Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
10.3.3. Взаимосвязь комплексного коэффициента передачи и импульсной характеристики Подадим на вход линейной цепи в момент времени t = 0 воздействие в виде δ -функции. Тогда на выходе этой цепи возникнет колебание, представ- ляющее собой импульсную характеристику ) (t h . ККП цепи, записанный с использованием формулы (10.8), примет вид 171 , ) j ( ) j ( ) j ( ω ∆ ω = ω H K где ) j ( ω H — спектральная плотность импульсной характеристики; ) j ( ω ∆ — спектральная плотность δ -функции. Поскольку спектральная плотность δ -функции, размещенной на вре- менной оси в точке t = 0, равна 1 ) j ( = ω ∆ , то с учетом последнего соотноше- ния спектральная плотность импульсной характеристики совпадает с ком- плексным коэффициентом передачи цепи ) j ( ) j ( ω = ω K H (10.13) Отсюда вытекает, что комплексный коэффициент передачи и импульс- ная характеристика линейной цепи связаны парой преобразований Фурье: ∫ +∞ ∞ − ω − = ω t t h K t d е ) ( ) j ( j ; (10.14) ∫ +∞ ∞ − ω ω ω π = d е ) j ( 2 1 ) ( j t K t h (10.15) 10.3.4. Взаимосвязь передаточной функции и импульсной характеристики Учитывая взаимосвязь преобразований Лапласа и Фурье, можно сделать вывод о том, что передаточная функция и импульсная характеристика линей- ной цепи связаны парой преобразования Лапласа = = − )] p ( [ ) ( )] ( [ ) p ( 1 K L t h t h L K , (10.16) где L и L –1 — операторы, которые обозначают прямое и обратное преобразо- вания Лапласа соответственно. 172 10.3.5. Взаимосвязь импульсной и переходной характеристик Поскольку функция Хевисайда определяется как интеграл от δ -функции (площадь δ -функции равна единице), то таким же образом, связаны и реак- ции на эти воздействия: d ) ( ) ( 0 ∫ = t t t h t g (10.17) Отсюда следует, что d )] ( [ d ) ( t t g t h = (10.18) Таким образом, переходная характеристика является интегралом от им- пульсной характеристики, а импульсная характеристика — производной по времени от переходной характеристики. Если в момент времени 0 = t переходная характеристика отлична от ну- ля, то в импульсной характеристике присутствует δ -функция с весовым ко- эффициентом ) 0 ( g , то есть ) ( ) 0 ( ) 0 ( t g h δ = 10.3.6. Взаимосвязь переходной характеристики и передаточной функции Поскольку в соответствии с (10.17), переходная характеристика является интегралом от импульсной характеристики, то, согласно теореме об интегри- ровании оригинала [4], получаем: = = − p ) p ( ) ( )] ( [ p ) p ( 1 K L t g t g L K (10.19) 10.4. Апериодические линейные цепи Апериодическими называют цепи, переходной процесс в которых носит плавный (неколебательный) характер. Такими свойствами обладают, в част- 173 ности, цепи, в состав которых наряду с резистивными элементами входят энергоемкие элементы одного типа (только конденсаторы, либо только ка- тушки индуктивности). В этом подразделе рассмотрены простейшие аперио- дические цепи с одним энергоемким элементом. 