Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
Корреляционная функция вводится как среднее значение произведе- ния двух значений центрированной случайной величины в сечениях, которые находятся на расстоянии τ друг от друга: = − − = τ ] ) )( ( [ ) ( 2 1 x x m x m x M B x d d ) , , ( ) )( ( 2 1 2 1 2 1 x x x x p m x m x x x τ = ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − (9.11) 152 После несложных преобразований (9.11) получаем ) ( ) ( 2 x x x m K B − τ = τ (9.12) Итак, корреляционная функция отличается от ковариационной на посто- янную величину, равную квадрату математического ожидания. Для центри- рованного случайного процесса ковариационная и корреляционная функции совпадают. Если положить 0 = τ в (9.12), то получим , ] [ ) 0 ( 2 2 x x x D m x M B = − = (9.13) то есть при 0 = τ корреляционной функции положительна, принимает мак- симальное значение и численно равна дисперсии случайного процесса. Часто используют понятие нормированной корреляционной функции, которая вводится следующим образом ) 0 ( ) ( ) ( x x x B B R τ = τ Ясно, что при 0 = τ нормированная корреляционная функция равна еди- нице: 1 ) 0 ( = x R . Интервал корреляции по аналогии с (6.7) определяют как ин- теграл от модуля нормированной корреляционной функции в бесконечных пределах d ) ( кор ∫ ∞ ∞ − τ τ = τ x R (9.14) 9.2. Некоторые законы распределения случайных процессов 9.2.1. Равномерный закон распределения Это такой закон распределения, плотность вероятности которого равномерна в интервале допустимых значений ) , ( 2 1 x x . При этом вероят- ность попадания случайной величины в любые Рис. 9.2 x p(x) 0 x 2 x 1 1 2 1 x x − 153 равные промежутки в интервале ) , ( 2 1 x x одинакова, а за пределы этого ин- тервала — равна нулю. Из приведенного определения следует, что аналити- ческое выражение для плотности вероятности случайной величины, распре- деленной по этому закону, имеет следующий вид: > < < < − = ; 0 ; 1 ) ( 2 1 2 1 1 2 x x x x if x x x if x x x p (9.15) График плотности вероятности изображен на рис. 9.2. В соответствии с (9.4)…(9.7) определим математическое ожидание, средний квадрат, диспер- сию и среднеквадратическое отклонение процесса: ; 2 d 1 2 1 2 1 1 2 ∫ + = − = x x x x x x x x x m (9.16) ; 3 d 1 ] [ 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ∫ + + = − = x x x x x x x x x x x M (9.17) 12 ) ( ] [ 2 1 2 2 2 x x m x M D x x − = − = (9.18) 3 2 1 2 x x D x x − = = σ (9.19) 9.2.2. Нормальный (гаусовский) закон распределения Нормальный закон распределения широко используется в разных облас- тях науки и техники. Множество случайных процессов подчиняется этому закону. Из центральной предельной теоремы теории вероятностей [11] следу- ет, что если случайный процесс является суммой множества других случай- ных процессов, ни один из которых не является превалирующим, то незави- симо от законов распределения суммируемых процессов результирующий процесс имеет нормальный закон распределения. 154 Аналитическая запись плотности вероятности нормального процесса имеет вид [4]: 2 ) ( exp 2 1 ) ( 2 2 σ − − σ π = x x x m x x p (9.20) Графики плотности вероятности нормального закона распределения при разных значениях среднеквадратического от- клонения x σ изображены на рис. 9.3. Рассмотрим процесс с нулевым средним ( 0 = x m ) и определим для этого случая веро- ятность попадания случайной величины, рас- пределенной по закону Гаусса, в интервал значений от а до b 2 exp 2 1 ) ( ) ( 2 2 ∫ ∫ σ − σ π = = < < b a b a x x x x x x p b x a F d d Проведем замену переменной: x x y σ = . Тогда получим: ∫ ∫ σ σ − π − − π = < < x x b a y y y y b x a F 0 0 2 2 d 2 exp 2 1 d 2 exp 2 1 ) ( (9.21) Интеграл вида ∫ < < = − π = u u y F y y u 0 2 ) 0 ( d 2 exp 2 1 ) ( Ф (9.22) называют интегралом вероятности (интегралом Лапласа). Он позволяет рас- считать вероятность попадания случайной безразмерной величины y в ин- тервал значений u y < < 0 Рассчитаем вероятность попадания случайной величины x в симметрич- ный интервал, положив a = –b. Используя (9.21) и (9.22), получаем Рис. 9.3 0 m x x σ x1 σ x2 > σ x1 p(x) 155 2 ) ( σ Φ = < < − x b b x b F Результаты расчета вероятности по этой формуле для различных интер- валов приведены в таблице 9.1. Из таблицы следу- ет, что в интервал значений ± 3 σ x при нормальном