построенные в соответствии с (5.18) и (5.19), изобра- жены на рис. 5.4. 86 Рис. 5.4 |S(j ω )| ∞ −ω 0 0,5 π E δ ( ω−ω 0 ) 0 ω 0 0,5 π E δ ( ω + ω 0 ) ∞ E/ ω 0 ω θ ( ω ) ω 0 −ω 0 π /2 −π /2 π −π 0 ω Таким образом, спектр усеченного гармонического колебания содержит как сплошную, так и дискретную части. Сплошная часть существенно отлич- на от нуля в окрестности частот 0 ω ± и имеет разрыв второго рода на этих частотах. На этих же частотах располагаются две δ -функции, что говорит о наличии в спектре гармонического колебания конечной амплитуды 2 E 5.7. Пример решения задачи 5.7.1. Условие Рассчитать спектральную плотность сигнала, изображенного на рис. 5.5,a. Построить спектрограммы модуля и аргумента. Исходные данные: Е = 400 В; 4 1 10 1 − ⋅ = t с. 5.7.2. Решение Заданный сигнал не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемо- сти, поэтому для расчета спектральной плотности применим прямое преобра- зование Лапласа. Представим сигнал ) (t s как сумму двух более простых сигналов, изо- бражения которых известны: ) ( ) ( ) ( 2 1 t s t s t s + = Сигнал ) ( 1 t s представляет собой линейно-нарастающую функцию, которая “включается” в момент вре- мени 0 = t , а сигнал ) ( 2 t s — линейно-убывающую функцию, которая “вклю- 87 чается” в момент времени 1 t t = . Это представление иллюстрируется рис. 5.5,b. С учетом этого можно записать ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 1 1 t t t t t E t t t E t s − ⋅ − − ⋅ = Тогда изображение сигнала ) (t s можно записать как сумму изображений сигналов ) ( 1 t s и ) ( 2 t s . С учетом теоремы сдвига получим p ) e 1 ( e p 1 p 1 ) p ( 2 p 1 p 2 1 2 1 1 1 t t t E t E t E S − − − = − = (5.20) Изображение (5.20) имеет один полюс кратности 2 = k в точке 0 p 1 = . Определим вычет в данном полюсе по фор- муле (5.9): [ ] e ) e 1 ( dp d res 0 p p p 1 1 1 E t E t t = − = = − Теперь заменим в (5.20) переменную p на ω j и к полученной функции прибавим спектральную плотность полусуммы вычетов, которая равна по- стоянному напряжению 2 E . С учетом (4.61) окончательно получаем ) ( ) e 1 ( ) j ( 1 ) j ( 1 j 2 1 ω δ π + − ω = ω ω − E t E S t (5.21) Определим модуль спектральной плотности. Применяя в (5.21) формулу Эйлера и проведя ряд несложных преобразований, получаем ) ( 2 2 sin ) j ( 1 1 ω δ π + ω ω ω = ω E t t E S (5.22) s(t) t 0 E Рис. 5.5 t 1 s(t) t 0 E t 1 a) b) s 1 (t) s 2 (t) 88 Спектрограммы модуля и аргумента, рассчитанные для исходных дан- ных, исходя из (5.22), в виде функций частоты f , изображены на рис. 5.6. |S(j f )|, В/Гц f, кГц 10 30 20 0 − 10 − 20 − 30 π E δ ( ω ) Рис. 5.6 f, кГц 10 30 20 0 − 10 − 20 − 30 θ ( f ) 0,005 π /2 π −π /2 −π 0,01 Из спектрограммы следует, что основной вклад в сигнал вносят состав- ляющие, примыкающие к нулевой частоте. С ростом частоты модуль спек- тральной плотности резко убывает, стремясь к нулю. При значении 0 1 = t вы- ражение (5.22) с точностью до константы E становится равным спектраль- ной плотности функции Хевисайда (см. формулу (5.12)), что и понятно, по- скольку при этом исходный сигнал превращается в скачок постоянного на- пряжения. 89 6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Термин “корреляция” означает взаимосвязь между процессами. Это по- нятие широко используется в теории сигналов. Корреляция сигналов опреде- ляется их временными характеристиками, а именно: скоростью изменения, длительностью и формой. Автокорреляция — это корреляция между сигна- лом и его копией, сдвинутой во времени. 