10.4.1. Апериодические цепи интегрирующего типа На рис. 10.2. изображены две схемы, обладающие идентичными харак- теристиками. Их называют цепями интегрирующего типа, так как при оп- ределенных условиях они способны осуществлять приближенное интегриро- вание входного сигнала. Комплексный коэффициент передачи этих цепей можно записать в виде , j 1 1 ) j ( ωτ + = ω K (10.20) где τ — постоянная времени цепи, которая для RC-цепи определяется соот- ношением RC = τ , а для RL-цепи — τ =L/R. Рис. 10.2 R u вых (t) u вх (t) C L u вых (t) u вх (t) R Из формулы (10.20) получаем выражение для АЧХ и ФЧХ этих цепей: ; ) ( 1 1 ) ( 2 ωτ + = ω K (10.21) ) ( arctg ) ( ωτ − = ω ϕ (10.22) Частотные характеристики, построенные в соответствии с (10.21) и (10.22), изображены на рис. 10.3. Анализ АЧХ показывает, что рассматриваемые цепи интегрирующего 174 типа являются простейшими фильтрами нижних частот (ФНЧ). Рис. 10.3 K( ω ) 1 0 0 ω с ω с 2 1 −π /4 −π /2 ω ω ϕ ( ω ) Частотой среза фильтра ( ω с ) называют такую частоту, на которой коэф- фициент передачи уменьшается в 2 раза относительно максимального зна- чения (см. рис. 10.3). Из формулы (10.21) следует, что 1 c τ = ω (10.23) Зная частоту среза, можно рассчитать значение τ по формуле: c 1 ω τ = Если в формуле (10.21) положить ) 1 ( 1 ω >> τ >> ωτ , то можно прибли- женно считать, что j 1 ) j ( ωτ ≈ ω K (10.24) Известно, что точное интегрирование сигнала во времени соответствует делению его спектра на j ω (см. п. 4.5.6). Поэтому из (10.24) следует, что це- пи, изображенные на рис. 10.2, при больших значениях постоянной времени осуществляют приближенное интегрирование сигнала. Если входной сиг- нал обладает ограниченным спектром, то рассмотренное условие должно вы- полняться для минимальной частоты спектра min ω . Поэтому условие доста- точно точного интегрирования сигнала можно записать в виде 1 min ω >> τ (10.25) 175 10.4.2. Апериодические цепи дифференцирующего типа На рис. 10.4. изображены две схемы, обладающие идентичными харак- теристиками. Рис. 10.4 R u вых (t) u вх (t) C u вых (t) u вх (t) R L Эти цепи называют цепями дифференцирующего типа, так как при определенных условиях они способны реализовать приближенное диффе- ренцирование входного сигнала. Комплексный коэффициент передачи этих цепей можно записать в виде j 1 j ) j ( ωτ + ωτ ω = K (10.26) Из (10.26) получаем выражения для АЧХ и ФЧХ этих цепей: 2 ) ( 1 ) ( ωτ + ωτ = ω K ; (10.27) ) ( arctg 2 ) ( ωτ − π = ω ϕ (10.28) Частотные характеристики, построенные в соответствии с (10.27) и (10.28), изображены на рис. 10.5. Анализ АЧХ показывает, что рассматри- ваемые цепи дифференцирующего типа являются простейшими фильтрами верхних частот (ФВЧ). Если в формуле (10.26) положить ) 1 ( 1 ω << τ << ωτ , то можно прибли- женно считать, что j ) j ( ωτ ≈ ω K (10.29) 176 Известно, что точное дифференцирование сигнала во времени соответ- ствует умножению его спектра на j ω (см. п. 4.5.6). Поэтому из (10.29) следу- ет, что цепи, изображенные на рис. 10.4, при малых значениях постоянной времени осуществляют приближенное дифференцирование сигнала. Рис. 10.5 K( ω ) 1 0 ω с 2 1 ϕ ( ω ) ω с π /4 π /2 ω ω 0 Если входной сигнал обладает ограниченным спектром, то рассмотрен- ное условие должно выполняться для максимальной частоты max ω . Поэтому условие достаточно точного дифференцирования сигнала можно записать в виде max ω τ << 1 (10.30) 10.4.3. Линейный апериодический усилитель Линейный усилитель — это устройство, на выходе которого формиру- ется сигнал, уровень которого (напряжения, тока, либо мощности) превыша- ет уровень входного сигнала, а форма остается неизменной. Реальный усилитель вносит искажения в форму усиливаемого сигнала, однако если эти искажения не превышают некоторого уровня, то их считают допустимыми. Рассмотрим простейший апериодический усилитель, выполненный на полевом транзисторе VT , включенном по схеме с общим истоком (рис. 10.6). 