Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике

• Название: В радиоэлектронике
• Анкор: Сигналы и процессы в электронике
• Дата: 15.09.2022
• Размер: 2.48 Mb.
• Имя файла: р_190002.pdf
• Тип: Учебное пособие; #679531
• страница: 20 из 25

а.
Рис. 11.4
K(
ω
)
ω
ω
с =
ω
2
ω
0 0
ϕ
(
ω
)
а)
ω
с
K
1
K
1
b)
ω
ω
ω
1
ω
2
∆ω
п
K(
ω
)
0 0
ϕ
(
ω
)
ω
1
ω
2

194
Поскольку для видеосигнала
0 1
=
ω
, то АЧХ неискажающей цепи должна быть равномерной, а ФЧХ — линейной в полосе частот от нуля до
2
с
ω
=
ω
(
c
ω
— частота среза). Таким образом, неискажающая линейная цепь для ви- деосигнала представляет собой идеальный ФНЧ.
В случае радиосигнала АЧХ неискажающей цепи должна быть равно- мерной, а ФЧХ — линейной в полосе частот
1 2
п
ω
−
ω
=
ω
∆
, где
∆ω
п
— поло- са пропускания цепи, которая совпадает с шириной спектра радиосигнала
(рис. 11.4,b). Таким образом, неискажающая линейная цепь для радиосигнала представляет собой идеальный узкополосный полосно-пропускающий фильтр.
11.6.3. Импульсная характеристика неискажающей линейной цепи
Импульсную характеристику неискажающей линейной цепи для случая
ФНЧ определим, применив обратное преобразование Фурье к комплексному коэффициенту передачи (11.19) этой цепи d
e e
2 1
)
(
с с
j j
1 1
∫
ω
ω
−
ω
ω
−
ω
π
=
t
t
K
t
h
(11.22)
Взяв интеграл в (11.22), получим
[
]
)
(
2
)
(
2
sin
2
)
(
1
с
1
с
1
t
t
f
t
t
f
f
K
t
h
m
−
π
−
π
=
(11.23)
График импульсной характеристики неис- кажающей цепи, построенный в соответствии с
(11.23), изображен на рис. 11.5. Из этого графика следует, что при
0
<
t
функция
)
(t
h
отличается от нуля, что противоречит ранее сформулиро- ванному требованию к импульсной характери- стике физически реализуемой цепи (см. п. 9.2.4). Поэтому идеальная неиска- жающая цепь физически нереализуема.
h(t)
t
0 t
1
Рис. 11.5

195
Реальные линейные цепи обладают неравномерными АЧХ и нелиней- ными ФЧХ и поэтому вносят искажения в сигнал. Стремление уменьшить искажения приводит к необходимости увеличивать степень П - образности
АЧХ и линейности ФЧХ цепи. С этой целью для обработки видеосигналов применяют сложные схемы ФНЧ, а для обработки радиосигналов использу- ют связанные колебательные контура.
11.7. Преобразование статистических характеристик случайного
процесса линейной цепью
Рассмотрим прохождение случайного процесса
)
(t
x
через линейную цепь c известными параметрами (рис. 11.6). При этом известны следующие характеристики входного процесса: энергетический спектр
)
(
ω
x
W
(а значит и корреляционная функция
)
(
τ
x
B
); одномерная плотность вероятности
)
(x
p
Рис. 11.6
Линейная цепь
x(t)
y(t)
В результате на выходе цепи формируется случайный процесс
)
(t
y
. Не- обходимо определить следующие статистические характеристики выходного процесса: энергетический спектр
)
(
ω
у
W
; корреляционную функцию
)
(
τ
y
B
; одномерную плотность вероятности
)
( y
p
11.7.1. Энергетический спектр и корреляционная функция процесса
на выходе
Рассмотрим два метода расчета этих характеристик.
1) Спектральный метод расчета
В соответствии с этим методом сначала рассчитывают энергетический спектр выходного процесса, а затем его корреляционную функцию.
Расчет осуществляется на основе АЧХ линейной цепи. Поскольку мощ-

