Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
7.6.2. Синтез в спектральной области Этот метод синтеза основан на особенностях спектра дискретного сиг- нала, исследованных в подразделе 7.5. Там указывалось на возможность вос- становления сигнала путем “выделения” из спектра дискретного сигнала по- лосы частот от нуля до m ω . Операцию “выделения” осуществляют с помо- щью фильтра нижних частот (ФНЧ). Этот метод аппаратурного синтеза сиг- налов называют фильтровым методом. Для того, чтобы полностью сохрани- лась структура спектра, необходимо применить идеальный ФНЧ. Комплекс- ный коэффициент передачи идеального ФНЧ в соответствии с [1] равен: 114 ( ) ( ) ω > ω ω < ω ω − = ω , 0 ; j exp j 1 1 и m m if if t K K (7.25) где K 1 и t 1 — постоянные величины. Из (7.25) следует, что такой фильтр обладает равномерной АЧХ и ли- нейной ФЧХ в полосе частот m ω < ω . На рис. 7.5,b изображена АЧХ идеаль- ного ФНЧ, обозначенная как ) ( и ω K . Импульсная характеристика этого фильтра имеет вид [1]: ) ( 2 )] ( 2 [ sin 2 ) ( 1 1 1 t t f t t f f K t g m m m − π − π = Известно (см. п. 10.6.3), что такая импульсная характеристика физиче- ски нереализуема, поскольку она отлична от нуля при t < 0. Реальный ФНЧ имеет плавную АЧХ, которая изображена на рис. 7.5,b в виде функции ) ( p ω K . Это приводит к тому, что на форму выходного сигнала ФНЧ оказывают некоторое влияние составляющие спектра с частотами m ω > ω из-за неполного их подавления. Поэтому применение фильтрового метода синтеза сопряжено с дополнительной погрешностью восстановления сигнала. Точность восстановления аналогового сигнала реальным фильтром для случая c выше, чем для случая b. Это связано с тем, что из-за разноса ко- пий вдоль оси частот в случае c осуществляется большее подавление состав- ляющих спектра с частотами m ω > ω . Поэтому на практике следует выбирать интервал дискретизации в 3…4 раза меньший, нежели m f 2 1 , что существен- но повышает точность восстановления сигнала. 7.7. База сигнала с ограниченным спектром Для сигналов с конечными длительностью c T и эффективной шириной спектра эф f ∆ вводится понятие базы. Это понятие играет важную роль в тео- рии передачи информации. База сигнала чаще всего определяется как удво- 115 енное произведение длительности сигнала на ширину его спектра [9]: 2 эф c f T N ∆ = (7.26) Следует заметить, что простое изменение длительности сигнала не при- водит к изменению базы сигнала. Это связано с тем, что ширина спектра им- пульсного сигнала обратно пропорциональна длительности. Например, уменьшение длительности импульса приведет к расширению его спектра во столько же раз и база при этом в соответствии с формулой (7.26) останется неизменной. Изменение базы сигнала возможно путем изменения ширины спектра при сохранении длительности, например путем дополнительной модуляции. Другой путь увеличения базы — это наращивание длительности при сохра- нении ширины спектра, например, путем формирования пачек импульсов. Для сигналов, спектр которых сосредоточен в полосе частот от нуля до m f , то есть m f f = ∆ эф , значение базы совпадет с выражением (7.23). Для таких сигналов база представляет собой минимальное число выборок, которое не- обходимо для дискретизации в соответствии с теоремой отсчетов. 