Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
. 62 Если значение спектральной плотности 0 ) 0 ( 1 ≠ S , то в соответствии с [1] формулу (4.35) следует дополнить слагаемым ) 0 ( ) ( 1 S ω πδ |, где ) ( ω δ — так называемая δ -функция (см. подраздел 4.9). 4.6.7. Произведение двух сигналов Рассмотрим сигналы ) (t g и ) (t f , которым соответствуют спектральные плотности ) j ( ω G и ) j ( ω F . Произведение этих сигналов равно ) ( ) ( ) ( t f t g t s = (4.36) Определим спектральную плотность произведения, применив прямое преобразование Фурье к (4.36): d e ) ( ) ( ) j ( j t t f t g S t ∫ ∞ ∞ − ω − = ω (4.37) Подставим в (4.37) сигнал ) (t g , выраженный через его спектральную плотность, заменив в ней ω на x (чтобы не совпадали буквенные обозначе- ния параметра и переменной интегрирования). В результате получим d e ) ( d e ) j ( 2 1 ) j ( j j ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ω − π = ω t t f x x G S t xt (4.38) Внося внешний интеграл, независящий от x , под внутренний, приходим к следующему соотношению d )] ( j [ ) j ( 2 1 ) j ( ∫ ∞ ∞ − − ω π = ω x x F x G S (4.39) Из (4.39) следует, что спектральная плотность произведения двух функ- ций времени равна свертке спектральных плотностей перемножаемых функ- ций (с точностью до коэффициента π 2 1 ). Рассмотрим частный случай формулы (4.39). Положим в этой формуле 63 0 = ω . В результате после обратной замены x на ω получим ∫ ∫ ∞ ∞ − ∗ ∞ ∞ − ω ω ω π = d ) j ( ) j ( 2 1 d ) ( ) ( F G t t f t g (4.40) Соотношение (4.40) называют формулой Рэлея. Из этой формулы следу- ет, что скалярное произведение двух функций времени равно скалярному произведению их спектральных плотностей. 4.7. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала. Эффективная ширина спектра Рассмотрим непериодический сигнал с конечной энергией. Эта энергия распределена по спектру. Количественно задача распределения энергии по спектру может быть решена с использованием формулы Рэлея (4.40). Поло- жив в этой формуле ) ( ) ( ) ( t s t f t g = = , получаем ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ω ω π = d ) j ( 2 1 d ) ( 2 2 S t t s (4.41) Левая часть равенства (4.41) представляет собой полную энергию сигна- ла Э, рассчитанную во временной области, а правая часть — ту же величину, но рассчитанную в частотной области. Выражение (4.41) называют равенст- вом Парсеваля. Из (4.41) следует, что энергия сигнала зависит только от мо- дуля спектральной плотности и не зависит от ее аргумента. С учетом того, что ) j ( ω S является четной функцией частоты, перепишем (4.41) в виде ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ − ω ω π = = 0 2 2 d ) j ( 1 d ) ( Э S t t s (4.42) Рассчитаем энергию, сосредоточенную в полосе частот 1 2 ω − ω = ω ∆ , где 2 1 , ω ω — крайние частоты этой полосы. В этом случае следует использовать формулу (4.42), изменив в ней пределы интегрирования 64 ∫ ω ω ω ω π = ω ∆ 2 1 d ) j ( 1 Э 2 S (4.43) Квадрат модуля спектральной плотности сигнала называют энергетиче- ским спектром ) ( ) j ( 2 ω = ω W S . Поэтому можно сказать, что энергия сигнала, сосредоточенная в полосе частот, определяется интегрированием энергетиче- ского спектра сигнала в этой полосе. Поскольку спектры конечных во времени сигналов не ограничены, то теоретически ширина спектра таких сигналов бесконечна. На практике ши- рину спектра сигналов искусственно ограничивают. Для сигналов с конечной энергией вводят следующее определение эффективной (практической) ши- рины спектра эф ω ∆ . Эффективная ширина спектра— это полоса частот, в пределах которой содержится основная часть (обычно 90%) полной энергии сигнала. Доля энергии, сосредоточенная в полосе частот 1 2 ω − ω = ω ∆ , по отно- шению к полной энергии сигнала определяется выражением , ) ( d ) ( d ) j ( 1 Э Э 2 2 2 1 ω ∆ γ = ω ω π = ∫ ∫ ∞ ∞ − ω ω ω ∆ t t s S (4.44) где ) ( ω ∆ γ — долевой коэффициент, зависящий от полосы частот ( 1 0 ≤ γ ≤ ). Изменяя пределы интегрирования ω 1 и ω 2 в (4.44), находят такую полосу частот, для которой выполняется равенство: γ ( ∆ω ) = 0,9. Эта полоса частот и будет эффективной шириной спектра эф ω ∆ 4.8. Спектр одиночного импульса прямоугольной формы Одиночный импульс прямоугольной формы изображён на рис. 4.4. На- чало координат выбрано так, чтобы сигнал ) (t s представлял собой чётную функцию времени, что упрощает дальнейшие выкладки. Определим спек- 65 − t и /2 Рис. 4.4 t и 0 s(t) t t и /2 Е тральную плотность этого импульса. Зададим сигнал ) (t s на интервале времени ) , 0 ( ∞ + , что, является достаточным для расчета спектра четной функции времени: > ≤ ≤ = 2 0 ; 2 0 ) ( и и t t if t t if E t s (4.45) Используя (4.15), с учетом (4.45) определим спектральную плотность 2 2 sin 2 sin 2 d ) cos( 2 ) ( ) j ( и и и и 2 / 0 и t t Et t E t t E A S t ω ω = ω ω = ω = ω = ω ∫ (4.46) Определим модуль и аргумент спектральной плотности (4.46): ; 2 2 sin ) ( ) j ( и и и t t Et A S ω ω = ω = ω (4.47) < ω π ± > ω = ω θ 0 ) ( ; 0 ) ( 0 ) ( A if A if (4.48) С использованием полученных формул построены график зависимости ) ( ω A (рис. 4.5,а), спектрограмма модуля (рис. 4.5,b) и спектрограмма аргу- мента (рис. 4.5,с) одиночного импульса прямоугольной формы. Из графика на рис. 4.5,b следует, что с ростом частоты модуль спек- тральной плотности немонотонно убывает, стремясь к нулю. Поскольку мо- дуль спектральной плотности существенно отличен от нуля в полосе частот, примыкающей к нулевой частоте, то рассмотренный импульс следует отне- сти к классу видеосигналов. 66 Рис. 4.5 А( ω ) ω ω Et и 0 2 π /t и 4 π /t и − 2 π /t и − 4 π /t и |S(j ω )| Et и 0 2 π /t и − 2 π /t и 4 π /t и − 4 π /t и θ ( ω ) 0 2 π /t и 4 π /t и − 2 π /t и − 4 π /t и π −π ω a) b) c) 6 π /t и − 6 π /t и 6 π /t и − 6 π /t и 6 π /t и − 6 π /t и Определим эффективную ширину спектра одиночного прямоугольного импульса. Для этого сначала рассчитаем полную энергию этого импульса: d d ) ( 2 2 и 2 2 2 и и ∫ ∫ − ∞ ∞ − = = t t t E t E t t s (4.49) Определим долевой коэффициент (формула (4.44)). Поскольку мини- мальная частота в спектре рассмотренного импульса равна нулю ( 0 1 = ω ), то можно положить в этой формуле ω ∆ = ω 2 . С учетом (4.47) и (4.49) получаем ∫ ω ∆ ω ω ω π = ω ∆ γ 0 2 и и и d 2 2 sin 1 ) ( t t t (4.50) На рис. 4.6 изображена зависимость γ ( ∆ω ), полученная в результате чис- ленного интегрирования (4.50). Зададимся ) ( ω ∆ γ = 0,9. В результате (см. рис. 4.6) находим , и 2 эф t π ω ∆ = что соответствует и 1 эф t f = ∆ (4.51) 67 γ ( ∆ω ) ∆ω 1,0 2 π /t и 0 0,9 Рис. 4.6 Таким образом, 90% полной энергии одиночного прямоугольного им- пульса сосредоточено в пределах первого лепестка спектрограммы модуля. Например, если длительность импульса t и = 10 −6 с, то, согласно (4.51), эффективная ширина спектра равна ∆ f эф = 1 МГц. 4.9. Функция Дирака ( δ-функция) и её свойства 4.9.1. Определение функции Дирака Функцией Дирака или δ -функцией называют бесконечно короткий им- пульс с нулевой длительностью и бесконечной высотой, площадь которого равна единице. Функция Дирака является математической абстракцией, по- скольку она физически нереализуема. Однако модель такого импульса широ- ко применяется для анализа характеристик сигналов и цепей. Введем понятие δ -функции следующим образом. Рассмотрим прямо- угольный импульс, высота которого обратно пропорциональна его длитель- ности: и 1 t E = (рис. 4.7). Устремим длительность импульса t и к нулю. При этом высота импульса устремится к бесконечности, а площадь импульса ос- танется равной единице. В пределе получим δ -функцию, которую записыва- ют как ) (t δ (см. рис. 4.8). Заметим, что при таком введении размерность δ - функции соответствует [ δ ] = 1/c. В общем случае δ -функция может располагаться не только в начале ко- ординат, но и в любой точке временной оси 0 t . В этом случае δ -функцию за- писывают в виде: ) ( 0 t t − δ 68 Рис. 4.8 ∞ δ (t) t 0 t и − t и /2 t и /2 s(t) t 0 E=1/t и Рис. 4.7 Исходя из определения, δ -функцию ) ( 0 t t − δ можно представить в виде: = − δ ≠ = ∞ = − δ ∫ ∞ ∞ − 1 d ) ( ; 0 ; ) ( 0 0 0 0 t t t t t if t t if t t (4.52) Умножение δ -функции на константу (например, ) ( 0 t t k − δ изменяет ее площадь. Эту константу ( k ) называют весовым коэффициентом. 