Сигналы и процессы в электронике. В радиоэлектронике
 Скачать 2.48 Mb.
|
|
13.3. Проблема устойчивости активной линейной цепи Обустойчивости цепи судят по ее поведению в свободном режиме. Сво- бодным режимом называют режим, при котором на цепь не подают внешние 224 воздействия. Устойчивой называют цепь, процессы в которой в свободном режиме имеют затухающий характер. Иначе говоря, после прекращения внешнего возмущающего воздействия устойчивая цепь должна возвратиться в исходное состояние. Из (13.9) следует, что потеря устойчивости может произойти только в активной цепи (усилителе), охваченной цепью положительной обратной свя- зи. На практике в усилителях используют отрицательные обратные связи, но из-за наличия реактивных элементов схемы, в том числе паразитных (между- электродные емкости усилительных элементов, емкость монтажа, индуктив- ности выводов и др.) эта обратная связь частотно зависима. То есть, ампли- туда и начальная фаза напряжения обратной связи зависят от частоты. Это может привести к тому, что для некоторой частоты обратная связь станет чисто положительной что, как отмечалось выше, может привести к потере устойчивости. Важной задачей является оценка устойчивости линейных сис- тем на стадии их проектирования. Такая оценка осуществляется с помощью критериев устойчивости. 13.4. Критерий устойчивости Ляпунова Из (10.3) следует, что в свободном режиме ( f (t)= 0) линейная цепь опи- сывается однородным линейным дифференциальным уравнением 0 ) ( d ) ( d d ) ( d d ) ( d 1 1 1 1 0 = + + + + − − − t x a t t x a t t x a t t x a n n n n n n , (13.10) где ) (t x — процесс на выходе цепи (ток или напряжение); n — порядок уравнения; n a a a ..., , , 1 0 — постоянные коэффициенты, зависящие от пара- метров элементов цепи. Именно эти коэффициенты определяют свойства це- пи, в частности, ее устойчивость. Решение уравнения (13.10) имеет вид [4]: ∑ = = n i i i t A t x 1 , ) p exp( ) ( (13.11) 225 где i A — коэффициенты, не зависящие от времени; i p — корни характери- стического уравнения, которое имеет вид 0 p p p 1 1 1 0 = + + + + − − n n n n a a a a (13.12) Для того чтобы процесс (13.11) был затухающим, необходимо и доста- точно, чтобы все корни i p характеристического уравнения были бы отрица- тельными действительными числами, либо комплексными числами с отрица- тельными действительными частями. Отсюда вытекает формулировка критерия устойчивости Ляпунова: ли- нейная цепь устойчива, если все корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости комплексной переменной p. 13.5. Критерий устойчивости по передаточной функции Известно (см. подраздел 10.3), что левая часть характеристического уравнения (13.12) линейной цепи совпадает со знаменателем передаточной функции этой цепи. Поэтому корни характеристического уравнения являются полюсами передаточной функции. Отсюда вытекает критерий устойчивости на основе анализа передаточной функции: линейная цепь устойчива, если все полюса передаточной функции расположены в левой полуплоскости комплексной переменной p. Этот критерий удобно применять в тех случаях, когда известна переда- точная функция цепи. При этом нет необходимости составлять дифференци- альное уравнение цепи. 13.6. Критерий устойчивости Рауса - Гурвица Определение корней характеристического уравнения (полюсов переда- точной функции) при высоком порядке цепи n является трудоемкой задачей. Поэтому были разработаны критерии устойчивости, не требующие решения характеристического уравнения. Алгебраический критерий устойчивости Рауса - Гурвица позволяет оце- 226 нить устойчивость цепи по коэффициентам a i характеристического уравне- ния (13.9) без его решения. Согласно этому критерию [1, 2], линейная цепь устойчива, если положительны следующие величины: 1) все коэффициенты характеристического уравнения а 0… а n ; 2) определитель Гурвица (n − 1)-го порядка D n-1 , который имеет вид ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 1 1 − − = n n n а а а а а а а а а а а а D (13.13) 3) все главные миноры этого определителя. 