196 ность пропорциональна квадрату напряжения или тока, то энергетический спектр процесса на выходе линейной цепи связан с энергетическим спектром процесса на ее входе через квадрат коэффициента передачи. Поэтому
)
(
)
(
)
(
2
ω
ω
=
ω
K
W
W
x
y
,
(11.24) где
)
(
ω
K
— АЧХ линейной цепи.
Далее, с помощью теоремы Винера - Хинчина, полагая
0
=
y
m
, опреде- лим корреляционную функцию выходного процесса d
e
)
(
)
(
2 1
)
(
j
2
∫
∞
∞
−
ωτ
ω
ω
ω
π
==
τ
K
W
B
x
y
(11.25)
Таким образом, на энергетический спектр и корреляционную функцию выходного случайного процесса влияет только АЧХ цепи.
2) Временной метод расчета
В соответствии с этим методом сначала рассчитывают корреляционную функцию, а затем энергетический спектр.
Расчет осуществляется на основе импульсной характеристики линейной цепи. Ранее отмечалось, что спектральной плотностью импульсной характе- ристики является комплексный коэффициент передачи. Поэтому корреляци- онная функция импульсной характеристики представляет собой обратное преобразование Фурье от квадрата модуля комплексного коэффициента пе- редачи. Используя правило, согласно которому произведению спектров сиг- налов (см. формулу (11.24)) соответствует свертка их временных функций, запишем
∫
∞
∞
−
−
τ
τ
=
τ
,
d
)
(
)
(
)
(
t
t
B
B
B
h
x
y
(11.26) где
)
(
τ
h
B
— корреляционная функция импульсной характеристики цепи.
Зная корреляционную функцию на выходе, с помощью теоремы Винера

197
- Хинчина определим энергетический спектр выходного процесса d
e
)
(
)
(
j
∫
∞
∞
−
ωτ
−
τ
τ
==
ω
y
y
B
W
(11.27)
11.7.2. Плотность вероятности выходного процесса
В общем случае, при котором на вход линейной цепи поступает случай- ный процесс с произвольной одномерной плотностью вероятности
)
(х
p
, оп- ределить плотность вероятности процесса на выходе
)
( y
p
не представляется возможным [10].
Задача имеет точное решение лишь для случая, нормального закона рас- пределения входного процесса. В этом случае выходной процесс также как и входной обладает нормальным законом распределения, плотность вероятно- сти которого (при
0
=
y
m
) равна
(
)
2
exp
2 1
)
(
2 2
y
y
y
y
p
σ
−
σ
π
=
(11.28)
При этом для определения
)
( y
p
по формуле (11.28) необходимо знать дисперсию процесса на выходе, которую определим из соотношения (11.25): d
)
(
)
(
1
)
0
(
0 2
2
∫
∞
ω
ω
ω
π
=
=
σ
K
W
B
x
y
y
(11.29)
В ряде случаев цепь осуществляет нормализацию процесса. Используя центральную предельную теорему теории вероятностей, можно показать [1], что если полоса пропускания линейной цепи намного меньше, чем ширина спектра входного процесса, то закон распределения выходного процесса бли- зок к нормальному, независимо от закона распределения процесса на входе.
Этот эффект и называют нормализацией.

198
11.8. Пример решения задачи
11.8.1. Условие
На вход цепи (рис. 11.7) подан белый шум с энергетическим спектром
0
W . Рассчитайте и постройте графики энергетического спектра и корреляци- онной функции процесса на выходе. Определите дисперсию, среднеквадра- тическое отклонение и интервал корреляции выходного шума. Исходные данные:
Ом
100
=
R
;
Ф
10 1
,
0 6
−
⋅
=
С
; с
В
10 2
7 0
−
=
W
Рис. 11.6
C
C
R
R
11.8.2. Решение
Энергетический спектр шума на выходе линейной цепи определяется в соответствии с формулой (11.24). Подставляя в эту формулу выражение для коэффициента передачи данной цепи (13.27), приходим к следующему выра- жению для энергетического спектра выходного шума
(
)
)]
1
)
[(
)
(
9
)
(
2 2
2 2
0
−
ω
+
ω
ω
=
ω
RC
RC
RC
W
W
y
(11.30)
График энергетического спектра шума на выходе цепи, рассчитанный по формуле (11.30) в соответствии с исходными данными, изображен на рис.
11.7.
Экстремум энергетического спектра соответствует частоте, на которой коэффициент передачи цепи максимален. Эту частоту определим по формуле
(13.29):

