Бьрачч. 1. Конспект лекций, ч.1-Трофимович В.В.- ОМПС 2018. В. В. Трофимович основымеханики подвижногосостава
 Скачать 3.4 Mb.
|
|
5.2. Решениедифференциальногоуравнениямодели подвижногосоставасоднойстепеньюсвободы Решение уравнения колебания подпрыгивания (4.19) для модели с одной степенью свободы можно провести в системе математического программирования. Исходные данные для расчета масса 5 = m т, жесткость упругой связи (рессорного подвешивания) Ж кН/м, коэффициент диссипации гасителя 40 = β кНс/м. В качестве возмущения примем неровность косинусоидального вида формула (4.8)]. Параметры неровности длина волны неровности 2 = L м, высота неровности b = 0,005 м. Скорость движения модели по неровности 10 = V мс (36 км/ч). Пояснения к различным операциям программы приведены перед каждой командной строкой и к программе не относятся. Командная строка обозначена знаком «>». Строка с пояснениями обозначена знаком п. Поэтому при составлении программы расчета пояснения можно опустить. Программа для решения уравнения (5.6) имеет следующий вид п Начало программы, переинициализация Maple. > п Ввод параметров модели (масса, жесткость, коэффициент гасителя) и скорости движения > п Ввод параметров неровности (длина неровности и высота) > L:=2:b:=0.005: 35 п Ввод формулы неровности (формула 2.8) > n(t):=b*(1-cos(2*Pi*V*t/L)): п Ввод уравнения колебания (формула 2.19) > du:=m*diff(z(t),t$2)+beta*diff(z(t),t)+G*z(t)=beta*diff(n(t),t)+G*n(t): п Решение дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях > res:=dsolve({du,z(0)=0,D(z)(0)=0},z(t)): п Назначить результат решения assign(res): Z:=z(t): п Построение графика решения и формы неровности на интервале от 0 до 2 секунд > plot([Z,n(t)],t=0..2, color=[blue,black]); п Построение графика вертикальной скорости и ускорения на интервале от 0 до 2 секунд > Как видно из графиков (рис. 5.2, 5.3) собственные колебания модели при наличии гасителя колебаний быстро затухают, ив системе устанавливаются колебания, поддерживаемые вынужденной силой (неровностью) с частотой в. Гаситель колебаний предохраняет динамическую систему от возникновения резонансных явлений. м t z ), ( ) (t n ) (t z c , t Рис. 5.2. Графики неровности η(t) и подпрыгивания массы z(t) см см. 5.3. Графики вертикальной скорости и ускорения подпрыгивания массы m Графики построены для фиксированных исходных данных. Изменяя параметры модели, можно провести анализ влияния жесткости, коэффициента диссипации, массы, скорости движения и параметров неровности на колебания динамической модели с одной степенью свободы. 36 5.3. Уравнениеколебаниймоделисоднойстепеньюсвободы присиловомвозмущении Вертикальные колебания массы m могут возникать не только в результате движения колеса по неровностям рельса, но ив том случае если на указанную массу действует внешняя возмущающая сила в, появляющаяся при работе мотор-компрессоров, мотор- вентиляторов, дизельной установки и других элементов оборудования. В этом случае имеет место силовой способ задания возмущения и соответствующая расчетная схема (рис. 5.4). Обозначения, принятые для этой схемы, аналогичны обозначениям на рис. 5.1. Принято, что кинематическое возмущение отсутствует, а закон изменения силового возмущения в во времени задан. Согласно принципу Даламбера, уравнение вертикальных колебаний динамической модели имеет вид в д у ин F F F F . (5.7) Так как кинематическое возмущение отсутствует, то упругая и диссипативная силы см. формулы (5.2) и (5.3)] определяются