13.7. Частотный критерий устойчивости Михайлова Левая часть характеристического уравнения (13.12) представляет собой степенной полином (его называют характеристическим полиномом) ком- плексной переменной р. Запишем выражение для этого полинома p p p ) p ( 1 1 1 0 n n n n a a a a D + + + + = − − (13.14) Проведем в (13.14) замену переменной р на ω j . В результате получим характеристический полином переменной ω j , который представим в показа- тельном виде через модуль ) j ( ω D и аргумент ) ( ω ϕ : e ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) j ( ) ( j 1 1 1 0 ω ϕ − − ω = + ω + + ω + ω = ω D a a a a D n n n n (13.15) Определим полное приращение аргумента ) ( ω ϕ , которое возникнет при изменении частоты от нуля до ∞ + для устойчивых и неустойчивых систем. Для простоты ограничимся случаем чисто действительных корней характе- ристического уравнения, которые обозначим как i α . В этом случае характе- ристический полином (13.15) можно записать в виде 227 ) j ( ) j )( j ( ) j ( 2 1 0 n a D α − ω α − ω α − ω = ω (13.16) С учетом этого запишем выражение для аргумента полинома arctg ) ( 1 α − ω = ω ϕ ∑ = i n i (13.17) Если цепь устойчива, то, в соответствии с критерием Ляпунова, все кор- ни характеристического уравнения отрицательны, то есть 0 < α i . Поэтому при изменении частоты от нуля до ∞ + каждый из членов суммы (13.17) из- меняется от нуля до 2 π (приращение 2 π + ). При этом полное приращение аргумента для устойчивой цепи составит 2 ) 0 ( ) ( ) ( π = ϕ − ∞ ϕ = ϕ ∆ n (13.18) Если же цепь неустойчива, то среди корней характеристического урав- нения этой цепи имеется m положительных корней. Для этих корней каждый из членов суммы (13.17) при изменении частоты от нуля до ∞ + изменяется от π до 2 π (приращение 2 π − ). При этом полное приращение аргумента для неустойчивой цепи составит 2 ) 2 ( 2 2 ) ( ) 0 ( ) ( ) ( π − = π − + π − = ϕ − ∞ ϕ = ϕ ∆ m n m m n (13.19) Итак, для неустойчивой цепи полное приращение аргумента характери- стического полинома всегда меньше, чем для устойчивой цепи такого же по- рядка n. Этот же результат можно получить и для комплексных корней. Отсюда вытекает формулировка критерия Михайлова: линейная цепь устойчива, если полное приращение аргумента характеристического по- линома при изменении частоты от нуля до ∞ + равно 2 π n , где n сте- пень характеристического полинома. Удобство применения этого критерия состоит в том, что достаточно 228 проанализировать поведение аргумента характеристического полинома ) ( ω ϕ при изменении частоты от нуля до ∞ + . При этом для устойчивой цепи аргу- мент должен изменяться от нуля в положительном направлении и последова- тельно пройти n квадрантов. 13.8. Частотный критерий устойчивости Найквиста В соответствии с критерием, изложенным в подразделе 13.5, для оценки устойчивости замкнутой системы достаточно знать полюса передаточной функции K(p). Эти полюса находят, приравняв знаменатель (13.9) к нулю. В результате этого получаем уравнение 1 ) p ( ) p ( oc у = K K (13.20) Произведение ) p ( ) p ( oc у K K представляет собой передаточную функцию двух каскадно-включенных звеньев, которые образуют разомкнутую систему (см. рис. 13.3). Введем обозначение ) p ( ) p ( ) p ( oc у H K K = (13.21) Таким образом, об устойчивости системы в замкнутом состоянии можно судить по передаточной функции разомкнутой системы. Из (13.20) следует, что система в замкнутом состоянии устойчива, если передаточная функция разомкнутой системы ) p ( H не обращает- ся в единицу при всех значениях ком- плексной переменной p, лежащих в пра- вой полуплоскости. Это условие удобно анализировать в плоскости комплексной переменной H. Перейдем от плоско- сти комплексной переменной p к плоскости комплексной переменной H, для чего представим эту переменную в виде jv u H + = (13.22) K oc (p) K у (p) Е U ос Рис. 13.3 U вых 229 p = σ + jω σ ω 0 R →∞ Рис. 13.4 Представим правую полуплоскость переменной pв виде замкнутого контура, состоящего из оси ординат ω и полуок- ружности бесконечного радиуса (рис. 13.4). Этот контур отобразится в некий замкнутый контур в плоскости переменной H. На первом участке 0 = σ ( ω = j p ), то есть на оси частот, передаточная функция ) p ( H пред- ставляет собой комплексный коэффициент пере- дачи разомкнутой системы ) j ( ω H , который в соответствии с (13.21) запишем в виде e ) ( ) ( ) j ( )] ( ) ( [ j ос у oc у ω ϕ + ω ϕ ω ω = ω K K H (13.23) С учетом (13.22) получаем: ] ) ( ) ( [ sin ) ( ) ( ) ( ; )] ( ) ( [ cos ) ( ) ( ) ( ос у ос у ос у ос у ω ϕ + ω ϕ ω ω = ω ω ϕ + ω ϕ ω ω = ω K K v K K u (13.24) В приведенных формулах ) ( ) ( ) ( ос у ω = ω ω H K K представляет АЧХ, а ) ( ) ( ) ( ос у ω ϕ = ω ϕ + ω ϕ — ФЧХ разомкнутой системы. Из (13.24) следует, что ) ( ω u является четной функцией частоты, а ) ( ω v — нечетной. Соотношения (13.23) и (13.24) показывают, что при перемещении точки по оси частот ω j в плоскости p, точка в плоскости H описывает некую кривую, называемую го- дографом. Годограф, по существу, является амплитудно-фазовой характери- стикой системы, построенной в полярных координатах. Для построения го- дографа необходимо знать АЧХ и ФЧХ системы. Методика построения годографа некой системы иллюстрируется рис. 13.5. Каждой точке годографа соответствует определенное значение частоты (на рис. 13.5 точка M соответствует некоторой частоте ω 1 ). Положение этой точки на плоскости определяется вектором 0M, выходящим из начала коор- динат. 