199 5
6 0
10 10 1
,
0 100 1
1
=
⋅
⋅
=
=
ω
−
RC
р/c .
Рассчитаем корреляционную функцию выходного процесса, воспользо- вавшись соотношением Винера - Хинчина (9.29):
(
)
∫
∞
ω
ωτ
−
ω
+
ω
ω
π
=
τ
0 2
2 2
2 0
d
)
cos(
)]
1
)
[(
)
(
9
)
(
RC
RC
RC
W
B
y
(11.31)
Рис. 11.7
W
y
(
ω
)
×
10 8
, В
2
с
ω
, р/c
0 10 6
−
10 6
1
−
5
⋅
10 5
0,5 5
⋅
10 5
ω
0
Ввиду сложности подынтегрального выражения проведем численное интегрирование (11.31). Верхний предел интегрирования следует выбрать так, чтобы охватить значимую часть спектра. При этом погрешность из-за ограничения спектра может быть весьма малой. Из графика энергетического спектра выходного процесса (рис. 11.7) следует, что можно ограничить спектр частотой
7 10
=
ω
m
р/c. Численное интегрирование показало, что уве- личение этой частоты практически не сказывается на результате (форма кор- реляционной функции практически не изменялась). Результат расчета корре- ляционной функции изображен на рис. 11.8.
Определим дисперсию выходного процесса, воспользовавшись форму- лой (9.13):
2
В
00164
,
0
)
0
(
≈
=
y
y
B
D
. Это соответствует среднеквадратическо- му значению выходного шума
В
040
,
0
≈
=
σ
y
y
D
Интервал корреляции выходного шума рассчитаем в соответствии с
(9.14) как интеграл от модуля нормированной корреляционной функции

200 d
)
(
)
0
(
1
кор
τ
τ
=
τ
∫
∞
∞
−
y
R
B
(11.32)
B
y
(
τ
), В
2
τ
, с
Рис. 11.8
0 0,001
В
y
(0)
1
⋅
10
−
4 0,5
⋅
10
−
4
−
0,5
⋅
10
−
4
−
1
⋅
10
−
4
Проведем численное интегрирование (11.32). Осуществим выбор преде- лов интегрирования Из графика корреляционной функции (рис. 11.8) следу- ет, что пределы интегрирования можно ограничить интервалом (
−
10
−
4
…10
−
4
), поскольку за пределами этого интервала корреляционная функция практиче- ски равна нулю. С учетом этого получено следующее значение: с
10 11
,
1 5
кор
−
⋅
=
τ

201
12. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
12.1. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через цепь
интегрирующего типа
Рассмотрим прохождение видеоимпульса прямоугольной формы (рис.
12.1,а) через простейшую цепь интегрирующего типа, схемы которой изо- бражены на рис. 10.2.
Представим входное напряжение
)
(
вх
t
u
в виде суммы двух ступенчатых функций
,
)
(
1
)
(
1
)
(
и вх
t
t
E
t
E
t
u
−
⋅
−
⋅
=
(12.1) где E — высота импульса; и
t — длительность импульса.
Для определения напряжения на выходе цепи воспользуемся оператор- ным методом расчета.
Тогда изображение входного напряжения запишется в виде [4]:
)
p exp(
p
1
p
1
)
p
(
и вх
t
E
E
U
−
−
=
(12.2)
В соответствии с (11.9) и с учетом (10.20) изображение выходного на- пряжения равно
)
p exp(
)
1
p
(
p
1
)
1
p
(
p
1
)
p
(
и вых
t
E
E
U
−
τ
+
τ
−
τ
+
τ
=
(12.3)
Определим выходное напряжение (оригинал), воспользовавшись таблицей соответствия оригиналов и изображений (см. приложение):

