Бьрачч. 1. Конспект лекций, ч.1-Трофимович В.В.- ОМПС 2018. В. В. Трофимович основымеханики подвижногосостава
 Скачать 3.4 Mb.
|
|
7. ПАРЦИАЛЬНЫЕЧАСТОТЫКОЛЕБАНИЙ 7.1. Парциальнаядинамическаясистема Общий подход к изучению сложных динамических систем, какой является ПС, может быть следующим. Сначала исследуется простая система с одной степенью свободы, которая служит элементарной ячейкой для построения сложной системы. Затем рассматривается более сложная система (2 степени свободы и выясняются новые особенности. Следующим шагом может быть рассмотрение большого или даже бесконечного числа связанных ячеек. В связи с этим логическим шагом в теории колебаний является анализ системы с двумя степенями свободы – системы двух связанных масс. Такой системой является упрощенная одноосная модель ПС с двумя ярусами подвешивания. Как известно, числом степеней свободы называется количество независимых переменных (независимых координат, необходимое для полного описания процессов в динамической системе. В механической системе число степеней свободы равно минимальному числу закреплений координат, которые необходимо сделать, чтобы движения в системе прекратились. Существует общее правило выделения парциальныхсистем(лат. partialis частичный, от лат. pars часть. Любая сложная колебательная система, обладающая многими степенями свободы, будет колебаться с парциальнойчастотой , если ей предоставить одну степень свободы при ограничении всех остальных степеней свободы. Следовательно,парциальной называется частота колебаний динамической системы, у которой все степени свободы, кроме одной, ограничены, частота по этой степени свободы и есть парциальная. Другими словами – парциальные – те. частично входящие в состав общих колебаний. Определение парциальных частот рассмотрим на примере одноосной модели с двумя степенями свободы. 7.2. Уравнениявертикальныхколебанийодноосноймодели сдвумястепенямисвободы 57 Составим уравнения колебаний одноосной модели с двумя степенями свободы рис. 7.1). Такая модель используется при исследовании совместных колебаний подпрыгивания кузова и тележек при движении по абсолютно жесткому пути ПС, имеющего две ступени РП. Неровность вызывает вертикальные колебания тележки и кузова, которые характеризуются двумя обобщенными координатами (подпрыгивание тележки) и подпрыгивание кузова. Допущения 1) путь считается абсолютно жестким 2) пружина с жесткостью Ж и гаситель с коэффициентом затухания 1 β эквивалентны буксовому подвешиванию (й яруса пружина и гаситель с характеристиками Ж и 2 β эквивалентны центральному подвешиванию (й ярус 3) в модели масса 1 m – суммарная масса всех тележек ПС, масса 2 m – масса кузова. Дано 1) масса 2 m – масса кузова, т 2) масса 1 m – масса тележки, т 3) жесткость Ж пружины буксового РП, кН/м; 4) жесткость Ж пружины центрального РП, кН/м; 5) коэффициент затухания 1 β гасителя буксового РП, кНс/м; 6) коэффициент затухания 2 β гасителя центрального РП, кНс/м; 7) закон изменения неровности пути η(t) (амплитуда и длина волны. Найти законы изменения обобщенных координат. 1. Вертикальное перемещение тележки (подпрыгивание тележки – 1 z ( t ) , м. 2. Вертикальное перемещение центра масс кузова (подпрыгивание кузовам. Составим уравнения сил, действующих на каждую массу, в соответствии с принципом Даламбера. Для этого необходимо поочередно зафиксировать (мысленно закрепить) каждую массу. Рис. 7.1. Линейная одноосная модель как система с двумя степенями свободы 58 Для массы 1 m при фиксировании 2 m уравнение действующих сил будет иметь вид 0 2 2 1 1 дуду инiFiiFiiFiiFiiFi (7.1) Аналогично фиксируя 1 m , получим уравнение для массы 2 m 2 2 2 0 ин у д F F F + + = (7.2) Выражения для сил, входящих в уравнения (7.1) и (7.2), с учетом того, что