Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
индекс фазовой модуляции. Индекс фазовой модуляции, по существу, представляет собой девиацию фазы. Он численно равен максимальному значению приращения полной фа- зы, вызываемому модуляцией (см. рис. 8.10,с), и измеряется в радианах. Тогда с учетом (8.19) мгновенное значение ЧМ радиосигнала с тональ- ной модуляцией принимает вид ] ) sin( cos[ ) ( cos ) ( 0 0 0 0 θ + ν + Ω + ω = ψ = t m t A t A t a (8.29) График ЧМ радиосигнала, построенный в соответствии с (8.29), изобра- жен на рис. 8.10,d. Из этих графиков, а также из (8.27) и (8.28), следует, что тональная ЧМ приводит к сопутствующей тональной ФМ с запаздыванием по фазе на 2 π Графики зависимостей параметров d ω и m от частоты модулирующего сигнала Ω для тональной ЧМ изображены на рис. 8.11,а. При ЧМ девиация частоты d ω не зависит от частоты модуляции, а индекс m обратно пропор- ционален частоте модуляции. 134 Рис. 8.11 ω d m = ω d / Ω Ω 0 m, ω d a) Ω 0 m ω d = m Ω b) m, ω d 8.4.4. Радиосигналы с фазовой модуляцией Модулирующий сигнал ) (t s при ФМ непосредственно воздействует на начальную фазу, вызывая приращение начальной фазы ) (t θ , пропорциональ- ное модулирующему сигналу. Поэтому с учетом (8.20) для полной фазы ра- диосигнала в этом случае можно записать следующее выражение , ) ( ) ( ) ( 0 фм 0 0 0 θ + + ω = θ + θ + ω = ψ t s k t t t t (8.30) где фм k — коэффициент пропорциональности. Используя (8.21), определим мгновенную частоту радиосигнала d ) ( d ) ( фм 0 t t s k t + ω = ω (8.31) Из (8.31) видно, что в результате ФМ возникает сопутствующая ЧМ, о чем свидетельствует дополнительное приращение частоты t t s k t d ) ( d ) ( фм = ω ∆ , которое пропорционально производной модулирующего сигнала. Рассмотрим случай тональной фазовой модуляции, при котором моду- лирующий сигнал задается формулой (8.25). При этом с учетом (8.30) полная фаза радиосигнала запишется в виде , ) cos( ) cos( ) ( 0 0 0 0 фм 0 θ + ν + Ω + ω = θ + ν + Ω + ω = ψ t m t t S k t t (8.32) 135 где 0 фм S k m = — индекс фазовой модуляции, который при ФМ зависит от амплитуды модулирующего сигнала и не зависит от его частоты. Мгновенную частоту определим, используя (8.31): ) sin( ) sin( ) ( 0 0 ν + Ω ω − ω = ν + Ω Ω − ω = ω t t m t d (8.33) Из формул (8.32) и (8.33) следует, что тональной ФМ сопутствует то- нальная ЧМ с опережением по фазе на 2 π Используя (8.32), запишем выражение для мгновенного значения радио- сигнала ] ) cos( cos[ ) ( cos ) ( 0 0 0 0 θ + ν + Ω + ω = ψ = t m t A t A t a (8.34) Графики зависимостей величин d ω и m от частоты модулирующего сиг- нала Ω для тональной ФМ изображены на рис. 8.11,b. В случае тональной ФМ индекс фазовой модуляции m не зависит от частоты модуляции, а де- виация частоты d ω линейно возрастает при увеличении частоты модуляции. 8.4.5. Спектральный анализ радиосигналов с угловой модуляцией В случае произвольного модулирующего воздействия задача определе- ния спектра радиосигнала с угловой модуляцией не имеет аналитического решения и должна решаться числено с применением ЭВМ. Аналитическое решение существует только для радиосигнала с тональной угловой модуля- цией. Зададим этот сигнал в виде ] ) sin( cos[ ) ( 0 0 0 θ + ν + Ω + ω = t m t A t a (8.35) Используя формулу для косинуса суммы двух аргументов, получим ) sin( )] sin( sin[ ) cos( )] sin( cos[ ) ( 0 0 0 0 0 0 θ + ω ν + Ω − θ + ω ν + Ω = t t m A t t m A t a (8.36) Таким образом, радиосигнал с угловой модуляцией представлен в виде алгебраической суммы двух АМ радиосигналов, находящихся в квадратуре, то есть сдвинутых друг относительно друга по фазе на 2 π . Сложность ана- 136 лиза состоит в том, что законы изменения амплитуд каждого из АМ радио- сигналов нелинейно связаны с модулирующим сигналом и поэтому мы не можем перенести результаты анализа спектра АМ колебаний на случай УМ. Далее для уменьшения размеров формул положим 0 0 = ν = θ , что не приведет к нарушению общности полученных результатов. Так как функции ) sin cos( t m Ω и ) sin sin( t m Ω являются периодическими (период равен периоду модулирующего сигнала), то их можно разложить в ряд