законе распределения попадает 99,7% значений случайной величины, то есть можно считать, что ширина шумовой дорожки, которая наблюдается при осциллографировании такого процесса, не превышает x σ 6 9.3. Спектральный анализ случайных процессов 9.3.1. Спектральная плотность средней мощности Каждая из реализаций случайного процесса представляет собой детер- минированный сигнал, поэтому можно определить спектральную плотность отдельных реализаций. Очевидно, что различным реализациям соответству- ют различные спектры. Из-за случайности и независимости начальных фаз составляющих спектра усреднение спектральной плотности по ансамблю реализаций приведет к нулевому значению спектральной плотности. Поэто- му для случайных процессов бессмысленно говорить о спектральной плотно- сти амплитуд, как это делалось для детерминированного сигнала. В то же время случайный процесс обладает средней мощностью (сред- ний квадрат), которая не зависит от начальных фаз составляющих и распре- делена по частотному диапазону. Поэтому для случайных процессов вводят понятие: спектральная плотность средней мощности. Эта характеристика в некоторой частотной точке f π = ω 2 представляет собой предел отношения средней мощности, сосредоточенной в полосе частот ∆ f, охватывающей эту точку, к величине этой полосы при стремлении ее к нулю. Из этого опреде- ления следует, что спектральная плотность средней мощности вводится как Таблица 9.1 Интервал Вероятность −σ x … σ x 0,683 − 2 σ x …2 σ x 0,954 − 3 σ x …3 σ x 0,997 156 , ] [ lim ) ( 2 0 f M W x f x ∆ ∆ = ω → ∆ (9.23) где ] [ 2 x M ∆ — средняя мощность, сосредоточенная в полосе частот f ∆ Спектральную плотность средней мощности называют также энергети- ческим спектром случайного процесса. Из (9.23) следует, что энергетический спектр измеряется в следующих единицах: В 2 /Гц или А 2 /Гц. Энергетический спектр случайного процесса ) ( ω x W обладает следую- щими основными свойствами: 1) ) ( ω x W — действительная и неотрицательная функция частоты; 2) ) ( ω x W — четная функция аргумента ω Поскольку случайный процесс в общем случае обладает ненулевым средним, то энергетический спектр можно представить в виде суммы , ) ( 2 ) ( ) ( 2 ω δ π + ω = ω ≈ x x x m W W (9.24) где ) ( ω ≈ x W — энергетический спектр переменной (флуктуирующей) состав- ляющей (сплошная часть спектра); ) ( 2 2 ω δ π x m — дельта-функция с весовым коэффициентом 2 2 x m π (дискретная составляющая спектра). Наличие в (9.24) δ -функции говорит о том, что процесс имеет математи- ческое ожидание конечной величины мощностью 2 x m Исходя из определения, можно записать формулу для расчета средней мощности процесса через его энергетический спектр ω ω π = = ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − d ) ( 2 1 d ) ( ] [ 2 x x W f f W x M (9.25) Подставляя в (9.25) выражение (9.24) и учитывая (9.7), получаем 2 2 2 d ) ( 2 1 ] [ x x x x m D m W x M + = + ω ω π = ∫ ∞ ∞ − ≈ (9.26) 157 Из (9.26) следует, что с учетом четности ) ( ω ≈ x W мощность переменой составляющей процесса (дисперсию) можно определять по формуле ω ω π = ∫ ∞ ≈ 0 d ) ( 1 x x W D (9.27) По аналогии с детерминированными сигналами для случайных процес- сов вводят понятие эффективной ширины спектра. Это такая полоса частот, в пределах которой сосредоточено 90 % средней мощности переменной со- ставляющей процесса (дисперсии). Эту полосу частот иногда называют шу- мовой полосой. 9.3.2. Теорема Винера - Хинчина Между ковариационной функцией и энергетическим спектром случай- ного стационарного процесса имеется взаимосвязь, которая определяется теоремой Винера - Хинчина. Теорема: энергетический спектр и ковариационная функция случайного стационарного процесса связаны парой преобразований Фурье [10]: ; d ) cos( ) ( 2 d e ) ( ) ( 0 j ∫ ∫ ∞ ωτ − ∞ ∞ − τ ωτ τ = τ τ = ω x x x K K W (9.28) d ) cos( ) ( 1 d e ) ( 2 1 ) ( 0 j ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ωτ ω ωτ ω π = ω ω π = τ x x x W W K (9.29) Для процесса с нулевым средним ( 0 = x m ) вместо ковариационной функции ) ( τ x K в (9.28) и (9.29) можно использовать корреляционную функ- цию ) ( τ x B , поскольку в этом случае эти функции совпадают. Из теоремы Винера - Хинчина вытекает важное свойство: чем меньше интервал корреляции случайного процесса, тем шире его спектр. 