соответственно Жz Ж F у − = ∆ − = , (5.8) д) Сила инерции определяется по формуле (5.1). Подставим выражения (5.1), (5.8) ив уравнение колебаний (5.7). Получим следующее уравнение в F Жz z z m = + β + (5.10) Решение данного уравнения позволяет решать задачи виброзащиты силового оборудования локомотивов при вращении несбалансированных частей. Рис. 5.4. Плоская модель ПС с одной степенью свободы при силовом возмущении 37 5.4. Составлениеуравненийвертикальныхколебаниймодели подвижногосоставасдвумястепенямисвободы прикинематическомвозмущении (упругийпуть) Составим уравнения колебаний для модели ПС в виде подрессоренной массы – кузова (одноступенчатое РП), движущейся по деформированному пути с кинематическим возмущением (неровностью) (рис. 5.5). Неровность вызывает вертикальные колебания КП и кузова, которые характеризуются двумя обобщенными координатами z 1 (подпрыгивание КП и пути) и z 2 (подпрыгивание кузова. Допущения 1) путь считается упругим (принята дискретная модель пути, а именно – инерционные, упругие и диссипативные свойства пути моделируются приведенной массой пути п, перемещающейся вертикально вместе с колесной парой и прикрепленной к основанию с помощью упруговязкой связи с параметрами п Ж (вертикальная жесткость пути) и п β (диссипация пути 2) жесткость Ж и коэффициент затухания являются эквивалентными характеристиками рессорного подвешивания. Дано 1) масса 2 m – масса кузова, т 2) масса 1 m – масса КП, т 3) жесткость Ж пружины рессорного подвешивания, кН/м; 4) коэффициент затухания β гасителя рессорного подвешивания, кНс/м; 5) приведенная масса пути п, т 6) жесткость пути п Ж , кН/м; 7) диссипация пути п, кНс/м; 8) закон изменения неровности пути ( t ) η (амплитуда и длина волны неровности. Требуетсянайти : законы изменения обобщенных координат. Рис. 5.5. Модель с двумя степенями свободы при кинематическом возмущении на упругом пути 38 1. Вертикальное перемещение КП и пути (подпрыгивание КП и пути – 1 z ( t ) , м. 2. Вертикальное перемещение центра масс кузова (подпрыгивание кузовам. Если задавать перемещение массы 2 m вверх, тона нее будут действовать силы (рис. 5.6): – сила инерции 2 m ин F (направленная против ускорения – реакция элементов рессорного подвешивания По принципу Даламбера уравнениеколебанийдлямассы 2 m (кузова) имеет вид 2 0 m ин F R + = . (5.11) Сила инерции определяется 2 2 2 m ин F m z = − . (5.12) Реакция рессорного подвешивания состоит из упругой и диссипативной составляющих и определяется у д R F F = + . (5.13) Сила упругости (в пружине) определяется (5.2): у F Ж Ж ( z ) = − ∆ = − − Сила диссипации (в гасителе) определяется д z ) = −β∆ = −β − Задавая перемещение массы 1 m вверх, учитывая, что реакция элементов РП действует в противоположном направлении R ′ , можно предположить, что на массу 1 m (КП) будут действовать силы – суммарная сила инерции п ин F + (от КП и пути – реакция элементов рессорного подвешивания R ′ , равная R со знаком реакция пути (включающая упругую и диссипативную составляющую. Уравнениеколебанийдлямассы 1 m (КП) имеет вид 1 п ин п) Рис. 5.6. Силы, действующие в модели 39 Суммарная сила инерции (КП и пути) определяется 1 1 1 1 m m п m m п ин ин ин п п z m z + = + = − − (5.15) Реакция пути определяется п п пуд) Сила упругости пути определяется у п п F Ж z = − (5.17) Сила диссипации пути определяется д п п −β (5.18) Для определения сил и реакций необходимо определить прогибы рессорного подвешивания и пути. Из схемы (рис. 5.6) следует, что прогиб РП