η − = ∆ 1 1 z и 1 2 2 z z − = ∆ имеют вид 1 1 1 z m F ин − = , (7.3) 2 2 2 z m F ин − = , (7.4) ) ( 1 1 1 1 1 η − − = ∆ − = z Ж Ж F у , (7.5) ) ( 1 1 1 д, (7.6) ) ( 1 2 2 2 2 2 z z Ж Ж F у − − = ∆ − = , (7.7) ) ( 1 2 2 2 2 д (7.8) Подставляя выражения (7.3)–(7.8) в уравнения (7.1) и (7.2), получим уравнения колебаний динамической модели. Для массы 1 m имеем ) ( ) ( 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 η + η β = − β − + + β + β + Ж z Ж z z Ж Ж z z m (7.9) Для массы 2 m имеем 0 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 = + β + + − β − z Ж z z m z Ж z (7.10) Полученные уравнения колебаний в совокупности представляют собой систему дифференциальных уравнений (в данном случае их два, так как число степеней свободы k = 2). Как видно из этой системы уравнений, колебания обеих масс связаны, так как в оба уравнения входят обобщенные координаты перемещений z , скоростей z и ускорений z. Между координатами этой системы имеется упруго-диссипативная связь. Отклонение любой из масс по своей координате вызывает появление упругих и диссипативных сил, препятствующих этому отклонению. Поэтому такая система является устойчивой. Кроме того, если задать начальной отклонение любой из масс, то колебательное движение будет затухающим из-за наличия гасителей. 7.3. Определениепарциальныхчастотколебаний Для нахождения парциальных частот рассмотрим собственные колебания упрощенной схемы, где отсутствует демпфирование (те. 1 0 β = и 2 0 β = ). В этом случае уравнения колебаний примут следующий вид для массы 1 m имеем 1 1 1 2 1 2 2 m z ( Ж Ж Ж z . + + − = 0; (7.11) для массы 2 m имеем 2 1 2 2 2 2 Ж Ж) Разделим уравнение (7.11) на массу 1 m , а уравнение (7.12) на 2 m , получим 1 ( Ж Ж ) Ж z z z m m + = − + , (7.13) 2 2 2 Ж z z ) m = − − (7.14) Величина 2 2 1 Ж является частотой собственных колебаний массы 2 m на пружине с жесткость Ж, те. это собственная частота, с которой колебалась бы масса 2 m , если бы жесткость Ж была бесконечно большой величины (риса. Частота 2 2 2 Ж соответствует собственной частоте, с которой колебалась бы масса 1 m , если бы жесткость Ж оказалась равной нулю (отрыв массы от колеса – такой случай не наблюдается, а масса 2 m оказалась закрепленной (рис. 7.2, б. 60 m 2 Ж 2 o 2 m 2 m 2 m 2 o 2 o 2 o 2 Ж 2 Ж 2 Ж 2 o 1 m 1 o 1 m 1 o 1 m 1 o 1 m 1 Ж 1 Ж 1 Ж Ж 1 а в б Рис. 7.2. Схема для определения парциальных частота Ж б – 1 2 2 Ж в – 1 2 1 2 3 ) ( m Ж Ж f + = Частота 1 2 1 2 3 ) ( m Ж Ж + = ω соответствует частоте колебаний массы 1 m , при закреплении массы рис. 7.2, в. Таким образом, по величинам 1 m , Ж , 2 m и Ж возможно получать главныекруговыечастоты собственных колебаний. Как показывает практика, погрешность таких приближенных расчетов не превышает 2 %. 7.4. Решениесистемыдифференциальныхуравнений одноосноймоделисдвумястепенямисвободы Примем в качестве исходных данных модели (см. рис. 7.1) параметры электровоза ВЛ80, а именно массу тележек 18 1 = m 18,7 т, массу кузова 2 = m 53,2 т, жесткость буксовой ступени рессорного подвешивания 16120 Ж кН/м, жесткость центральной ступени рессорного подвешивания Ж кН/м, коэффициенты относительного затухания гасителей. Параметры неровности см. формулу (3.1)]: длина волны неровности 5 = L м, высота неровности 0 b = 0,005 м. Скорость движения модели по неровности 10 = V мс (36 км/ч). 