9.3.3. Белый шум Белый шум — это случайный процесс, энергетический спектр которого 158 равномерен во всей полосе частот (рис. 9.4), то есть = = ω 0 ) ( W W x const . (9.30) Используя (9.29), определим корреляционную функцию белого шума ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ωτ ωτ τ δ = ω π = ω π = τ ) ( d e 2 1 d e 2 1 ) ( 0 j 0 j 0 W W W B x (9.31) Таким образом корреляционная функция представляет собой δ - функцию с весовым коэффициентом 0 W (рис. 9.5). Поэтому интервал корреляции белого шума равен ну- лю, то есть реализация процесса представляет собой случайную последовательность δ -импульсов. Определим дисперсию белого шума: ) 0 ( ∞ = = x x B D (9.32) Таким образом, средняя мощность белого шума равна бесконечности, а это говорит о невозможности физической реализации такого процесса. Реальные процессы обладают энергетическими спектрами, которые убывают с ростом частоты. Модель белого шума используют в том случае, если ширина спектра шума существенно больше полосы пропускания устройства, на которое воз- действует этот шум. 9.3.4. Широкополосный шум Широкополосный шум — это случайный процесс, энергетический спектр которого существенно отличен от нуля в полосе частот от 1 ω − до 1 ω ( 1 1 2 f π = ω ), а за пределами этой полосы — быстро убывает, стремясь к нулю. Такой шум можно получить на выходе ФНЧ, если на его вход подать белый шум. Рис. 9.6 0 ω 1 −ω 1 ω W x ( ω ) W 0 W x ( ω ) W 0 = const 0 ω Рис. 9.4 0 τ Рис. 9.5 ∞ W 0 δ ( τ ) B x ( τ ) 159 На рис. 9.6 изображен энергетический спектр идеального широкополос- ного шума, который имеет П - образную форму. Аналитическое выражение для такого спектра имеет вид: ω > ω ω < ω = = ω 0 ; ) ( 1 1 0 if if const W W x (9.33) Используя (9.29), определим корреляционную функцию этого процесса ) sin( 2 d ) cos( 1 ) ( 1 1 1 0 0 0 1 τ ω τ ω = ω ωτ π = τ ∫ ω f W W B x (9.34) График нормированной корреляционной функции широкополосного шума изображен на рис. 9.7. Корреляционная функция с ростом τ немонотонно убывает, стре- мясь к нулю. Интервал корреляции процесса приблизи- тельно соответствует ширине центрального лепе- стка корреляционной функции: 1 1 кор 1 2 f = ω π ≅ τ . То есть, с расширением спектра (увеличением 1 ω ) интервал корреляции уменьшается. 9.3.5. Узкополосный шум Узкополосный шум — это случайный процесс, энергетический спектр которого существенно отличен от нуля в полосе частот 1 1 2 F π = Ω в районе частот 0 ω ± , а за пределами этой полосы быстро уменьшается, стремясь к ну- лю. Причем выполняется следующее условие: 1 0 1 << ω Ω Такой шум можно получить на выходе по- лосно - пропускающего узкополосного фильтра, если на его вход подать белый шум. На рис. 9.8 изображен энергетический спектр идеального узкополосного шума. Спектр имеет П - образную форму. Аналитическая запись энергетического спектра такого 1 ω π R x ( τ ) 0 1 ω π − τ 1 Рис. 9.7 ω W x ( ω ) 0 ω 0 − ω 0 W 0 Ω 1 Ω 1 Рис. 9.8 160 процесса имеет вид: Ω + ω > ω Ω − ω < ω Ω + ω < ω Ω − ω = = ω < 2 , 2 0 ; 2 2 ) ( 1 0 1 0 1 0 1 0 0 f i f i const W W x (9.35) Используя (9.29), определим корреляционную функцию такого шума: ∫ Ω + ω Ω − ω τ ω τ Ω τ Ω = ω ωτ π = τ 2 2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 ) cos( 2 2 sin 2 d ) cos( 1 ) ( F W W B x (9.36) В соответствии с (9.36) корреляционная функция представляет собой высокочастот- ный процесс с частотой осцилляций 0 ω и медленным изменением огибающей. На рис. 9.9 изображена нормированная корреляци- онная функция узкополосного процесса. Исходя из этого, можно считать, что узкополосный шум представляет собой высокочастотное колебание со случайным изменением амплитуды и частоты осцилляций. Причем средняя частота осцилляций равна 0 ω . С учетом этого запишем выражение для реализации узкополосного процесса [ ] , ) ( cos ) ( ) ( 0 t t t A t x θ + ω = (9.37) где ) (t A , ) (t θ — огибающая и начальная фаза процесса, которые являются случайными медленно изменяющимися функциями времени. Таким образом, узкополосный шум представляет собой высокочастотное коле- бание со случайной амплитудной и угловой модуляциями. Реализация такого процесса представлена на рис. 9.10. Огибающая и на- чальная фаза этого процесса изменяются медленно по сравнению с измене- R x ( τ ) τ 1 / F 1 2 / F 1 − 1 / F 1 − 2 / F 1 1 |