202
).
(
1
exp
1
)
(
1
exp
1
)
(
и и
вых
t
t
t
t
E
t
t
E
t
u
−












τ
−
−
−
−












τ
−
−
=
(12.4)
Графики выходного процесса, построенные при различных значениях постоянной времени
τ
по формуле (12.4), изображены на рис. 12.1,b и 12.1,c.
Выходное напряжение на интервале времени и
0
t
t
≤
≤
представляет собой нарастающий (заряд конденсатора), а на интервале и
t
t
>
— убывающий по экспоненте процесс (разряд конденсатора).
При большой величине постоянной времени
τ
(
τ
>> t
и
) выходной про- цесс на интервале времени и
0
t
t
≤
≤
близок к линейной функции, то есть осуществляется приближенное интегрирование (рис. 12.1,b). Поэтому усло- вие удовлетворительного интегрирования (10.25) для импульсного сигнала принимает вид и
t
>>
τ
(12.5)
a)
t
u
вх
(t)
Е
t
и
0
u
вых
(t)
t
и
t
и
t
t
Е
Е
u
вых
(t)
b)
c)
0 0
Рис. 12.1

203
При малой величине постоянной времени (
τ
<< t
и
) эффект интегрирова- ния уменьшается, форма выходного сигнала приближенно повторяет форму входного сигнала, то есть цепь становится малоискажающей (рис. 12.1,c).
12.2. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через цепь
дифференцирующего типа
Рассмотрим прохождение видеоимпульса прямоугольной формы (рис.
12.1,а) через простейшую цепь дифференцирующего типа, схемы которой изображены на рис. 10.4.
Изображение выходного напряжения в соответствии с (11.9) и с учетом
(10.26) и (12.2) равно
)
p exp(
)
1
p
(
1
)
1
p
(
1
)
p
(
и вых
t
E
E
U
−
τ
+
−
τ
+
=
(12.6)
Определим выходное напряжение (оригинал), воспользовавшись таблицей соответствия оригиналов и изображений (см. приложение):
).
(
1
exp
)
(
1
exp
)
(
и и
вых
t
t
t
t
E
t
t
E
t
u
−










τ
−
−
−










τ
−
=
(12.7)
Графики выходного процесса, построенные при различных значениях постоянной времени
τ
по формуле (12.7), изображены на рис. 12.2,b и 12.2,c.
В момент времени
0
=
t
происходит положительный скачок выходного напряжения от нуля до уровня E . На интервале времени и
0
t
t
<
<
выходное напряжение убывает (происходит заряд конденсатора). В момент времени и
t
t
=
происходит отрицательный скачок выходного напряжения на величину
E
−
(со сменой знака выходного сигнала). На интервале и
t
t
>
выходное на- пряжение убывает по экспоненте, стремясь к нулю (происходит разряд кон- денсатора).
При малой величине постоянной времени
τ
(
τ
<< t
и
) выходной сигнал представляет собой два коротких разнополярных импульса практически оди-

204 наковой амплитуды, то есть осуществляется приближенное дифференциро- вание входного сигнала (рис. 12.2,b). Поэтому условие удовлетворительного дифференцирования (10.30) для импульсного сигнала принимает вид и
t
<<
τ
(12.8)
b)
c)
u
вых
(t)
a)
E
t
и
t
t
и
0 0
0
t
и
t
t
−E
E
u
вых
(t)
u
вх
(t)
E
Рис. 12.2
При большой величине постоянной времени (
τ
>> t
и
) эффект дифферен- цирования уменьшается, форма выходного сигнала приближенно повторяет форму входного сигнала, то есть цепь становится малоискажающей (рис.
12.2,c).
12.3. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через
апериодический усилитель
Рассмотрим прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через апериодический усилитель, схема которого изображена на рис. 10.6.
В пункте 10.4.3 показано, что апериодический усилитель по своим свой-

205 ствам соответствует цепи интегрирующего типа. Отличие в ККП усилителя состоит в наличии эффекта усиления (коэффициента
0
K ) и эффекта инверсии
(знака минус). Отсюда следует, что характер искажений импульса при усиле- нии будет таким же, как и при прохождении этого импульса через цепь ин- тегрирующего типа. С учетом (12.4) запишем выражение для напряжения на выходе апериодического усилителя в виде
).
(
1
)
exp(
1
)
(
1
)
exp(
1
)
(
и
0
и
0 0
0
вых
t
t
t
t
EK
t
t
EK
t
u
−






τ
−
−
−
+






τ
−
−
−
=
(12.9)
Этот процесс изображен на рис. 12.3. Таким образом, при усилении им- пульсных сигналов апериодический усилитель вносит искажения в их форму.
t
0
t
и
u
вых
(t)