Фурье. В соответствии с [4] представим эти функции в виде: ; ) 4 cos( ) ( 2 ) 2 cos( ) ( 2 ) ( ) sin cos( 4 2 0 + Ω + Ω + = Ω t m J t m J m J t m (8.37) , ) 3 sin( ) ( 2 ) sin( ) ( 2 ) sin sin( 3 1 + Ω + Ω = Ω t m J t m J t m (8.38) где ) (m J n — значение функции Бесселя первого рода n-го порядка от аргу- мента m. Подставляя (8.37) и (8.38) в (8.36), получаем − ω Ω + ω Ω − ω = ) cos( ) 2 cos( ) ( 2 ) sin( ) sin( ) ( 2 ) ( cos ) ( [ ) ( 0 2 0 1 0 0 0 t t m J t t m J t m J A t a ...] ) cos( ) 4 cos( ) ( 2 ) sin( ) 3 sin( ) ( 2 0 4 0 3 − ω Ω + ω Ω − t t m J t t m J (8.40) Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами для произведения синусов и косинусов, приходим к следующему выражению − Ω + ω + Ω − ω + Ω + ω + + Ω − ω − Ω + ω + ω = ] ) 3 cos[( ) ( ] ) 2 cos[( ) ( ] ) 2 cos[( ) ( ] ) cos[( ) ( ] ) cos[( ) ( ) cos( ) ( { ) ( 0 3 0 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 t m J t m J t m J t m J t m J t m J A t a ...} ] ) 3 cos[( ) ( 0 3 + Ω − ω − t m J (8.40) Формула (8.40) представляет собой разложение радиосигнала с тональ- ной угловой модуляцией на спектральные составляющие. Из этой формулы следует, что в спектре радиосигнала с тональной угловой модуляцией при- сутствуют следующие составляющие: — несущее колебание с частотой 0 ω и амплитудой ) ( 0 0 m J A ; — верхняя боковая полоса, образованная колебаниями с частотами 137 ( Ω + ω n 0 ) и амплитудами ) ( 0 m J A n ; — нижняя боковая полоса, образованная колебаниями с частотами ( Ω − ω n 0 ) и амплитудами ) ( 0 m J A n Итак, при тональной угловой модуляции в спектре радиосигнала форми- руются две боковых полосы составляющих в отличие от тональной АМ, при которой в спектре формируется только две боковые составляющие. На спек- трограмме амплитуд составляющие в боковых полосах расположены сим- метрично относительно несущей частоты. Амплитуды симметрично распо- ложенных составляющих одинаковы, а их начальные фазы при нечетных значениях n отличаются на π Амплитуды составляющих спектра радиосигнала с тональной угловой модуляции определяются по формуле , ) ( 0 m J A U n n = (8.41) где 0 = n соответствует несущей частоте; , 3 , 2 , 1 = n — номера пар боковых составляющих, симметричных относительно несущей частоты. Значения функций Бесселя ) (m J n , являются весовыми коэффициентами, которые определяют амплитуды составляющих спектра. Структура спектра существенно зависит от индекса фазовой модуляции m , поскольку этот па- раметр является аргументом функций Бесселя. Рассмотрим динамику изме- нения спектра при изменении индекса m . Случай малых индексов (m << 1) В этом случае выполняются следующие приближенные соотношения: 1 ) sin cos( ≈ Ω t m ; t m t m Ω ≈ Ω sin ) sin sin( . С учетом этих соотношений (8.36) принимает вид ] ) cos[( 2 ] ) cos[( 2 ) ( cos ) ( 0 0 0 0 0 0 t m A t m A t A t a Ω − ω − Ω + ω + ω ≈ (8.42) Из (8.42) следует, что при малых значениях индекса фазовой модуляции m , в спектре можно учитывать только три составляющие: несущую с часто- 138 той 0 ω и первую пару боковых составляющих с частотами ( Ω + ω 0 ) и ( Ω − ω 0 ). Амплитуды этих боковых составляющих спектра равны 2 0 m A Спектрограмма амплитуд для этого случая изображена на рис. 8.12. Спектр по структуре похож на спектр радиосигнала с тональной АМ. Отличие со- стоит в том, что начальная фаза нижней боковой составляющей отличается на π . Ширина спектра, как и в случае тональной АМ, равна: Ω = ω ∆ 2 На рис. 8.13 изображена векторная диаграмма для данного случая. Диа- грамма построена по тем же правилам, что и диаграмма на рис. 8.4. Рис. 8.12 Рис. 8.13 A( ω ) ω A 0 A 0 m / 2 A 0 m / 2 ω 0 ω 0 −Ω ω 0 + Ω 0 O a(t) ω 0 Ω B C 1 F Ω θ (t) A 0 C 2 θ 0 > 0 ν > 0 θ 0 Существенное отличие между этими диаграммами состоит в том, что вектор нижней боковой составляющей (BC 2 ) направлен в противоположном направлении. Это приводит к тому, что при вращении векторов BC 1 и BC 2 уг- ловое положение суммарного вектора OF изменяется. Это говорит о наличии в сигнале угловой модуляции. При этом амплитуда суммарного вектора практически не изменяется, что говорит об отсутствии амплитудной модуля- ции. Случай больших индексов (m >> 1) С увеличением значения m возрастает число спектральных составляю- щих, которые имеют достаточно большую амплитуду, и их следует учиты- вать при оценке эффективной ширины спектра сигнала. Так, при 5 , 0 = m не- обходимо учитывать вторую пару боковых составляющих, при 1 = m — тре- тью пару и так далее. Примерный вид спектрограммы амплитуд в случае больших индексов(m >> 1)изображен на рис. 8.14. 