6.1. Автокорреляционная функция сигналов с конечной энергией Для сигналов s(t), обладающих конечной энергией, мерой автокорреля- ции служит площадь перекрытия сигнала и его копии, сдвинутой во времени. В этом случае автокорреляционная функция (АКФ) вводится как , d ) ( ) ( ) ( ∫ ∞ ∞ − τ + = τ t t s t s B (6.1) где ) ( τ + t s — копия сигнала s(t), сдвинутая на время τ , причем ∞ < τ < ∞ − АКФ представляет собой функцию временного сдвига τ , поскольку в ре- зультате интегрирования по времени переменная t в (6.1) исчезает. Рассмотрим основные свойства АКФ сигналов с конечной энергией. 1) Величина АКФ при нулевом значении временного сдвига τ Положим в (6.1) 0 = τ . В результате получим ∫ ∞ ∞ − = τ = = τ Э d ) ( ) ( 2 0 t t s B (6.2) Таким образом, при нулевом сдвиге автокорреляционная функция мак- симальна, положительна и равна полной энергии сигнала. 90 2) Длительность АКФ Если сигнал обладает конечной длительностью c T , то и АКФ этого сиг- нала также обладает конечной длительностью. Поскольку сдвиг копии сиг- нала возможен как влево вдоль оси времени, так и вправо, то АКФ отлична от нуля на интервале времени от c T − до c T , а за пределами этого интервала она равна нулю. Отсюда следует, что длительность АКФ равна удвоенной длительности сигнала. 3) Свойство четности Поскольку сдвиг копии сигнала влево и вправо вдоль временной оси на одну и ту же величину τ приводит к одинаковому значению площади пере- крытия, то АКФ является четной функцией временного сдвига τ , то есть ) ( ) ( τ − = τ B B (6.3) Иначе говоря, АКФ обладает симметрией относительно оси ординат. 6.2. Автокорреляционная функция прямоугольного импульса В качестве примера проанализируем АКФ одиночного импульса прямо- угольной формы, произвольно расположенного на оси времени (рис. 6.1,а). Определим АКФ этого импульса. На рис. 6.1,b изображена сдвинутая в сто- рону опережения ( 0 > τ ) копия этого импульса. Рис. 6.1 s(t) t 1 t и t 2 t E 0 t E s(t+ τ ) τ t 1 − τ t 2 − τ 0 а) b) Рассмотрим поведение АКФ при различных значениях τ 91 1) На интервале и 0 t ≤ τ ≤ В соответствии с (6.1) при 0 > τ получаем , ) ( ) ( d d ) ( ) ( ) ( и 2 1 2 2 2 2 1 τ − = τ − − = = τ + = τ ∫ ∫ ∞ ∞ − τ − t E t t E t E t t s t s B t t (6.4) где 1 2 и t t t − = — длительность импульса. Из (6.4) следует, что Э ) 0 ( и 2 = = t E B — полная энергия импульса. С уве- личением τ АКФуменьшается по линейному закону. В виду четности АКФ запишем выражение, справедливое на интервале и 0 t ≤ τ ≤ , взяв в (6.4) аргумент τ по модулю ) ( ) ( и 2 τ − = τ t E B (6.5) 2) На интервале и t > τ На этом интервале времени АКФ равна нулю, так как сигнал не пере- крывается со своей копией, смещенной во времени (корреляция отсутствует). С учетом проведенного анализа изобразим АКФ импульса прямоуголь- ной формы (рис. 6.2,а). Эта функция представляет собой равнобедренный треугольник длительностью и 2t . На практике часто используют понятие нормированной автокорреляци- оннойфункции, которая вводится следующим образом: ) 0 ( ) ( ) ( B B R τ = τ (6.6) Нормированная АКФ безразмерна и обладает той же формой, что и не- нормированная АКФ. При 0 = τ нормированная АКФ максимальна и равна единице. Нормированная АКФ одиночного импульса прямоугольной формы изображена на рис. 6.2,b. 92 Рис. 6.2 B( τ ) τ 0 t и −t и E 2 t и =Э а) R( τ ) τ 0 t и −t и b) 1 τ кор С использованием нормированной АКФ вводят понятие интервал корре- ляциисигнала. Под интервалом корреляции сигнала понимают длительность нормированной АКФ прямоугольной формы (изображена штриховой линией на рис. 6.2,b) площадь которой равна площади нормированной АКФ сигнала, взятой по абсолютной величине. Очевидно, что интервал корреляции при та- ком определении равен d ) ( кор ∫ ∞ ∞ − τ τ = τ R (6.7) В частности, для одиночного импульса прямоугольной формы, исполь- зуя (6.7), получаем и кор t = τ |