4.9.2. Фильтрующее свойство δ-функции Возьмем интеграл от произведения некой функции времени ) (t f , непре- рывную в окрестности точки 0 t t = на δ -функцию ) ( 0 t t − δ . Поскольку функ- ция ) ( 0 t t − δ равна нулю во всех точках, кроме точки 0 t t = , то интервал ин- тегрирования стягивается в одну точку, в которой значение функции ) (t f является константой ) ( 0 t f . При этом ) ( 0 t f можно вынести за знак интеграла. Учитывая, что площадь δ -функции равна единице, приходим к следующему ) ( d ) ( ) ( d ) ( ) ( 0 0 0 0 t f t t t t f t t t t f ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − = − δ = − δ (4.53) Таким образом доказано фильтрующее свойство δ -функции: интеграл от произведения δ -функции ) δ( 0 t t − и произвольной функции времени ) (t f , непрерывной в окрестности точки 0 t , равен значению функции ) ( 0 t f 69 4.9.3. Спектральная плотность δ -функции Рассмотрим δ -функцию, размещенную в произвольной точке временной оси ) δ( 0 t t − . Определим её спектральную плотность. Для этого применим прямое преобразование Фурье к этой функции: d e ) ( ) j ( j 0 t t t t ω − ∫ ∞ ∞ − − δ = ω ∆ (4.54) Преобразуем (4.54), применив фильтрующее свойство (4.53). В резуль- тате получим следующее выражение для спектральной плотности e ) j ( 0 j t ω − = ω ∆ (4.55) Определим модуль и аргумент спектральной плотности (4.55): ; 1 ) j ( = ω ∆ (4.56) ) ( 0 t ω − = ω θ (4.57) Спектрограммы модуля и аргумента δ -функции изображены на рис. 4.9,а и 4.9,b. Из графика на рис. 4.9,а следует, что модуль спектральной плотности δ -функции не зависит от частоты. Иначе говоря, спектр δ - функции равномерен во всей полосе частот,а эффективная ширина спектра бесконечна. Используя равенство Парсеваля, опреде- ляем полную энергию δ -функции d 1 d ) j ( 1 Э 0 0 2 ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ = ω π = ω ω ∆ π = (4.58) Как и следовало ожидать, полная энергия δ -функции равна бесконечно- сти, что также говорит о невозможности ее физической реализации. Рис. 4.9 | ∆ (j ω )| ω 1 0 θ ( ω ) а) b) ω 0 70 4.9.4. Некоторые представления δ-функции Во времени δ -функцию можно представить как обратное преобразова- ние Фурье от её спектральной плотности d e 2 1 d e ) j ( 2 1 ) ( ) ( j j 0 0 ω π = ω ω ∆ π = − δ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − ω ± ω t t t t t (4.59) Знак показателя экспоненты в (4.59) можно выбирать любым, в чем можно убедиться, применив формулу Эйлера для подынтегральной функции. Выполним взаимную замену переменных ω и t в (4.59) при этом прихо- дим к понятию δ -функции в частотной области ) ( 0 ω − ω δ : d e 2 1 ) ( ) ( j 0 0 t t ∫ ∞ ∞ − ω − ω ± π = ω − ω δ (4.60) Это понятие весьма плодотворно при анализе дискретных спектров. 4.10. Спектральная плотность постоянного напряжения Спектральная плотность — понятие универсальное и может применять- ся не только к непериодическим, но и к периодическим процессам. Распро- страним это понятие сначала на постоянное напряжение. Рассмотрим посто- янное напряжение const C t s = = 0 ) ( (рис. 4.10,а). Для этого процесса условие абсолютной интегрируемости не выполняется. Однако введенное понятие δ - функции позволяет решить задачу определения спектральной плотности. Применим прямое преобразование Фурье к этому процессу. Рис. 4.10 s(t) t С 0 0 а) 0 ω b) ∞ 2 π C 0 δ ( ω ) |S(j ω )| Используя (4.60), получаем 71 ) ( 2 d e d e ) ( ) j ( 0 0 j j ω δ π = = = ω ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ω − ω − C t C t t s S t t (4.61) Итак, спектральная плотность постоянного напряжения представляет собой δ -функцию, которая расположена в начале координат. Это говорит о том, что спектр постоянного напряжения содержит лишь одну составляю- щую нулевой частоты (постоянную составляющую). Информация о величине постоянного напряжения 0 C содержится в ве- совом коэффициенте, который равен 0 2 C π . Спектрограмма модуля постоян- ного напряжения изображена на рис. 4.10, |