139 Особенность функций Бесселя такова, что при больших значениях аргу- мента m , они имеют существенные значения для m n ≤ (причем при m n ≈ наблюдается всплеск), а при m n > наблюдается резкий спад. Из рис. 8.14следует, что при больших индексах фазовой модуляции m в спектре можно учитывать лишь ( 1 + m ) пар боковых составляющих, то есть ширину спектра в этом случае можно оценить следующим образом 2 2 ) 1 ( 2 d m m ω = Ω ≈ Ω + = ω ∆ (8.43) Рис. 8.14 ω 0 + (m + 1) Ω ω 0 − (m +1 ) Ω ω 0 + Ω ω 0 −Ω ω 0 +2 Ω ω 0 − 2 Ω ω 0 + m Ω ω 0 − m Ω ω ∆ω U n ( ω ) 0 ω 0 … … Таким образом, при больших индексах фазовой модуляции m ширина спектра радиосигнала с тональной УМ приблизительно равна удвоенной де- виации частоты, то есть в m раз больше, чем при малых индексах (и при то- нальной АМ). Поэтому частотную модуляцию в этом случае называют ши- рокополосной. 8.5. Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) 8.5.1. Представление и спектр радиоимпульса с ЛЧМ Радиоимпульс c ЛЧМ — это быстро осциллирующий импульсный процесс, частота осцилляций которого в пределах длительности импульса изменяется по линейному закону. Такие импульсы широко используют в ра- диолокации, а также в цифровых системах связи, поскольку их применение повышает помехоустойчивость. 140 На рис. 8.15,a представлен ЛЧМ радиоимпульс с прямоугольной оги- бающей и линейным нарастанием частоты. На рис. 8.15,b приведен график зависимости час- тоты осцилляций от времени. На этом графи- ке: 0 ω — частота осцилляций при t = 0; D ω — изменение частоты за время, равное длитель- ности импульса и t (полная девиация частоты). Зависимость частоты осцилляций от времени в пределах длительности импульса и t запишем в виде , ) ( 0 t t β + ω = ω (8.44) где β — параметр, определяющий скорость нарастания частоты, рассчиты- ваемый по формуле и t D ω = β (8.45) Определим полную фазу радиосигнала, воспользовавшись (8.22) 2 d ) ( ) ( 0 2 0 0 0 0 θ + β + ω = θ + β + ω = ψ ∫ t t t t t t (8.46) С учетом (8.46) мгновенное значение радиосигнала запишем как 2 cos ) ( cos ) ( 0 2 0 0 0 θ + β + ω = ψ = t t A t A t a (8.47) Определим спектральную плотность радиоимпульса с ЛЧМ, применив к (8.47) прямое преобразование Фурье ∫ − ω − θ + β + ω = ω 2 2 j 0 2 0 0 и и d e 2 cos ) j ( t t t t t t A A (8.48) Интеграл в (8.48) сводится к комбинации интегралов Френеля [1]. При- ведем результаты численного анализа модуля спектральной плотности (рис. t Рис. 8.15 a(t) ω 0 t и / 2 t A 0 0 ω (t) ω D 0 −t и / 2 t и / 2 −t и / 2 a) b) 141 8.16) при различных значениях величины и t f B D = , которую называют пара- метром ЛЧМ радиоимпульса. На рис. 8.16 изображены спектрограммы мо- дуля ЛЧМ радиоимпульса только в области физических частот. Рис. 8.16 ω ω 0 0 |A(j ω )| ω 0 0 ω 0 0 ω ω 0 + D ω / 2 ω 0 − D ω / 2 β π 2 0 A ω 0 0 ω ω 0 + D ω / 2 ω 0 − D ω / 2 β π 2 0 A а) b) c) d) ω |A(j ω )| |A(j ω )| |A(j ω )| ∆ω = ω D 1) Случай 0 = B соответствует отсутствию ЧМ и иллюстрируется рис. 8.16,а. Спектр в этом случае совпадает со спектром радиоимпульса с прямоугольной огибающей (см. рис. 8.7). 2) Случай 10 = B иллюстрируется рис. 8.16,b. 3) Случай 100 = B иллюстрируется рис. 8.16,c. Анализ результатов показывает, что с ростом параметра B спектр рас- ширяется. При больших B ) 1 ( >> B модуль спектральной плотности практи- чески постоянен в полосе частот от ( ) 2 0 D ω − ω до ( ) 2 0 D ω + ω , а за предела- ми этой полосы резко уменьшается. То есть можно считать, что эффективная ширина спектра равна полной девиации частоты: D ω = ω ∆ . Поэтому для тео- ретических расчетов в этом случае можно пользоваться прямоугольной ап- проксимацией спектрограммы модуля, считая, что в указанной полосе частот |