Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
7.2. Идеальный низкочастотный сигнал Идеальный низкочастотный сигнал (ИНЧ) — это сигнал, спектр которо- го равномерен в полосе физических частот от нуля до 1 ω , а за пределами этой полосы равен нулю. В соответствии с этим определением на рис. 7.1 по- строена спектрограмма модуля ИНЧ. | Φ (j ω )| Рис. 7.1 А 0 =1/2f 1 ω 0 ω 1 – ω 1 Полагая аргумент спектральной плотности равным нулю в полосе частот от нуля до 1 ω , запишем выражение для спектральной плотности ИНЧ: 104 ω > ω ω < ω = = ω Φ , 0 ; const ) j ( 1 1 0 if if A (7.1) Определим временную функцию ) (t ϕ , которая соответствует спектраль- ной плотности (7.1). Применим для этого обратное преобразование Фурье (4.6). Подставляя в эту формулу выражение (7.1), получаем d e 2 1 d e ) j ( 2 1 ) ( j j 1 1 0 ω π = ω ω Φ π = ϕ ω ω ∫ ∫ ω ω − ∞ ∞ − t t А t (7.2) Интегрируя и учитывая, что 1 1 2 f π = ω , получаем ) sin( 2 ) e e ( j 1 2 ) ( 1 1 1 0 0 1 1 j j t t f A t A t t t ω ω = − π = ϕ ω ω − (7.3) Поскольку 0 A может принимать любое постоянное значение, то зададим для упрощения записи 1 0 2 1 f A = . С учетом этого из (7.3) следует ) sin( ) ( 1 1 t t t ω ω = ϕ (7.4) Таким образом, во временной области ИНЧ представляет собой функ- цию вида ) ( sinc 1 t ω . График этой функции изображен на рис. 7.2. Рис. 7.2 ϕ (t) t 1,0 1/2f 1 0 − 1/2f 1 1/f 1 − 1/f 1 Из этого графика следует, что ИНЧ обладает бесконечной длительно- стью, то есть этот сигнал физически нереализуем. 105 7.3. Проблема дискретизации аналогового сигнала Часто возникает необходимость преобразования аналогового сигнала в дискретный (прямая задача), а также преобразования дискретного сигнала в аналоговый (обратная задача). Процесс дискретизации аналогового сигнала иллюстрируется рис. 7.3. На рис. 7.3,a представлен аналоговый сигнал s(t) и отмечены значения этого сигнала ) ( д nT s в отсчетные моменты времени д nT , где 2 , 1 , 0 ± ± = n . Интервал д Т называют интервалом дискретизации, а ве- личину д д 1 T f = — частотой дискретизации. На рис. 7.3,b представлен дис- кретный сигнал в виде отсчетов аналогового сигнала ) ( д nT s нулевой дли- тельности, которые называют выборками. На этом рисунке для удобства пунктиром указана огибающая — несуществующая линия, соединяющая экс- тремальные значения этих отсчетов. Рис. 7.3 −T д s(t) s( −T д ) s(T д ) s(2T д ) s(3T д ) s(4T д ) s(5T д ) a) 0 2T д T д 5T д 3T д 4T д t T д s(nT д ) b) 2T д 3T д 4T д 5T д nT д −T д 0 s(0) При решении указанных задач необходимо осуществить: 1) выбор ин- тервала дискретизации; 2) выбор алгоритма восстановления (синтеза) анало- гового сигнала по дискретным отсчетам. Правильный выбор интервала дис- кретизации и алгоритма синтеза должны обеспечить в идеальном случае точ- ное воспроизведение формы аналогового сигнала по его дискретным значе- ниям. На оба эти вопроса дает ответ теорема отсчетов. 106 7.4. Теорема отсчетов Теорема. Аналоговый сигнал s(t) с ограниченным спектром, макси- мальная частота которого равна f m , полностью определяется последователь- ностью своих выборочных значений ) ( д nT s , следующих с интервалом дис- кретизации m f T 2 1 д ≤ , (7.5) причем восстановление исходного аналогового сигнала по этим выборочным значениям можно осуществить по формуле ∑ ∞ ∞ − = − ω − ω = n nT t nT t nT s t s ) ( 2 ) ( 2 sin ) ( ) ( д д д д д , (7.6) где д д д / 2 2 T f π = π = ω —круговая частота дискретизации. В соответствии с (7.5) частота дискретизации должна превышать макси- мальную частоту спектра аналогового сигнала не менее, чем в два раза: m f f 2 д ≥ ( m ω ≥ ω 2 д ). В соответствии с теоремой отсчетов, аналоговый сигнал s(t) представля- ется в виде суммы бесконечного числа аналоговых функций вида [ ] 2 ) ( sinc ) ( д д д nT t nT s − ω ⋅ , смещённых вдоль оси времени друг относительно друга на интервал дискретизации T д . Максимумы этих функций точно раз- мещены в отсчетных точках и равны выборочным значениям сигнала s(nT д ), а нули каждой из них точно совпадают с расположением максимумов всех ос- тальных функций. Представление сигнала s(t) рядом (7.6) иллюстрируется рис. 7.4. Следует помнить, что ряд (7.6) сходится к s(t) не только в точках разме- щения выборок, но и во всех других точках временной оси. 107 Рис. 7.4 −T д T д 2T д 3T д 4T д 5T д t n = 1 s(t) n = 2 n = 3 n = 4 n = 0 n = − 1 0 s(t) Проведем доказательство теоремы отсчетов. Для этого разложим сигнал s(t) в ряд (2.21) по системе ортогональных функций ∑ ∞ −∞ = ϕ = n n n t C t s ) ( ) ( (7.7) Выберем в качестве ортогональной системы систему действительных функций вида ) ( 2 ) ( 2 sin ) ( д д д д nT t nT t t n − ω − ω = ϕ (7.8) Поскольку эти функции отличаются от ИНЧ (7.4) только сдвигом во времени на величину д nT , то, в соответствии с теоремой сдвига, спектраль- ную плотность функции ) (t n ϕ можно записать следующим образом ω > ω ω < ω = = ω Φ ω − ω − ; 2 0 2 e e 1 ) j ( д д j j д д д if if T f nT nT n (7.9) Докажем ортогональность выбранной системы функций на бесконечном интервале времени, воспользовавшись формулой Рэлея (4.40), в соответствии с которой запишем следующее равенство 108 ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∗ ω ω Φ ω Φ π = ϕ ϕ d ) j ( ) j ( 2 1 d ) ( ) ( m n m n t t t (7.10) Учитывая (7.9), получаем ∫ ∫ ∞ ∞ − ω ω − − ω − ω π = ϕ ϕ 2 2 ) ( j 2 д д д д d e 2 1 d ) ( ) ( T n m m n f t t t (7.11) Нетрудно доказать, что при n m ≠ выражение (7.11) обращается в нуль, то есть система функций ) (t n ϕ в соответствии с (2.20) является ортогональ- ной. При n m = из (7.11) получаем выражение для квадрата нормы выбран- ной системы ортогональных функций 1 д д 2 T f n = = ϕ (7.12) Воспользовавшись выражением (2.23), определим коэффициенты раз- ложения n C : d ) ( ) ( 1 2 t t t s C n n n ∫ ∞ ∞ − ϕ ϕ = (7.13) Рассмотрим случай, при котором интервал дискретизации выбран рав- ным m f T 2 1 д ≤ , то есть m ω ≥ ω 2 д . Используя формулу Рэлея и учитывая (7.9) и (7.12), из (7.13) получаем d e ) j ( 2 1 д j ω ω π = ∫ ω ω − ω m m nT n S C (7.14) Пределы интегрирования в (7.13) выбраны из тех соображений, что спектр сигнала ) (t s ограничен максимальной частотой m ω , а спектр функции ) (t n ϕ — частотой 2 д ω , причем m ω > ω 2 д . При этом подынтегральное выражение отлично от нуля в полосе частот от − ω m до ω m . В этом случае вы- 109 ражение (7.14) представляет собой выборочные значения сигнала ) (t s в точ- ках дискретизации д nT t = , то есть ) ( д nT s C n = (7.15) Подставляя (7.8) и (7.15) в (7.7), приходим к (7.6), что и требовалось до- казать. Если интервал дискретизации выбрать m f Т 2 1 д > , то m ω < ω 2 д . Тогда пределы интегрирования в (7.14) необходимо выбрать от 2 д ω − до 2 д ω При этом коэффициенты разложения (7.14) не будут равны выборочным зна- чениям сигнала ) (t s , то есть ряд (7.6) не будет сходиться к функции ) (t s Таким образом, интервал дискретизации не может быть больше величи- ны m f 2 1 7.5. Спектр дискретного сигнала Рассмотрим случай, при котором длительность выборок бесконечно ма- ла. В этом случае математическую модель дискретного сигнала удобно пред- ставить в виде произведения ∑ ∞ −∞ = + δ = = n nT t t s t y t s t s T T , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( д (7.16) где s(t) — исходный аналоговый сигнал; ) (t y T — дискретизирующая функ- ция, которая представляет собой периодическую последовательность δ - функций с периодом, равным интервалу дискретизации д T . При таком представлении дискретный сигнал представляет собой после- довательность δ -функций, с весовыми коэффициентами, равными высоте выборок ) ( д nT s Определим спектральную плотность дискретного сигнала (7.16), приме- нив к нему прямое преобразование Фурье 110 d e ) ( ) ( ) j ( j ∫ ∞ ∞ − ω − = ω t t y t s S t T T (7.17) Представим периодическую функцию ) (t y T в виде комплексного ряда Фурье , e ) ( д j ∑ ∞ −∞ = ω = n t n n C t y T (7.18) где n С — коэффициенты разложения, которые определим, используя (3.5): ∫ − ω − = 2 2 j д д д д d e ) ( 1 T T t n n t t y T C T (7.19) Функция ) (t y T на интервале времени ) 2 , 2 ( д д T T − представляет собой единственную δ -функцию, расположенную в точке 0 = t . Используя фильт- рующее свойство δ -функции (4.53), получаем 