Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
Рис. 9. 9 Рис. 9.10 t x(t) 0 161 нием мгновенного значения. 9.3.6. Характеристики узкополосного нормального шума Мгновенное значение узкополосного шума подчиняется нормальному за- кону распределения [10]. Исходя из этого, запишем выражение для одномер- ной плотности вероятности мгновенного значения узкополосного шума ( ) 2 exp 2 1 ) ( 2 2 x x x x p σ − σ π = (9.38) В [10] показано, что при этом плотность вероятности огибающей узкопо- лосного процесса соответствует закону распределения Рэлея, а начальной фа- зы — равномерному закону: ( ) ; 2 exp ) ( 2 2 2 x x A A A p σ − σ = (9.39) π > θ π < θ π = θ , 0 ; 2 1 ) ( if if p (9.40) Графики плотностей вероятности огибающей и начальной фазы узкопо- лосного случайного процесса иллюстрируются рисунками 9.11,a и 9.11,b. Рис. 9.11 A 0 p(A) σ x θ 0 p( θ ) − π π 1/2 π a) b) Знание ) ( A p и ) ( θ p позволяет определить математическое ожидание, средний квадрат, дисперсию и среднеквадратическое отклонение огибающей 162 и начальной фазы узкополосного шума [1]: ; 2 x A m σ π = ; 2 ] [ 2 2 x A M σ = ; 2 2 x A D σ ≈ ; 2 x A σ ≈ σ (9.41) ; 0 = θ m ; 3 ] [ 2 2 π = = θ θ D M 3 π σ = θ (9.42) 9.4. Пример решения задачи 9.4.1. Условие Среднеквадратичное отклонение (СКО) узкополосного шума равно мВ 1 = σ x . Определить математическое ожидание, средний квадрат, диспер- сию и СКО огибающей этого шума, а также вероятность попадания огибаю- щей в диапазон значений от 0,5 мВ до 2 мВ. 9.4.2. Решение Используя (9.41) определим значения математического ожидания и среднего квадрата огибающей узкополосного шума, подставив в расчетные формулы значение мВ 1 = σ x : 253 1, 1 2 2 = ⋅ π = σ π = x A m мВ ; 2 1 2 2 ] [ 2 2 2 = ⋅ = σ = x A M мВ 2 Теперь определим точное значение дисперсии огибающей узкополосно- го шума, воспользовавшись формулой (9.7): 429 , 0 ) 253 1, ( 2 ] [ 2 2 2 = − = − = A x m A M D мВ 2 Тогда точное значение СКО огибающей будет равно 655 , 0 429 , 0 = = = σ x A D мВ. 163 Определим вероятность попадания огибающей в диапазон значений от 0,5 мВ до 2 мВ, воспользовавшись формулой (9.1): d ) ( ) ( ∫ = < < b a A A p b A a F Подставляя в эту формулу исходные данные 5 , 0 = a мВ и 2 = b мВ, а также выражение для одномерной плотности вероятности огибающей (9.39), получаем ( ) ( ) d 2 exp d 2 exp ) 2 5 , 0 ( 2 5 , 0 2 2 5 , 0 2 2 2 ∫ ∫ − = σ − σ = < < A A A A A A A F x x В результате численного интегрирования этого соотношения, получен следующий результат: 558 , 0 ) 2 5 , 0 ( = < < A F Таким образом, в результате длительного наблюдения следует ожидать, что 55,8 % от общего времени наблюдения огибающая заданного узкополос- ного шума будет находиться в диапазоне от 0,5 мВ до 2 мВ. 164 10. ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 10.1. Классификация цепей и основные определения В данном разделе рассмотрены радиоэлектронные цепи с сосредоточен- ными параметрами. Эти цепи разделяют на два класса: — линейные цепи; — нелинейные цепи. Приведенное разделение является достаточно условным, поскольку от- несение цепи к тому или иному классу зависит от уровня воздействующих на цепь сигналов. Так в режиме достаточно малого сигнала все цепи можно рас- сматривать как линейные (квазилинейное приближение). Линейная цепь— это цепь, для которой справедлив принцип суперпо- зиций (наложения), согласно которому реакция системы на сумму воздейст- вий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий. Можно показать, что принцип суперпозиций справедлив для цепей, па- раметры которых не изменяются при изменении уровня входного воздейст- вия. При этом можно выделить два типа линейных цепей: — линейные цепи с постоянными параметрами; — линейные цепи с переменными параметрами (параметрические цепи). В первом случае параметры цепи вообще не изменяются во времени, а во втором случае параметры цепи изменяются независимо от входного воз- действия. В этом разделе рассматривается первый из указанных двух типов линей- ных цепей — линейные цепи с постоянными параметрами. Эти цепи состоят из элементов, параметры которых не изменяются во времени. Такие элемен- 165 ты в дальнейшем будем называть линейными. Основными элементами радиоэлектронных цепей являются: пассивные элементы (резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы); активные эле- менты (полупроводниковые и электровакуумные приборы). Исходя из данного выше определения, цепь считается линейной с посто- янными параметрами, если для всех элементов цепи выполняется условие , , , , const S C L R i i i i = (10.1) где i R — сопротивление любого резистора; i L — индуктивность любой ка- тушки; i C — емкость любого конденсатора; i S — крутизна ВАХ любого электронного прибора и пр. 10.2. Характеристики линейных цепей с постоянными параметрами Рассмотрим линейную цепь, которая обладает одним входом и одним выходом. В обобщенном виде эту цепь можно представить в виде четырех- полюсника (рис. 10.1). На этом рисунке ) ( вых t s — выходной сигнал; ) ( вх t s — входной сигнал. Рис. 10.1 s вх (t) s вых (t) Линейный четырехполюсник Рассмотрим основные характеристики, которые используют для описа- ния свойств линейных цепей. 10.2.1. Дифференциальное уравнение Линейная цепь с постоянными параметрами описывается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициента- ми. Общая форма записи этого уравнения имеет вид 166 = + + + + − − − ) ( d ) ( d d ) ( d d ) ( d вых вых 1 1 вых 1 1 вых 0 t s a t t s a t t s a t t s a n n n n n n , ) ( d ) ( d d ) ( d d ) ( d вх вх 1 1 вх 1 1 вх 0 t s b t t s b t t s b t t s b m m m m m m + + + + = − − − (10.2) где m n b b a a ; 0 0 — постоянные коэффициенты, которые определяются па- раметрами элементов цепи; m n, — целые числа, зависящие от конкретной цепи (в физически реализуемых цепях m n > ). Если входной сигнал известен, то правая часть уравнения (10.2) пред- ставляет собой известную функцию времени ) (t f . При этом можно записать ) ( ) ( d ) ( d d ) ( d d ) ( d вых вых 1 1 вых 1 1 вых 0 t f t s a t t s a t t s a t t s a n n n n n n = + + + + − − − (10.3) 10.2.2. Комплексный коэффициент передачи Важнейшей характеристикой линейной цепи является комплексный ко- эффициент передачи(ККП). ККП можно ввести двумя способами. 1) Случай гармонического входного воздействия При подаче на вход линейной цепи гармонического колебания на ее вы- ходе также формируется гармоническое колебание той же частоты, что сле- дует из дифференциального уравнения (10.2). Комплексный коэффициент передачи вводят как отношение комплексных амплитуд (либо действующих значений) выходного ) ( вых ω • U и входного ) ( вх ω • U гармонических колеба- ний при изменении частоты ω от нуля до бесконечности ) ( ) ( ) j ( вх вых ω ω = ω • • U U K (10.4) В соответствии с методом комплексных амплитуд [3] соотношение (10.4) представим в виде 167 , е ) ( е ) ( е ) ( ) j ( ) ( j ) ( j вх ) ( j вых вх вых ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω = ω ω = ω K U U K (10.5) где ) ( ), ( вх вых ω ω U U — амплитуды (или действующие значения) выходного и входного колебаний; ) ( ), ( вх вых ω ϕ ω ϕ — начальные фазы выходного и вход- ного колебаний; ) ( ), ( ω ϕ ω K — амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо- частотная (ФЧХ) характеристики цепи, которые определяются соотношения- ми: ; ) ( ) ( ) ( вх вых ω ω = ω U U K (10.6) ) ( ) ( ) ( вх вых ω ϕ − ω ϕ = ω ϕ (10.7) С математической точки зрения АЧХ определяется как модуль ККП, а ФЧХ — как аргумент ККП. С физической точки зрения АЧХ—это зависи- мость коэффициента передачи цепи от частоты, а ФЧХ — это зависимость фазового сдвига, вносимого цепью, от частоты. Поэтому эти характеристики называютчастотными характеристиками цепи. Заметим, что значение коэффициента передачи линейной цепи не зави- сит от амплитуды входного сигнала, а значение фазового сдвига не зависит от начальной фазы входного сигнала. 2) Случай произвольного входного воздействия При произвольном входном воздействии входной и выходной сигналы можно разложить в спектры, представляющие собой наборы гармонических колебаний. Поэтому в этом случае комплексный коэффициент передачи вво- дят как отношение спектральных плотностей выходного и входного сигналов , ) j ( ) j ( ) j ( вх вых ω ω = ω S S K (10.8) где ) j ( , ) j ( вх вых ω ω S S — спектральные плотности выходного и входного сигналов, соответственно. 168 Комплексный коэффициент передачи зависит от свойств цепи, а не свойств сигнала, поэтому и в первом (формула (10.4)) и во втором (формула (10.8)) случаях результаты будут одинаковыми. 