177 Нагрузкой каскада является сопротивление н R , включенное в цепь стока транзистора. Линейность режима реализуется выбором положения точки по- коя на середине наиболее линейного участка ВАХ транзистора, что достига- ется установкой начального напряжения между затвором и истоком с помо- щью резистора R и , а также тем, что на вход усилителя подается сигнал отно- сительно небольшой амплитуды. Конденсатор С и устраняет отрицательную обратную связь по переменному току, а резистор R з обеспечивает нулевой потенциал на затворе транзистора по постоянному току. вых • U R i R н C 0 вх • = • U S I Рис. 10.7 Рис. 10.6 VT R н R з u вх (t) u вых (t) С бл Е с + − R и С и Схема замещения выходной цепи усилительного каскада изображена на рис. 10.7. Полевой транзистор в схеме замещения представлен в виде источ- ника переменного тока с комплексной амплитудой , вх • • = U S I (10.31) где S — крутизна проходной ВАХ транзистора в точке покоя. На схеме замещения i R — выходное сопротивление транзистора. В этой схеме учтена также паразитная емкость 0 C , представляющая собой сумму выходной емкости транзистора и емкости монтажа. Обозначим сопротивле- ние параллельно включенных резисторов i R и н R как R , а комплексное со- противление, которое является нагрузкой источника тока, как н Z : ; 1 н н н н і і і R R R R R R R R + = + = (10.32) 178 j 1 j 1 j 1 0 0 0 н RC R C R C R Z ω + = ω + ω = (10.33) Определим комплексную амплитуду выходного сигнала , j 1 0 вх н вых ωτ + − = − = • • • SR U Z I U (10.34) где 0 0 RC = τ — постоянная времени выходной цепи. Знак минус в формуле (10.34) учитывает инвертирующие свойства кас- када с общим истоком, которое заключается в том, что выходной сигнал кас- када сдвинут по фазе на 180 0 относительно входного сигнала. Из формулы (10.34) определим комплексный коэффициент передачи , j 1 ) j ( 0 0 вх вых ωτ + − = = ω • • K U U K (10.35) где SR K = 0 — значение коэффициента передачи на постоянном токе( ω = 0). Из (10.35) определим АЧХ и ФЧХ апериодического усилителя: ; ) ( 1 ) ( 2 0 0 ωτ + = ω K K (10.36) ) ( arctg ) ( 0 ωτ − π = ω ϕ (10.37) Графики АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 10.8. Из графика АЧХ следу- ет, что апериодический усилитель представляет собой ФНЧ. Спад АЧХ в об- ласти верхних частот связан с шунтирующим влиянием паразитной емкости 0 C . Сравнивая формулу (10.20) с формулой (10.35), приходим к выводу, что апериодический усилитель по своим частотным свойствам соответствует це- пи интегрирующего типа. Отличие состоит в наличии постоянного коэффи- 179 циента 0 K (эффект усиления) и знака минус (эффект инверсии). Из (10.36) определим частоту среза АЧХ апериодического усилителя, на границе которой коэффициент передачи уменьша- ется в 2 раз: 1 1 0 0 c RC = τ = ω (10.38) Таким образом, полоса пропускания апериоди- ческого усилителя обратно пропорциональна посто- янной времени выходной цепи. Увеличить полосу пропускания можно двумя способами: — уменьшением емкости С 0 (выбрать другой транзистор, либо умень- шить емкость монтажа); — уменьшением сопротивления нагрузки R н , но следует помнить, что это приведет к уменьшению коэффициента усиления K 0 10.5. Линейные частотно-избирательные (колебательные) цепи Частотно-избирательная цепь — это такая цепь, коэффициент переда- чи которой существенно отличен от нуля в узкой полосе частот в окрестно- сти некоторой центральной частоты, а за пределами этой полосы он резко убывает, стремясь к нулю. Такие цепи так же называют узкополосными по- лосно-пропускающими, или колебательными цепями. Частотно-избирательные цепи широко используются для обработки ра- диосигналов с различными видами модуляции. Применение этих цепей по- зволяет реализовать принцип избирательности в радиоэлектронных системах. 