7.8. Пример решения задачи 7.8.1. Условие Дискретизации подвергнут импульс прямоугольной формы (см. рис. 7.6,а). Рассчитать максимально возможное значение интервала дискретиза- ции, полагая, что максимальная частота в спектре ограничена величиной и 1 t f m = . Построить дискретный сигнал. Осуществить синтез аналогового сигнала. Исходные данные: высота Е = 10 В; 3 и 10 − = t с. 7.8.2. Решение Из теоремы отсчетов следует, что максимально возможное значение ин- тервала дискретизации равно m f T 2 1 д = . Подставляя в эту формулу заданное 116 значение и 1 t f m = , получаем c 10 5 , 0 2 2 1 3 и д − ⋅ = = = t f T m В соответствии с этим построены отсчеты дискретного сигнала на рис. 7.6,b. Этот сигнал содержит три отсчета: 3 1 = N . Используя (7.24), запишем выраже- ние для синтезированного аналогового сиг- нала: ) ( )] ( sin[ ) ( ) ( 2 0 д д д 1 ∑ = − ω − ω = n m m nT t nT t nT s t s Результаты синтеза иллюстрируются рис. 7.6,c. Из этого рисунка следует, что синтезированный сигнал по форме отлича- ется от исходного импульса прямоугольной формы. Это связано с тем, что мы искусст- венно ограничили спектр. Если увеличивать m f , то это приведет к уменьшению интервала дискретизации и увеличению числа отсчетов 1 N . При этом форма синтезированного сигнала ) ( 1 t s будет в большей степени приближаться к форме исходного импульса ) (t s s(t), В s(kT д ), В t, мс Рис. 7.6 0 0 10 t и =1 a) b) 10 0,5 1 kT д , мс t, мс s 1 (t), В 0 1 0,5 1,5 − 0,5 10 с) 1,5 117 8. РАДИОСИГНАЛЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 8.1. Общие положения Для передачи и приема сообщений с помощью электромагнитных волн используют радиосигналы. Повторим некоторые важные определения. Радиосигнал — это высокочастотное (быстро осциллирующее) колеба- ние, способное нести передаваемое сообщение, которое вводят в радиосигнал путем модуляции. Модуляция — процесс изменения одного или нескольких параметров радиосигнала по закону передаваемого сообщения. Модуляции подвергается несущее колебание, которое в технической ли- тературе часто называют просто «несущей». В качестве несущего колебания обычно используют отрезок гармонического колебания вида [ ] , ) cos( ) ( cos ) ( 0 0 0 0 0 0 θ + ω = Ψ = t A t A t a (8.1) где 0 A — амплитуда; 0 0 2 f π = ω — круговая частота; f 0 — циклическая часто- та; t — текущее время; 0 θ — начальная фаза; ) ( 0 t Ψ — полная фаза. Амплитуда, круговая частота и начальная фаза несущего колебания яв- ляются постоянными величинами: const A = θ ω 0 0 0 , , , а полная фаза несущего колебания ) ( 0 t Ψ изменяется во времени по линейному закону ) ( 0 0 0 θ + ω = Ψ t t (8.2) При модуляции по закону передаваемого сообщения может изменяться один из следующих параметров высокочастотного колебания: — амплитуда, что соответствует амплитудной модуляции (АМ)); 118 — частота, что соответствует частотной модуляции (ЧМ); — начальная фаза, что соответствует фазовой модуляции (ФМ). Частотную и фазовую модуляции называют угловой модуляцией (УМ), поскольку при ЧМ и ФМ изменяется полная фаза (фазовый угол). Аналитическое выражение для радиосигнала с произвольным видом мо- дуляции можно записать в виде [ ] , ) ( cos ) ( ) ( t t A t a Ψ = (8.3) где ) (t A — амплитуда, которая при АМ является функцией времени; ) (t Ψ — полная фаза, которая при УМ изменяется во времени по закону, отличающе- муся от линейного. 8.2. Понятие узкополосности радиосигналов Полагая, что несущая является гармоническим колебанием, приходим к заключению, что ее спектр содержит только одну составляющую с частотой 0 ω . Ширина такого спектра равна нулю. Теперь рассмотрим спектр промодулированного колебания. В результа- те модуляции форма радиосигнала изменяется, что приводит к изменению спектрального состава, то есть наряду с несущей в спектре появятся допол- нительные составляющие. Ширина спектра ω ∆ при этом определяется ско- ростью изменения модулируемого параметра, то есть шириной спектра мо- дулирующего сигнала. Поскольку модулирующий сигнал является низкочас- тотным (по отношению к несущей), то модуляция представляет собой мед- ленный процесс. Это означает, что за один период несущего колебания, модулируемый