Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
10.6. Пример решения задачи 10.6.1. Условие Для цепи, изображенной на рис. 10.13, рассчитать и построить АЧХ, ФЧХ, а также импульсную и переходную характеристики. Исходные данные: Ом 10 Гн 10 1 ; 3 = ⋅ = − R L R R L u вх (t) u вых (t) Рис. 10.13 Рис. 10.12 ω ω ω p ω p 0 0 K( ω ) ϕ ( ω ) K max 3π/ 2 π π/ 2 183 10.6.2. Решение Используя правило делителя напряжения [3], запишем выражение для комплексного коэффициента передачи данной цепи: j 2 ) j ( L R R K ω + = ω (10.49) Определим АЧХ и ФЧХ цепи, взяв модуль и аргумент комплексного ко- эффициента передачи (10.49): 2 2 ) ( 4 ) ( L R R K ω + = ω ; (10.50) ) 2 ( arctg ) ( R L ω − = ω ϕ (10.51) Графики АЧХ и ФЧХ, рассчитанные в соответствии с исходными дан- ными по формулам (10.50), (10.51), изображены на рис. 10.14. Из графика АЧХ следует, что данная цепь представляет собой фильтр нижних частот, частота среза которого легко определяется из (10.49) и равна 4 c 10 2 2 ⋅ = = ω L R р/c. 0,5 Рис. 10.14 K( ω ) ω , р/c 4 ⋅ 10 4 ϕ ( ω ) 0 −π /2 8 ⋅ 10 4 ω c 0,35 ω , р/c 4 ⋅ 10 4 0 8 ⋅ 10 4 Запишем выражение для передаточной функции цепи, заменив в (10.49) ω j комплексной переменной p : 184 2 p p 2 ) p ( L R L R L R R K + = + = (10.52) Определим импульсную и переходную характеристики, воспользовав- шись соотношениями (10.16) и (10.19) и таблицей (см. приложение А): ; ) ( 1 e 2 p ) ( 2 1 t L R L R L R L t h t L R − − = + = (10.53) ) ( 1 ) e 1 ( 2 1 ) 2 p ( p ) ( 2 1 t L R L R L t g t L R − − − = + = (10.54) Графики импульсной и переходной характеристик, рассчитанные по формулам (10.53) и (10.54) при заданных исходных данных, изображены на рис. 10.15. t, мс h(t) g(t) 0 0,5 10 4 0,1 0,2 Рис. 10.15 t, мс 0 0,1 0,2 Из графиков следует, что данная цепь относится к классу апериодиче- ских цепей, поскольку переходной процесс носит апериодический характер. Постоянная времени цепи равна 05 , 0 ) 2 ( = = τ R L мс. Из графиков вид- но, что за время, равное τ 3 , переходной процесс на выходе практически пол- ностью устанавливается. 185 11. МЕТОДЫ РАСЧЕТА РЕАКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ Задача, рассматриваемая в этом разделе, формулируется следующим об- разом. На вход линейной цепи с постоянными параметрами подается извест- ный входной сигнал произвольной формы ) ( вх t s (рис 11.1). Необходимо рас- считать выходной сигнал ) ( вых t s , который часто называют откликом цепи или выходным переходным процессом. Рис. 11.1 s вых (t) = ? s вх (t) Линейная цепь 11.1. Классический метод расчёта Этот метод расчёта основан на классическом методе решения неодно- родного линейного дифференциального уравнения (10.2). Как известно, в со- ответствии с этим методом решение неоднородного линейного дифференци- ального уравнения можно записать в следующем виде [3, 4]: , ) ( ) ( ) ( вын св вых t s t s t s + = (11.1) где ) ( св t s — общее решение однородного дифференциального уравнения, на- зываемое свободной составляющей; ) ( вын t s — частное решение неоднород- ного дифференциального уравнения, называемое вынужденной составляю- щей. Нахождение вынужденной составляющей сводится к расчету выходного сигнала при ∞ → t . При этом в цепи устанавливается стационарный режим и 186 расчет не вызывает сложностей. Для нахождения свободной составляющей запишем однородное диффе- ренциальное уравнение, приравняв правую часть (10.2) к нулю: 0 ) ( d ) ( d d ) ( d вых 1 вых 1 1 вых 0 = + + + − − t s a t t s a t t s a n n n n n (11.2) Далее составим так называемое характеристическое уравнение путем замены в (11.2) каждой из производных на переменную p в степени, соответ- ствующей порядку заменяемой производной: 0 p p p 1 1 1 0 = + + + + − − n n n n a a a a (11.3) Характеристическое уравнение (11.3) имеет n корней. Зная эти корни, можно записать решение однородного дифференциального уравнения (11.2) в виде суммы [4]: , e ) ( p 1 св t n і і і A t s ∑ = = (11.4) где і p — корни характеристического уравнения (11.3); i A — постоянные ин- тегрирования. Постоянные интегрирования i A определяют по известным начальным условиям, характеризующим исходное состояние цепи. Характер выходного процесса, определяемого соотношением (11.4), су- щественно зависит от вида корней характеристического уравнения. Рассмотрим два практически важных случая. 