10.5.1. Идеальная частотно-избирательная цепь Коэффициент передачи идеальной частотно-избирательной цепи в поло- се пропускания равен постоянной величине max K , а за пределами полосы пропускания он равен нулю. С учетом этого можно записать следующее вы- ражение для АЧХ идеальной частотно-избирательной цепи 0 ω Рис. 10.8 K( ω ) ω с 0 ω 2 0 K K 0 ϕ ( ω ) π /2 π 180 ω ∆ − ω < ω ω ∆ + ω > ω ω ∆ + ω < ω < ω ∆ − ω = ω , 2 ; 2 , 0 ; 2 2 , ) ( п п п п р р р р if if K K max (10.39) где п ω ∆ — полоса пропускания; р ω — центральная (резонансная) частота. АЧХ такой цепи изображена на рис. 10.9. Она имеет так называемую П - образную форму. Такая цепь обеспечивает пол- ное подавление колебаний, спектр которых на- ходится вне полосы ее пропускания, то есть иде- альную избирательность. Такая цепь физически нереализуема, однако при создании полосно- пропускающих фильтров стремятся получить характеристику, близкую к идеальной, чтобы обеспечить высокую избирательность. 10.5.2. Резонансный усилитель на основе колебательного контура Частотно-избирательная цепь может быть реализована в виде резонанс- ного усилителя с нагрузкой в виде колебательного контура (рис. 10.10). Рис. 10.11 вых • U R i R 0 вх I • = • U S L C бл L E с + − C Рис. 10.10 C VT R з u вх (t) u вых (t) R и С и Усилитель выполнен на полевом транзисторе VT , в цепь стока которого в качестве нагрузки включен параллельный колебательный LC - контур. Схема замещения выходной цепи усилительного каскада изображена на рис. 10.11. На этой схеме 0 R — резонансное сопротивление контура. Обозначим эквивалентное сопротивление параллельно включенных резисторов i R и 0 R как Э 0 R : K( ω ) ω р 0 ω K max ∆ω п Рис. 10.9 181 1 0 0 0 0 Э 0 і і і R R R R R R R R + = + = (10.40) Комплексное сопротивление нагрузки усилителя запишем в виде [3]: , j 1 Э 0 н ξ + = R Z (10.41) где ξ — обобщенная расстройка, которая равна [3]: ) ( p p кэ ω ω − ω ω = ξ Q (10.42) В последней формуле кэ Q — эквивалентная добротность контура; LC 1 p = ω — резонансная частота контура. Определим комплексную амплитуду выходного напряжения ξ + − = − = • • • j 1 Э 0 вх н вых SR U Z I U (10.43) Тогда комплексный коэффициент передачи равен , j 1 ) j ( вх вых ξ + − = = ω • • max K U U K (10.44) где Э 0 SR K max = — значение коэффициента передачи при p ω = ω ( 0 = ξ ). Из (10.44) определим АЧХ и ФЧХ усилителя: ; 1 ) ( 2 ξ + = ω max K K (10.45) ) ( arctg ) ( ξ − π = ω ϕ (10.46) Графики АЧХ и ФЧХ резонансного усилителя, построенные в соответ- ствии с (10.45) и (10.46), изображены на рис. 10.12. 182 Каскад обладает избирательными свой- ствами. На резонансной частоте значение ко- эффициента передачи максимально, а фазо- вый сдвиг равен π (из-за инвертирующего свойства каскада). При малых расстройках (в пределах по- лосы пропускания) параметр ξ можно с дос- таточной степенью точности рассчитывать по формуле [1]: , ) ( кэ p τ ω − ω ≈ ξ (10.47) где ) ( p ω − ω — абсолютная расстройка контура; кэ τ — эквивалентная посто- янная времени контура, определяемая соотношениями [3]: п p э к э к 2 2 ω ∆ = ω = τ Q , (10.48) где п ω ∆ — полоса пропускания. |