230 u v H( ω 1 ) ϕ ( ω 1 ) Рис. 13.5 М 0 ω = 0 ω = ∞ H = u + jv При построении годографа в соответствии с (13.23) длину вектора берут равной значению модуля H( ω 1 ), а угол на- клона вектора относительно оси абсцисс берут равным аргументу ϕ ( ω 1 ). Построения следует проводить в диапазоне частот от нуля до ∞ + . В диапазоне частот от ∞ − до нуля годограф симметричен относительно оси абсцисс ввиду четности ) ( ω u и нечетности ) ( ω v и его построение в этом диапазоне можно не проводить. На втором участке радиус ∞ → R , что соответствует ∞ → p . Определим предел, к которому стремится при этом передаточная функция ) p ( H . С уче- том (9.11) этот предел запишем в виде p lim ) p ( ) p ( lim ) p ( lim 0 0 p p n m p n m a b Q P H − ∞ → ∞ → ∞ → = = (13.25) В физически реализуемых линейных цепях соблюдается условие: n m < Поэтому предел (13.25) равен нулю, то есть окружность бесконечного радиу- са на плоскости переменной p отображается в точку, соответствующую нача- лу координат на плоскости переменной H. Таким образом, вся правая полуплоскость переменной p отображается во внутреннюю область, а вся левая полуплоскость — во внешнюю область годографа. Отсюда вытекает формулировка критерия устойчивости Найквиста: ли- нейная система в замкнутом состоянии устойчива, если годограф ра- зомкнутой системы не охватывает точку с координатами (1; 0). В ряде случаев сложно судить о том, охватывает или не охватывает го- дограф точку с координатами (1; 0). В таких случаях следует применять мо- дифицированный критерий Найквиста, основанный на подсчете числа пере- сечений годографом оси u на участке от 1 до ∞ + (см. рис. 13.6). Для устой- чивой работы необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот 231 участок, либо пересекал его вверх и вниз одинаковое число раз. Рис. 13.6 u v 0 a) 1 1 v 0 b) u На рис. 13.6,а приведен пример годографа устойчивой системы, а на рис. 13.6,b—неустойчивой. 13.9. Устойчивость неинвертирующего усилителя с мостом Вина в цепи обратной связи В качестве примера исследуем на устойчивость широкополосный неин- вертирующий усилитель, в цепь обратной связи которого включен так назы- ваемый мост Вина. Схема такого усилителя изображена на рис. 13.7. Ком- плексный коэффициент передачи широкополосного неинвертирующего уси- лителя в полосе пропускания можно считать равным чисто действительному положительному числу const K K = = ω у у ) j ( . Это соответствует нулевому значению фазового сдвига во всей полосе рабочих частот: 0 ) ( = ω ϕ у Применяя правило делителя напряжения, получаем выражение для ком- плексного коэффициента передачи моста Вина: ] 1 ) [( j 3 ) j ( 2 ос − ω + ω ω = ω RC RC RC K (13.26) Из (13.26) получим формулы для АЧХ и ФЧХ цепи обратной связи: ; ] 1 ) [( ) ( 9 ) ( 2 2 2 ос − ω + ω ω = ω RC RC RC K (13.27) 3 1 ) ( arctg ) ( 2 oc ω − ω − = ω ϕ RC RC (13.28) 232 Графики АЧХ и ФЧХ моста Вина, построенные в соответствии с (13.27) и (13.28), изображены на рис. 13.8. Из этих графиков видно, что мост Вина — это низкодобротный полосно-пропускающий фильтр. Приравняв (13.28) к нулю, определим частоту 0 ω , на которой ФЧХ обращается в нуль, а коэффи- циент передачи максимален: 1 0 RC = ω (13.29) Определим коэффициент передачи на этой частоте, подставив (13.29) в (13.27). При этом получаем K ос ( ω 0 ) = 1/3. Комплексный коэффициент переда- чи разомкнутой системы для данного случая равен ) j ( ) j ( ос у ω = ω K K H . С уче- том (13.27) и (13.28) на рис. 13.9 постро- ен годограф разомкнутой системы при некотором значении у K Поскольку коэффициент передачи моста Вина обращается в нуль при ω = 0 и ω = ∞ , то годограф начинается и заканчивается в начале координат. Го- дограф пересекает ось абсцисс на час- тоте ω = ω 0 , поскольку на этой частоте ϕ ( ω 0 ) = ϕ ос ( ω 0 )= 0. При этом координата точки пере- сечения (М) равна K ос ( ω 0 ) =· у 3 1 K . От- сюда следует, что годограф Найквиста не охватывает точку с координатами (1, 0) если выполняется условие: 1 3 у < K . Решая это неравенство относительно у K , приходим к следующему условию устойчивой работы у K < 3 . (13.30) ω ω 0 0 ω 0 ω 0 1 / 3 π/ 2 |