1) Случай действительного отрицательного корня Пусть i -й корень характеристического уравнения представляет собой отрицательное действительное число i i α − = p , где 0 > α i . Тогда этому корню в сум- ме (11.4) соответствует затухающий по экспоненте Рис. 11.2 0 t s i (t) A i 187 плавный процесс t i i i A t s α − = e ) ( (рис. 11.2). Такой процесс называют аперио- дическим. 2) Случай комплексно-сопряженных корней с отрицательными действительными частями В этом случае корни образуют пары комплексно сопряженных чисел ) j ( i i ω ± α − . Каждой такой паре корней в сумме (11.4) соответствует пара комплексно сопряженных слагаемых [4]: t i i i A ) j ( e ω + α − и t i i i A ) j ( e ω − α − ∗ . Здесь i i i A A ϕ = j e — комплексная в общем случае постоянная интегрирования. Просуммировав эти слагаемые, получаем осциллирующий процесс ) cos( e 2 ) ( i i t i i t A t s i ϕ + ω = α − с частотой осцилляций, равной i ω , и амплитудой, убывающей по экспоненте (рис. 11.3). Такой процесс называют колебательным. Недостатком классического метода расчета от- клика линейной цепи является то, что при 2 > n , возникают трудности при аналитическом решении характеристического уравнения (11.3). Поэтому для сложных цепей, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, часто используют другие методы расчета, рассматриваемые ниже. 11.2. Спектральный метод расчета Спектральный метод расчета основан на использовании комплексного коэффициента передачи ) j ( ω K цепи и спектральных характеристик сигнала. Суть метода заключается в том, что входной сигнал представляют в виде суммы гармонических составляющих. Каждая из составляющих входного сигнала проходит через линейную цепь без искажения формы. Изменению подвергаются амплитуды и начальные фазы этих составляющих. Выходной сигнал формируется как сумма этих колебаний. Применение этого метода включает нижеследующие этапы. 1) Определяют спектральную плотность входного сигнала как прямое Рис. 11.3 s i (t) 0 t 188 преобразование Фурье от функции ) ( вх t s : d e ) ( ) j ( j вх вх t t s S t ω − ∞ ∞ − ∫ = ω (11.5) 2) Определяют спектральную плотность выходного сигнала, которая в соответствии с формулой (10.8) равна ) j ( ) j ( ) j ( вх вых ω ω = ω K S S (11.6) 3) Рассчитывают выходной сигнал во времени как обратное преобразо- вание Фурье от спектральной плотности ) j ( вых ω S . С учетом (11.6) получаем ∫ +∞ ∞ − ω ω ω ω π = d e ) j ( ) j ( 2 1 ) ( j вх вых t K S t s (11.7) По существу, формула (11.7) показывает, что выходной сигнал форми- руется путем суммирования составляющих спектра входного сигнала с весо- вой функцией ) j ( ω K 11.3. Операторный метод расчета Операторный метод расчета основан на использовании передаточной функции цепи ) p ( K . Этот метод близок по своей сущности к спектральному методу. Применение этого метода включает нижеследующие этапы. 1) Определяют изображение входного сигнала как прямое преобразова- ние Лапласа от временной функции ) ( вх t s : , )] ( [ ) p ( вх вх t s L S = (11.8) причем для многих сигналов изображение можно найти без проведения ин- тегрирования, используя таблицу соответствия (см. приложение). 