61 Программа для решения системы уравнений (7.9) и (7.10) имеет следующий вид п Начало программы, переинициализация Maple. > п Ввод параметров модели (масса тележек, масса кузова, жесткость буксовой ступени, жесткость центральной ступени) и скорости движения > m1:=18.7:m2:=53.2:G1:=16120:G2:=10640:V:=10: п Ввод относительных коэффициентов затухания гасителей колебаний > п Расчет коэффициентов диссипации гасителей буксовой и центральной ступеней подвешивания, используя относительные коэффициенты затухания > beta1:=2*n1*sqrt(m1*(G1+G2)):beta2:=2*n2*sqrt(m2*G2): п Ввод параметров и формулы неровности > L:=5:b:=0.005: п Ввод системы дифференциальных уравнений 7.10 и 7.11 > sys:=m1*diff(z1(t),t$2)+(beta1+beta2)*diff(z1(t),t)+(G1+G2)*z1(t)- beta2*diff(z2(t),t)-G2*z2(t)=beta1*diff(n(t),t)+G1*n(t), -beta2*diff(z1(t),t)-G2*z1(t)+m2*diff(z2(t),t$2)+beta2*diff(z2(t),t)+ п Решение системы дифференциальных уравнений 7.10 и 7.11 при нулевых начальных условиях, методом Лапласа > res:=dsolve({sys,z1(0)=0,z2(0)=0,D(z1)(0)=0,D(z2)(0)=0}, {z1(t),z2(t)},method=laplace): п Назначение результатов расчета > assign(res):Z1:=z1(t):Z2:=z2(t): п Построение графиков решения уравнений совместных колебаний двух масс > Взаимосвязь вертикальных колебаний двух масс можно показать на графике свободных колебаний (рис. 7.3), для этого необходимо решить уравнения (7.9) и (7.10) с нулевой правой частью ( 0 Ж, задать начальное смещение или скорость на одну из масс и построить график. При подаче начального смещения на кузов ( 2 m ) 0,01 м график свободных колебаний имеет вид, показанный на рис. 7.3. Как видно из графика, при подаче начального воздействия на одну из масс, вторая масса также начинает колебаться. Колебания носят затухающий характер из-за наличия гасителей колебания. Используя приведенную программу и изменяя параметры модели, можно провести анализ влияния различных параметров на колебания динамической модели с двумя сте- Рис. 7.3. График свободных колебаний одноосной модели с двумя степенями свободы 62 пенями свободы. Пользуясь моделью с двумя степенями свободы, можно получить более подробную информацию о динамических свойствах по сравнению с моделью с одной степенью свободы. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое парциальная динамическая система 2. Что такое парциальная частота колебаний динамической системы 3. Какие виды колебаний совершает одноосная модель с двумя степенями свободы 4. От каких параметров динамической модели зависит парциальная частота колебаний 5. Что позволяют получить парциальные частоты колебаний динамической модели Рекомендуемаялитература: [1, 4, 7]. 8. ВЫНУЖДЕННЫЕКОЛЕБАНИЯДИНАМИЧЕСКИХСИСТЕМ ВОБЛАСТИВРЕМЕНИ 8.1. Общиеположения Свободные колебания всегда затухают зато или иное время. Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему действуют внешней периодической силой, возбуждающей колебания, которые система самане совершала бы. Колебания, происходящие под действием внешней вынуждающей силы, называются вынужденнымиколебаниями. Такие колебания происходят под действием заданных внешних сил силовое возмущение) или заданных движений отдельных точек системы кинематическое возмущение – неровность. Работа внешнего возмущения над системой обеспечивает приток энергии к ней извне, который не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения. Основноеотличиевынужденныхколебанийотсвободных состоит в том, что при свободных колебаниях система получает энергию только один раз, когда она выводится из положения равновесия, а при вынужденных колебаниях энергия пополняется постоянно за счет работы вынуждающей силы. 63 Вынужденные колебания имеют ряд особенностей. Вначале, в процессе установления вынужденных колебаний, они носят сложный характер происходит наложение свободных затухающих, а также вынужденных колебаний. После того как свободные колебания прекратятся, останутся только вынужденные колебания. 8.2. Вынужденныеколебаниямоделисоднойстепеньюсвободы Уравнение колебания подпрыгивания для системы с одной степенью свободы см. подразд. 