определяется 2 1 z z ∆ = − (5.19) Прогиб пути п η (5.20) Уравнениеколебанийдлямассы 2 m (кузова) будет иметь вид 2 2 2 1 2 1 0 m z ( z z Ж z z ) − − β − − − = (5.21) После преобразований будем иметь 2 2 2 2 1 1 0 m z z Ж z z Ж z + β + − β − = (5.22) Уравнениеколебанийдлямассы 1 m (КП) будет иметь вид 1 1 1 2 1 2 1 1 п п п m z m ( z ) ( z z Ж z z ) ( Ж z ) + − η − β − − − + β − η + − η = . (5.23) После преобразований будем иметь = − β − + + β + β + + 2 2 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( Жz z z Ж Ж z z m m n n n η + η β + η n n n Ж m (5.24) Полученные уравнения (5.22) и (5.24) представляют собой систему уравнений, решая которую можно определить законы изменения обобщенных координата именно подпрыгивание КП и пути – 1 z ( t ) и подпрыгивание кузова – 2 z ( t ) 40 5.5. Уравненияколебаниймоделиплоского двухосногоэкипажа (тележки) Пользуясь такой моделью (рис. 5.7), можно получить более подробную информацию о динамических свойствах ПС. Появляется возможность учесть, кроме подпрыгивания, еще и колебания галопирования, а также неодно- временность задания (запаздывания) возмущения под две колесные пары. В модели масса m (тележка) совершает колебания подпрыгивания z и галопирования – они и приняты за обобщенные координаты. Причиной колебаний являются возмущения ) ( 1 t η и ) ( 2 t η передаваемые через первую и вторую колесные пары. z x y ) t ( 1 2 V a т o Ж Ж 1 Рис. 5.7. Плоская модель двухосного экипажа Допущения 1) принято идентичное возмущение (неровность) под левыми правым колесом колесной пары, поэтому расчетная схема может быть сведена к плоской 2) рама тележки и колесные пары считаются абсолютно жесткими телами, а их массы сосредоточены в центрах масс 3) жесткость Ж и коэффициент затухания β являются эквивалентными характеристиками элементов рессорного подвешивания. Дано 1) масса тележки – m , т 41 2) момент инерции тележки относительно оси у – y J , тм 2 ; 3) жесткость пружин рессорного подвешивания – Ж , кН/м; 4) коэффициент затухания гасителя рессорного подвешивания – β , кНс/м; 5) жесткая база тележки – т, м 6) закон изменения неровности пути ) (t η (амплитуда и длина волны. Найти законы изменения обобщенных координат. 1. Вертикальное перемещение тележки подпрыгиванием. Угловое перемещение тележки (галопированием. Введем понятие «транспортноезапаздывание». При движении тележки с поступательной скоростью V неровность ) ( 2 t η повторяет неровность ) ( 1 t η , через некоторое время τ , называемое транспортнымзапаздыванием . Это время определяется скоростью движения и расстоянием между осями колесных парт, тет) Поэтому выражения для неровностей под первой и второй колесной парой можно записать в следующем виде ) ( ) ( 1 t t η = η , (5.26) ) ( ) ( 2 τ − η = η t t , (5.27) где ) (t η – единичное возмущающее входное воздействие. Составим уравнения колебаний плоской модели ПС (тележка, показанной на рис. 5.7. Уравнениеколебанияподпрыгивания с использованием принципа Даламбера имеет следующий вид 0 2 2 дуду инiFiiFiiFiiFiiFi, (5.28) 1 2 0 ин F R R + + = Силы, входящие в уравнение определяются сила инерции z m F ин − = , (5.29) реакции РП в точках 1 и 2 состоят из упругой и диссипативной составляющих и определяются 1 у д, (5.30) 42 2 2 у д (5.31) Для вывода уравненияколебаниягалопирования необходимо составить уравнение моментов относительно оси y, проходящей через центр тяжести экипажа О. Уравнение будет иметь следующий вид 0 2 2 дуду инiMiiMiiMiiMiiMi, (5.32) 1 2 0 ин т т M R a R