2) Определяют изображение выходного сигнала по формуле, аналогич- ной (11.6) 189 ) p ( ) p ( ) p ( вх вых K S S = (11.9) 3) Рассчитывают выходной сигнал во времени (оригинал) как обратное преобразование Лапласа от функции ) p ( вых S . С учетом (11.9) получаем ∫ ∞ + σ ∞ − σ π = j j p вх вых , dp e ) p ( ) p ( j 2 1 ) ( t K S t s (11.10) причем процедура обратного преобразования Лапласа может быть выполнена любым из методов, описанных в подразделе 5.4. 11.4. Метод интеграла наложения Этот метод называют также методом интеграла Дюамеля. При этом ис- пользуют либо импульсную характеристику, либо переходную характеристи- ку цепи. Сущность метода заключается в том, что входной сигнал представ- ляют в виде суммы смещенных вдоль оси времени элементарных функций: либо δ -функций (функций Дирака), либо ступенчатых функций (функций Хевисайда). Поскольку реакция на δ -функцию представляет собой импульсную ха- рактеристику, а реакция на функцию Хевисайда — переходную характери- стику, то сигнал на выходе цепи, в соответствии с принципом суперпозиций, формируется как сумма этих характеристик, смещенных во времени, с соот- ветствующими весовыми коэффициентами. В первом случае сигнал на выходе определяют в виде свертки входного сигнала с импульсной характеристикой цепи [3]: d ) ( ) ( ) ( 0 вх вых ∫ − = t x x t h x s t s (11.11) Во втором случае сигнал на выходе определяют в виде [3]: ∫ − + = t x x t g x x s t g s t s 0 вх вх вых d ) ( d ) ( d ) ( ) 0 ( ) ( (11.12) 190 11.5. Приближенный метод расчета реакции узкополосной цепи на узкополосное воздействие (метод комплексной огибающей) Важными для практики является решение задач, связанных с прохожде- нием радиосигналов через частотно-избирательные цепи. Эти задачи возни- кают при обработке радиосигналов в трактах высокой и промежуточной час- тот приемных устройств. Ввиду неидеальности свойств этих трактов прини- маемые радиосигналы искажаются. Применение точных методов расчета, рассмотренных выше, для случаев нетональной модуляции существенно ус- ложняет решение задачи, не позволяя решить ее в аналитическом виде. Рассматриваемый ниже метод комплексной огибающей является обоб- щением метода комплексных амплитуд, применяемого для анализа линейных цепей при гармоническом воздействии [3]. Как показано в разделе 8, узкополосный радиосигнал с произвольным видом модуляции (при θ 0 = 0) можно представить как [ ] ) ( cos ) ( ) ( 0 t t t A t a θ + ω = (11.13) Комплексная огибающая узкополосного сигнала — это комплексная функция времени, у которой модуль равен физической огибающей ) (t A , а ар- гумент — начальной фазе ) (t θ этого сигнала. Исходя из этого определения, из выражения (11.13) получаем e ) ( ) ( ) ( j t t A t A θ = • (11.14) Отличие комплексной огибающей радиосигнала от комплексной ампли- туды гармонического сигнала заключается в том, что в процессе модуляции модуль и аргумент комплексной огибающей в общем случае являются функ- циями времени. При отсутствии модуляции модуль и аргумент комплексной огибающей остаются постоянными, и она в этом случае совпадает с ком- плексной амплитудой гармонического сигнала (несущей). Мгновенное значение радиосигнала определяется через комплексную 191 огибающую следующим образом: [ ] ) ( cos ) ( e ) ( Re ) ( 0 j 0 t t t A t A t a t θ + ω = = ω • (11.15) При воздействии узкополосного сигнала на узкополосную цепь на выхо- де этой цепи формируется также узкополосный сигнал, комплексная оги- бающая которого отличается от комплексной огибающей входного сигнала. Поэтому прохождение узкополосного радиосигнала через частотно- избирательную цепь эквивалентно прохождению его комплексной огибаю- щей через некоторое эквивалентное низкочастотное звено (низкочастотный эквивалент). Это позволяет свести решение задачи прохождения узкополос- ного