параметр изменяется очень незначительно. Поэтому ши- рина спектра ω ∆ радиосигнала при любом виде модуляции невелика относи- тельно несущей частоты и практически всегда выполняется условие 1 0 << ω ω ∆ (8.4) 119 Условие (8.4) называют условием узкополосностирадиосигнала. Вы- полнение этого условия позволяет разместить в некотором диапазоне частот спектры множества радиосигналов, без их перекрытия. Таким образом, появ- ляется возможность обеспечить в радиоприемнике выделение нужного ра- диосигнала из смеси сигналов, наводимых на антенне, то есть обеспечить частотно-избирательный прием радиосигналов. При этом обработка модули- рованных радиосигналов может осуществляться с помощью узкополосных частотно-избирательных цепей. 8.3. Радиосигналы с амплитудной модуляцией 8.3.1. Представление сигналов с амплитудной модуляцией Амплитудная модуляция — такой вид модуляции, при котором сооб- щение вводят в закон изменения амплитуды радиосигнала, а его частота и на- чальная фаза остаются неизменными. При этом приращение амплитуды ра- диосигнала изменяется пропорционально величине модулирующего сигнала. То есть ) ( ) ( 0 t A А t A ∆ + = , где ) (t A ∆ — приращение амплитуды, вызванное модулирующим сигналом. С учетом этого из формулы (8.3), получаем сле- дующее выражение для радиосигнала с АМ [ ] , ) cos( ) ( ) ( 0 0 0 θ + ω ∆ + = t t A А t a (8.5) Если модулирующий сигнал обозначить как s(t), то приращение ампли- туды в соответствии с определением можно записать в виде , ) ( ) ( ам t s k t A = ∆ (8.6) где ам k — коэффициент пропорциональности, величина которого определяет глубину АМ. Подставляя (8.6) в (8.5), получаем [ ] ) cos( ) ( ) ( 0 0 ам 0 θ + ω + = t t s k A t a (8.7) Принцип амплитудной модуляции поясняется рис. 8.1. В качестве моду- 120 лирующего сигнала s(t) выбран произвольный сигнал (рис. 8.1,а). Под воз- действием этого сигнала происходит синхронное изменение амплитуды ра- диосигнала (рис. 8.1,b). Рис. 8.1 s(t) t a(t) t A 0 a) b) 0 A 0 Огибающая радиосигнала — это воображаемая линия, которая соеди- няет либо положительные, либо отрицательные экстремальные значения ра- диосигнала. Эту линию часто называют физической огибающей (верхней ли- бо нижней). Огибающие радиосигнала изображают в виде пунктирных ли- ний, которые касаются положительных или отрицательных экстремумов ра- диосигнала. Для узкополосных сигналов функция ) (t A в выражении (8.3), является положительной огибающей, а функция ) (t A − — отрицательной огибающей. Из рис. 8.1 видно, что при амплитудной модуляции форма оги- бающей радиосигнала совпадает с формой модулирующего сигнала. 8.3.2. Тональная амплитудная модуляция Тональная модуляция — это такая модуляция, при которой модули- рующий сигнал представляет собой гармоническое колебание, то есть , ) cos( ) ( 0 ν + Ω = t S t s (8.8) где ν Ω , , 0 S — амплитуда, круговая частота и начальная фаза модулирующе- го колебания соответственно. 121 Подставляя (8.8) в (8.7) и преобразуя, получаем следующее выражение для радиосигнала с тональной амплитудной модуляцией (ТАМ) [ ] , ) cos( ) cos( 1 ) ( 0 0 0 θ + ω ν + Ω + = t t M A t a (8.9) где 0 0 ам A S k M = — коэффициент амплитудной модуляции при ТАМ. Формула (8.9) представляет собой каноническую (общепринятую) форму записи радиосигнала с ТАМ. На рис. 8.2 изображены графики моду- лирующего сигнала (а) и соответствующего ему радиосигнала с ТАМ (b), по- строенные в соответствии с формулами (8.8) и (8.9) соответственно. Рис. 8.2 s(t) t a(t) S 0 t A 0 A max A min T Ω T 0 0 a) b) Коэффициент амплитудной модуляции М определяет степень (глубину) модуляции и линейно зависит от амплитуды модулирующего сигнала. Значе- ния этого коэффициента должны лежать в