1 д T С n = (7.20) Подставляя (7.18) в (7.17), учитывая (7.20) и внося интеграл под знак суммы, приходим к соотношению ∑ ∫ ∞ −∞ = ∞ ∞ − ω − ω − = ω n t n T t t s T S d e ) ( 1 ) j ( ) ( j д д (7.21) Поскольку интеграл под знаком суммы представляет собой прямое пре- образование Фурье от s(t) на частоте ( д ω − ω n ), то (7.21) запишем в виде [ ] ) ( j 1 ) j ( д д ∑ ∞ −∞ = ω − ω = ω n T n S T S (7.22) В соответствии с (7.22) спектр дискретного сигнала для случая идеаль- ных выборок нулевой длительности (с точностью до множителя 1/T д ) равен 111 сумме бесконечного множества копий спектра исходного аналогового сигна- ла, сдвинутых вдоль оси частот на д ω n , где , 2 , 1 , 0 ± ± = n На рис. 7.5 изображена спектрограмма модуля аналогового сигнала s(t) (диаграмма а) и три спектрограммы дискретного сигнала ) (t s T , соответст- вующие трем значениям интервала дискретизации T д : — m f / T 2 1 д = ) 2 ( д m ω = ω (диаграмма b); — ) 2 ( 2 1 д д m m f / T ω > ω < (диаграмма c); — m f / T 2 1 д > ) 2 ( д m ω < ω (диаграмма d). Рис. 7.5 − ω д ω д ω c) − ω m ω m 0 2 ω д − ω д ω m ω д 0 2 ω д ω d) − ω m |S T (j ω )| |S(j ω )| ω a) − ω m ω m 0 − ω д |S T (j ω )| ω m ω д 2 ω д b) − ω m 0 K р ( ω ) ω |S T (j ω )| K и ( ω ) Из диаграмм b, c, d следует, что в первом и во втором случаях отдельные копии не перекрываются (в случае b — соприкасаются, а в случае c — разне- 112 сены), а в случае d копии спектра перекрываются. Отсюда вытекает принци- пиальная возможность восстановления исходного аналогового сигнала в пер- вом и во втором случаях. Это можно сделать путем “выделения” из полного спектра дискретного сигнала полосы частот от нуля до m ω (в области физи- ческих частот), поскольку в этой полосе частот спектры дискретного и ис- ходного аналогового сигналов совпадают. В случае d восстановить сигнал невозможно, поскольку в указанной по- лосе частот спектр дискретного сигнала отличается от спектра исходного аналогового сигнала из-за суммирования перекрывающихся частей. Поэтому интервал дискретизации должен выбираться из условия m f T 2 1 д ≤ , что и ут- верждает теорема отсчетов. 7.6. Синтез аналогового сигнала по дискретным отсчетам Задачей синтеза является восстановление аналогового сигнала по отсче- там дискретного сигнала. В случае идеального сигнала с ограниченным спек- тром (что соответствует неограниченному во времени сигналу) восстановле- ние возможно абсолютно точно, о чем говорит теорема отсчетов. Однако на практике сигналы обладают конечной длительностью, то есть неограничен- ным спектром. При этом ограничение спектра (выбор максимальной частоты m f ) осуществляют искусственно. По этой причине задача синтеза всегда со- пряжена с методической погрешностью, величина которой зависит от вели- чины m f . Рассмотрим реальную ситуацию, при которой длительность сигнала ) (t s конечна и равна c T , а максимальная частота спектра этого сигнала искусст- венно выбрана равной m f . 7.6.1. Синтез во временной области Во временной области синтез осуществляют с использованием формулы (7.6). При этом, поскольку длительность сигнала конечна, то и число выбо- рок будет конечным. Минимальное число выборок 1 N , которое необходи- 113 мо для синтеза сигнала, в соответствии с теоремой отсчетов, соответствует максимально возможному интервалу дискретизации m f T 2 1 д = . Рассчитаем 1 N по очевидной формуле 1 2 1 c д c 1 + = + = T f T T N m Величину 1 N называют числом степеней свободы сигнала ) (t s . При зна- чении 1 1 >> N , можно положить 2 c 1 T f N m ≈ (7.23) Ряд (7.6) содержит в этом случае конечное число членов, и его сумма сходится к некому сигналу ) ( 1 t s , который лишь приближенно совпадает с сигналом ) (t s (ввиду того, что спектр искусственно ограничен). С учетом то- го, что в этом случае m ω = ω 2 д , можно записать [ ] ) ( ) ( sin ) ( ) ( ) ( 1 0 д д д 1 ∑ = − ω − ω = ≈ N n nT t nT t nT s t s t s m m (7.24) Реализация алгоритма синтеза в соответствии с формулой (7.24) требует применения средств вычислительной техники и не обеспечивает работу в ре- альном масштабе времени при большом числе выборок. |