5.1, формула (5.6)] имеет вид mz z Жz Ж + β + = βη + η (8.1) Условием вынужденных колебаний является 1) присутствие внешнего возмущения (неровность пути, соответственно неравенство нулю правой части уравнения 2) начальное возмущение необязательно для совершения колебаний. Разделив все члены уравнения на массу m получим 2 2 2 св св св св+ ω = ω η + ω η (8.2) где m Ж св = ω – собственная частота свободных колебаний подрессоренной массы – m ; n – коэффициент относительного затухания (см. разд. 6). Известно, что общее решение уравнения состоит из суммы общего решения однородного ДУ (св – свободное движение) и частного решения неоднородного (в – вынужденное движение системы, те. св в (8.3) В качестве кинематического возмущения примем геометрическую неровность, описываемую уравнением [ ] 0 1 ( t ) cos t η = η − ω , (8.4) где 0 η – амплитуда неровности (3–5 мм – для пути в хорошем состоянии, 5–10 мм – для пути в удовлетворительном состоянии ω – частота вынужденных колебаний, которая определяется 2 н = π = π , (8.5) где V – скорость движениям с н – длина волны неровности, м. 64 Рассмотрим две частоты колебаний динамической системы – собственную и вынужденную. 1. Частота собственных колебаний динамической системы m Ж св = ω При постоянных параметрах динамической системы жесткости рессорного подвешивания Ж и массе надрессорного строения m – частота собственных колебаний не изменяется. 2. Частота вынужденных колебаний динамической системы н = Частота вынужденных колебаний изменяется прямо пропорционально изменению скорости движения V и обратно пропорционально длине волны неровности рельса н L График общего решения св в зависит от соотношения частот и св, и начальных условий. Рассмотрим три возможных случая соотношения частот собственных и вынужденных колебаний динамической системы. Так, при ω << св вначале движения основные колебания с частотой ω сопровождаются колебаниями большей частоты св. Затем свободное движение быстро затухает, установится процесс вынужденных колебаний с частотой ω, который называют процессом стационарных (установившихся колебаний. Также вынужденные колебания будут совпадать по фазе с возмущающей силой. Примером данного случая может служить движение подвижного состава с малой скоростью (рис. 8.1) по пути с постоянной длиной неровности и амплитудой неровности 50 мм. Колебания модели практически повторяют форму неровности, те. амплитуда колебаний примерно равна 50 мм. 65 Рис. 8.1. Вынужденные колебания при ω << св. При ω >> св на основные колебания с частотой ω также накладываются колебания с собственной частотой св, которые быстро затухают, и остается процесс стационарных колебаний. Однако, как видно из графика (рис. 8.2) амплитуда колебаний меньше, чем в первом случае. Таким образом, основное значение имеет вынужденное движение системы, те. стационарная часть. При ω >> св вынужденные колебания будут находиться в противофазе (сдвинуты по фазе на π ) по отношению к возмущающей силе. Примером данного случая может служить движение на высоких скоростях по пути с постоянной длиной неровности. Рис. 8.2. Вынужденные колебания при ω >> св. При свили св ≈ ω – это особый случай. Можно увидеть, что колебания модели (рис. 8.3) происходят с большей амплитудой, чем задает возмущение, а также имеется смещение по фазе от возмущающей силы на 2 π 66 A = 50 мм мм, Рис. 8.3. Вынужденные колебания при св ≈ Если графики колебательного процесса (подпрыгивание массы Z) при трех разных частотах возмущения представить на одном графике рис. 8.4), то видно, что при одинаковой амплитуде возмущения (50 мм) – амплитуда колебания подпрыгивания всегда разная. Отношение амплитуды колебаний модели к перемещению от амплитуды возмущения (в данном случае неровности) называется динамическийкоэффициентпере- дачи d K . Значение d K зависит от частоты возмущения, и самое большое значение