диапазоне 1 0 ≤ ≤ М (8.10) Значение 0 = M соответствует отсутствию модуляции, а 1 = M — мак- симально глубокой модуляции. Увеличение значения M более единицы при- водит к нарушению формы огибающей (так называемой перемодуляции). Амплитуда радиосигнала при тональной АМ выражается формулой [ ] ) cos( 1 ) ( 0 ν + Ω + = t M A t A (8.11) Определим максимальные и минимальные значения амплитуды. При 122 этом в формуле (8.11) значение ) cos( ν + Ω t следует положить равным +1 и − 1 соответственно: − = + = ) 1 ( ; ) 1 ( 0 0 M A A M A A min max (8.12) Решая систему уравнений (8.12) относительно M , получаем min max min max A A A A M + − = (8.13) Формулу (8.13) удобно использовать для экспериментального определе- ния коэффициента амплитудной модуляции по осциллограмме сигнала. 8.3.3. Спектр и векторная диаграмма радиосигнала с тональной амплитудной модуляцией Спектральный состав радиосигнала с ТАМ определим, воспользовав- шись методом алгебраических преобразований. Для этого раскроем скобки в (8.9) и применим алгебраическое соотношение для произведения косинусов: [ ] + ν + θ + Ω + ω + θ + ω = 0 0 0 0 0 0 ) ( cos 2 ) cos( ) ( t M A t A t a [ ] ) ( cos 2 0 0 0 ν − θ + Ω − ω + t M A (8.14) Из формулы (8.14)следует,что спектр радиосигнала с ТАМ состоит из трех высокочастотных составляющих: —колебание с частотой 0 ω , амплитудой 0 A и начальной фазой 0 θ (не- сущее колебание); — колебание с частотой ) ( 0 Ω + ω , амплитудой 2 0 M A и начальной фа- зой ) ( 0 ν + θ (верхняя боковая составляющая спектра); — колебание с частотой ) ( 0 Ω − ω амплитудой 2 0 M A и начальной фа- зой ) ( 0 ν − θ (нижняя боковая составляющая спектра). 123 Таким образом, в результате ТАМ в спектре появляются два новых ко- лебания с частотами ) ( 0 Ω ± ω . Амплитуды этих колебаний одинаковы и рав- ны 2 0 M A . Спектрограмма амплитуд радиосигнала изображена на рис. 8.3. Рис. 8.3 a(t) A( ω ) ω A 0 A 0 M / 2 A 0 M / 2 ω 0 ω 0 − Ω ω 0 + Ω 0 Ω O A(t) θ 0 A 0 ω 0 Ω ν ν B C 1 C 2 F Рис. 8.4 Определим ширину спектра ω ∆ . Из спектрограммы следует, что Ω = Ω − ω − Ω + ω = ω ∆ 2 ) ( ) ( 0 0 Таким образом, ширина спектра радиосигнала с ТАМ равна удвоенной частоте модулирующего сигнала. Построим векторную диаграмму радиосигнала с ТАМ (рис. 8.4). На этой диаграмме зафиксировано положение векторов в момент времени 0 = t . При построении принято 0 , 0 > θ ν . Поскольку спектр радиосигнала с ТАМ со- держит три составляющих, то векторная диаграмма этого колебания пред- ставляет собой сумму трех векторов: — вектора несущей ОВ, длиной 0 A , вращающегося против часовой стрелки с угловой частотой 0 ω ; — вектора верхней боковой составляющей ВС 1 , длиной 2 0 M A , вра- щающегося против часовой стрелки с угловой частотой ( Ω + ω 0 ); — вектора нижней боковой составляющей ВС 2 , длиной 2 0 M A , вра- щающегося против часовой стрелке с угловой частотой ( Ω − ω 0 ). Вектор OF является суммой указанных трех векторов. Если из угловых частот вращения всех векторов исключить частоту 0 ω (это достигается вра- щением оси абсцисс по часовой стрелке с частотой 0 ω ), то вектор ОВ стано- 124 вится неподвижным, а векторы боковых составляющих ВС 1 и ВС 2 будут вра- щаться с частотой Ω в противоположных направлениях (верхняя боковая — против часовой стрелки, а нижняя — по часовой). При этом длина вектора ОF (амплитуда суммарного вектора A(t)) изменяется во времени. Это свиде- тельствует о наличии в сигнале амплитудной модуляции. Угловая модуляция при этом отсутствует, поскольку угловое положение вектора OF относитель- но горизонтальной оси в процессе модуляции изменяется по линейному за- кону. Проекция вектора OF на горизонтальную ось представляет собой мгно- венное значение радиосигнала ) (t a |