радиосигнала через узкополосную цепь к задаче прохождения низкочас- тотной комплексной огибающей через эквивалентную низкочастотную цепь. В [1] показано, что с достаточной степенью точности комплексный ко- эффициент передачи низкочастотной эквивалентной цепи может быть полу- чен путем следующей формальной замены переменой в комплексном коэф- фициенте передачи узкополосной цепи: p ω − ω = Ω . При такой замене пере- менной функция ) j ( ω K перемещается вдоль оси частот на величину р ω в об- ласть низких частот. Поэтому низкочастотным эквивалентом узкополосной частотно-избирательной цепи является ФНЧ. В частности, комплексный коэффициент передачи низкочастотного эк- вивалента резонансного усилителя, рассмотренного в п. 10.5.2, при неболь- ших расстройках можно записать в виде j 1 ) j ( э к τ Ω + − ≈ Ω max K K (11.16) Сравнивая (11.16) с формулой (10.35), замечаем, что низкочастотным эквивалентом резонансного усилителя является апериодический усилитель, для которого выполняются условия: э к 0 0 τ = = τ RC ; max K K = 0 192 11.6. Условия неискаженной передачи сигнала линейной цепью 11.6.1. Причины линейных искажений Из предыдущего материала следует, что сигнал на выходе линейной це- пи может отличаться от сигнала на входе этой цепи. Иначе говоря, линейные цепи искажают сигналы. Эти искажения называют линейными искажениями, так как их вносят линейные цепи. Физически причина линейных искажений состоит в наличии в цепях на- ряду с резистивными элементами реактивных элементов. При этом возник- новение линейных искажений можно объяснить, используя как временные, так и спектральные представления: • во временной области — линейные искажения объясняются переход- ными процессами, вызванными зарядом и разрядом реактивных элементов цепи (временная трактовка линейных искажений); • в частотной области — линейные искажения объясняются различием коэффициентов передачи и временных сдвигов для спектральных состав- ляющих различных частот (спектральная трактовка линейных искажений). 11.6.2. Частотные характеристики неискажающей линейной цепи Неискажающей цепью назовем цепь, которая не искажает форму сигна- ла. Такая цепь может осуществлять масштабное преобразование сигнала и его сдвиг во времени. Подадим на вход неискажающей цепи сигнал ) ( вх t s , спектр которого занимает полосу частот от 1 ω до 2 ω . За пределами этой по- лосы ККП неискажающей цепи положим равным нулю, чтобы исключить прохождение на выход других сигналов, спектры которых расположены вне этой полосы. В соответствии с определением неискажающей цепи, сигнал на выходе этой цепи можно записать в виде , ) ( ) ( 1 вх 1 вых t t s K t s − = (11.17) где 1 K — масштабный множитель; 1 t — временной сдвиг выходного сигнала 193 относительно входного. В соответствии с теоремой сдвига спектральную плотность выходного сигнала запишем в виде e ) j ( ) j ( 1 j вх 1 вых t S K S ω − ω = ω (11.18) С учетом (11.18) запишем выражение для ККП неискажающей цепи ω > ω ω < ω ω < ω < ω = ω ω = ω ω − , 0 ; e ) j ( ) j ( ) j ( 2 1 2 1 j 1 вх вых 1 if if K S S K t (11.19) Используя (11.19), определим АЧХ и ФЧХ такой цепи: ω > ω ω < ω ω < ω < ω = ω ; ; , 0 ; , ) ( 2 1 2 1 1 if if K K (11.20) ω > ω ω < ω ω < ω < ω ω − = ω ϕ ; определена не ; , ) ( 2 1 2 1 1 if if t (11.21) Из формул (11.20) и (11.21) следует, что не- искажающая линейная цепь должна обладать равномерной АЧХ и линейной ФЧХ в полосе частот, занимаемой спектром входного сигнала. Поскольку за пределами этой полосы частот мы положили коэффициент передачи равным нулю, то форма АЧХ неискажающей линейной цепи должна быть П - образной. Проиллюстрируем полученный результат для видео и радио сигналов. Графики АЧХ и ФЧХ цепи, которая не ис- кажает видеосигнал, изображены на рис. 11.4, |