10.2.3. Передаточная функция цепи Передаточная функция цепи вводится как отношение изображения вы- ходного сигнала к изображению входного сигнала ) p ( ) p ( ) p ( вх вых S S K = (10.9) Совершенно очевидно, что комплексный коэффициент передачи являет- ся частным случаем передаточной функции. В соответствии с изложенным ранее, переход от (10.9) к (10.8) и наоборот осуществляется взаимной заме- ной переменных p и j ω 10.2.4. Импульсная характеристика цепи Импульсная характеристика цепи — это реакция цепи на воздействие в виде δ -функции (функции Дирака). В дальнейшем будем обозначать импульсную характеристику цепи как ) (t h Из определения вытекают два очевидных требования к импульсной ха- рактеристике физически реализуемой цепи: — при t <0, она должна быть равна нулю, то есть h(t <0) = 0. Это тре- бование вытекает из принципа причинности: следствие не может опережать причину; — при стремлении времени t к бесконечности она должна стремиться к нулю: 0 ) ( lim = ∞ → t h t . Это требование связано с обеспечением устойчивости це- пи — процессы в свободном режиме должны затухать. 10.2.5. Переходная характеристика цепи Переходная характеристика — это реакция цепи на воздействие в виде единичного скачка (функции Хевисайда). В дальнейшем будем обозначать 169 переходную характеристику цепи как ) (t g Из определения вытекают два очевидных требования к переходной ха- рактеристике физически реализуемой цепи: — при t <0 она должна быть равной нулю, то есть g(t <0) = 0, что выте- кает из принципа причинности; — при стремлении t к бесконечности она должна стремиться к постоян- ной величине: const t g t = ∞ → ) ( lim . В частности, эта величина может равняться нулю. Это требование связано с обеспечением устойчивости цепи. 10.3. Взаимосвязь характеристик линейной цепи Каждая из вышеприведенных характеристик полностью определяет цепь. Поэтому все введенные выше характеристики цепи однозначно связаны друг с другом и, зная одну из них, можно определить остальные. 10.3.1. Взаимосвязь дифференциального уравнения и комплексного коэффициента передачи Для установления этой взаимосвязи, выполним прямое преобразование Фурье выражения (10.2). В результате получаем , ] ) j ( ) j ( ) j ( )[ j ( ] ) j ( ) j ( ) j ( )[ j ( 1 1 1 0 вх 1 1 1 0 вых m m m m n n n n b b b b S a a a a S + ω + + ω + ω ω = = + ω + + ω + ω ω − − − − откуда в соответствии с (10.8) комплексный коэффициент передачи цепи ра- вен ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( 1 1 1 0 1 1 1 0 вх вых ω ω = + ω + + ω + ω + ω + + ω + ω = ω ω = ω − − − − n m n n n n m m m m Q P a a a a b b b b S S K (10.10) Таким образом, комплексный коэффициент передачи линейной цепи можно представить в виде отношения двух полиномов ) j ( и ) j ( ω ω n m Q P пере- менной j ω .Причем коэффициенты полинома знаменателя равны коэффици- 170 ентам левой части дифференциального уравнения (10.2), а коэффициенты полинома числителя равны коэффициентам правой части этого уравнения. Порядки полиномов ) j ( и ) j ( ω ω n m Q P определяются характером и слож- ностью конкретной цепи. 10.3.2. Взаимосвязь дифференциального уравнения и передаточной функции Применив преобразование Лапласа к (10.2), получим по аналогии с (10.10) выражение для передаточной функции линейной цепи ) p ( ) p ( ] ) p ( ) p ( ) p ( ) p ( ) p ( ) p ( ) p ( ) p ( ) p ( 1 1 1 0 1 1 1 0 вх вых n m n n n n m m m m Q P a a a a b b b b S S K = + + + + + + + + = = − − − − (10.11) Таким образом, передаточную функцию линейной цепи можно предста- вить в виде отношения двух полиномов ) p ( и ) p ( n m Q P переменной p. Причем коэффициенты полиномов в формуле (10.11) как и в формуле (10.10) равны коэффициентам дифференциального уравнения (10.2). Выражение (10.11) можно представить в виде ) p p )...( p p )( p p ( ) p p )...( p p )( p p ( ) p ( П П П 2 1 0 0 02 01 0 n m a b K − − − − − − = , (10.12) где p 01 , p 02 ,...p 0m — нули передаточной функции (корни числителя); p П1 , p П2 ,...p Пn — полюса передаточной функции (корни знаменателя). Таким образом, с точностью до константы 0 0 a b передаточная функция линейной цепи определяется своими нулями и полюсами. |