Момент инерции, входящий в уравнение, определяется y y ин I M ϕ − = , (5.33) где y I – момент инерции массы m относительно оси y. Силы упругости и диссипации, входящие в реакции РП для й и й точки определяются 1 1 у F Ж = − ∆ , (5.34) 1 д −β∆ , (5.35) 2 2 у F Ж = − ∆ , (5.36) 2 д −β∆ (5.37) Для определения указанных сил необходимо найти прогибы РП ( 1 ∆ и 2 ∆ ). Воспользуемся схемой (рис. 5.8). Рис. 5.8. Плоская модель двухосного экипажа Перемещения в точках 1 и 2 складываются из колебаний подпрыгивания z и вертикальных составляющих угловых колебаний галопирования y ϕ , тет т (5.39) С учетом малости угла y ϕ , те. y y sin ϕ ϕ = , выражения (5.38) и (5.39) примут следующий вид т, (5.40) т (5.41) Прогибы РП в точках 1 и 2 определяются 1 1 1 z ∆ = − η , (5.42) 2 2 2 z ∆ = − η (5.43) Силы упругости и диссипации, входящие в реакции РП для точек 1 и 2 см. (5.30) и (5.31)] с учетом прогибов РП определяются 1 у т Ж z a ) = − + φ − η , (5.44) 1 д тут Ж z a ) = − − φ − η , (5.46) 2 д т y F ( z a ) = −β − φ − η (5.47) Подставим выражения (5.44)–(5.47) в уравнение вертикальных колебаний, получим + η − ϕ + β + η − ϕ + + ) ( ) ( 1 1 y т y т a z a z Ж z m 0 ) ( ) ( 2 2 = η − ϕ − β + η − ϕ − + y т y т a z a z Ж (5.48) Раскрывая скобки и выполняя преобразования с подобными слагаемыми, получим окончательное уравнение колебания подпрыгивания ) ( ) ( 2 2 2 1 2 1 η + η + η + η β = + β + Ж Жz z z m (5.49) Подобным образом получается уравнение колебания галопирования т y т т т у у a Ж Жa Жza a F M 1 2 1 1 η + ϕ − − = = , (5.50) т y т т т д д a a a z a F M 1 2 1 1 η β + ϕ β − β − = = , (5.51) т y т т т у у a Ж Жa Жza a F M 2 2 2 2 η + ϕ + − = = , (5.52) 44 т y т т т д д a a a z a F M 2 2 2 2 η β + ϕ β + β − = = (5.53) Подставим выражения (5.50)–(5.53) в уравнение колебания галопирования) и выполняя преобразования с подобными слагаемыми, как это сделано в уравнении подпрыгивания, получим окончательное уравнение колебания галопирования 2 2 1 2 1 2 2 2 y y т y т y т т I a a Ж a (Ж ( ) φ + βφ + φ = β η − η + η − η (5.54) Таким образом, колебания рассматриваемой модели описываются двумя уравнениями (5.49) и (5.54). Как видно из этих уравнений, колебания галопирования и подпрыгивания плоской двухосной модели не связаны. Эта модель позволяет получить разные значения ускорений и перемещений по длине экипажа и различные показателидинамики в комплектах рессорного подвешивания, что в большей мере соответствует реальным схемам. 5.6. Решениесистемыдифференциальныхуравнениймодели плоскогодвухосногоэкипажа Исходные данные для расчета масса экипажа 50 = m т, момент инерции экипажа 815 = y I тм 2 , жесткость рессорного подвешивания Ж = 5300 кН/м, коэффициент диссипации гасителя 300 = β кНс/м, половина жесткой базы т м. Параметры неровности формула (3.1)]: длина волны неровности L = 20 м, высота неровности b = 0,005 м. Скорость движения модели по неровности 10 = V мс (36 км/ч). Программа для решения системы уравнений (5.49) и (5.54) имеет следующий вид > п Ввод параметров модели, неровности и скорости движения > m:=50:Iota:=815:G:=5300:at:=3.75:beta:=300: п Расчет транспортного запаздывания (формула 5.25) > tau:=2*at/V: п Ввод формулы неровности для первой колесной пары и для второй с учетом запаздывания > n1(t):=b*(1-cos(2*Pi*V*t/L)): n2(t):=b*(1-cos(2*Pi*V*(t-tau)/L)): п Ввод системы дифференциальных уравнений (формулы 5.49 и 5.54) > sys:=m*diff(z(t),t$2)+2*beta*diff(z(t),t)+2*G*z(t)= =beta*(diff(n1(t),t)+diff(n2(t),t))+G*(n1(t)+n2(t)), |