будет при св = ω (й случай. Рис. 8.4. Графики колебательного процесса при разных частотах возмущения Значительное возрастание амплитуды колебаний происходит при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний св = ω , такое явление называют – резонансом, а частоту вынужденных колебаний – резонансной 67 8.3. Резонансдинамическойсистемы Резонанс (фр. resonance, от лат. resono откликаюсь) – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам, определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды – это следствие резонанса, а причина – совпадение внешней возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс – явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность. Примем, что диссипация в модели с одной степенью свободы (см. рис. 5.1) отсутствует (те. 0 = β ). Как показывает решение уравнения модели с одной степенью свободы в случае, когда ω приближается к св . Колебания имеют характер биений(рис. 8.5). Биения возникают при наличии двух гармонических колебаний с одной и той же амплитудой, нос отличающимися частотами. Разность фаз между двумя колебаниями непрерывно меняется так, что иногда амплитуды суммируются, иногда погашают друг друга. св в ω ≈ ω c , t Рис. 8.5. График колебаний при св в ω ≈ ω В случае совпадения частоты возмущающей силы ω с частотой свободных колебаний св (собственной частотой) амплитуда вынужденных колебаний, нарастая во времени, стремится к бесконечности при 0 β рис. 8.6). Это объясняется тем, что, если колебания происходят с собственной частотой, то инерционные силы уравновешиваются квазиупругими силами при любых амплитудах колебаний. Возмущающая сила оказывается при этом неуравновешенной и увеличивает амплитуду колебания. 68 Рис. 8.6. График колебаний при резонансе при разных При наличии гасителя (диссипации) амплитуда колебаний сначала увеличивается, а далее остается постоянной. Таким образом, резонансные явления подавляются гасителем колебаний. Резонанс приводит к значительным динамическим силам с последующим разрушением, повреждением механической системы или возникновения опасных напряжений, сокращающих срок ее службы. Поэтому при проектировании необходимо, по возможности, избегать резонанса. Выводы. Внешнее воздействие навязывает системе свой закон колебаний так, если неровность (возмущение) изменяется по закону синуса (или косинуса, то вынужденные колебания модели будут гармонические. Колебания длятся так долго, как долго действует возмущающая сила 2. Частота вынужденных колебаний модели равна частоте изменения вынуждающей силы. 3. Амплитуда вынужденных колебаний (подпрыгивание) тем больше, чем больше амплитуда вынуждающей силы (неровности. 4. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающего воздействия, она достигает максимального значения при совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной частотой (частотой свободных колебаний) системы. 5. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении ω к св называется резонансом. Частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, называется резонансной. 6. Между вынужденными колебаниями модели и внешним возмущением есть разность фаз φ, которая зависит от соотношения частот ω и св . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Чем отличаются вынужденные колебания от свободных 69 2. Какие колебательные процессы наблюдаются в динамической системе при ω << св 3. В каком случае амплитуда колебаний динамической модели больше при ω << свили св 4. Какие колебательные процессы наблюдаются в динамической системе при св ≈ ω ? 5. Что такое динамический коэффициент передачи 6. Что такое резонанс, и какое условие его возникновения 7. Как влияет отсутствие диссипации в условиях резонанса Рекомендуемаялитература: [1, 3, 4]. |