Бьрачч. 1. Конспект лекций, ч.1-Трофимович В.В.- ОМПС 2018. В. В. Трофимович основымеханики подвижногосостава
 Скачать 3.4 Mb.
|
|
9. ВЫНУЖДЕННЫЕКОЛЕБАНИЯДИНАМИЧЕСКИХСИСТЕМ 9.1. Понятиеовозмущенномдвижениииметодахисследования вынужденныхколебаний Если внешнее воздействие представляет собой процесс конечной или бесконечной длительности, то движение системы называют вынужденным. При конечном времени внешнего воздействия в системе происходят неустановившиесяколебания (движение по одиночной неровности, движение в переходной кривой, трогание с места и торможение. При бесконечном времени действия возмущений в механической системе могут возникать установившиесяколебания(при непрерывном движении в тече- нее длительного времени по пути с геометрическими неровностями. При рассмотрении установившихся процессов движения в системе с демпфированием считается, что все переходные процессы, обусловленные свободными колебаниями, прекратились (затухли. Для нахождения неизвестных обобщенных координат используются определенные методы. 1. Аналитическоерешение, те. непосредственный подбор аналитического выражения. Применяется при числе степеней свободы более двух. 2. Интегрированиесистемы уравнений на ЭВМ. Используют для линейных и нелинейных систем при любом числе степеней свободы. При этом генерируют заданный вид возмущения, и интегрируя систему, получают графики изменения всех выходных координат. 3. Операторныйметод. Находят изображение реакции по передаточной функции системы. 70 4. Частотныйметод. Используется для исследования установившихся вынужденных колебаний линейных систем любого порядка. Для исследования динамики ПС наиболее приемлемыми методами, являются непосредственное интегрирование на ЭВМ и частотный метод. 9.2. Частотныйметодисследованиявынужденныхколебаний напримеремоделисоднойстепеньюсвободы прикинематическомвозмущении В качестве возмущений рассматриваются факторы, математическое описание которых может быть задано стой или иной степенью точности некоторыми определенными функциями. Рассмотрим сущность частотного метода исследования колебаний. При исследовании колебаний частотным методом основной задачей является – получениеаналитическоговыраженияколебательногопро- цессапридвижениипопутисаналитическизаданнымвозмущением Для определения этого аналитического выражения служат частотные характеристики (ЧХ) динамической системы, которая связывает заданный конкретный колебательный процесс (перемещения z , скорости z , ускорения и силы) с конкретно заданным возмущением. Для получения ЧХ необходимо иметь уравнение колебаний и преобразовать его таким образом, чтобы левая часть содержала полином, описывающий собственные колебания, а правая полином, описывающий возмущающие воздействия. ЧХ системы будет представлять собой отношение полинома правой части к полиному левой. ЧХсистемыпоказывает, какимобразомдинамическаясистема преобразуетпоамплитудеифазевходныеобобщенныесилывобоб- щенныекоординаты. Рассмотрим получение ЧХ для модели с одной степенью свободы. Для получения ЧХ необходимо иметь уравнение колебаний, которое для модели с одной степенью свободы при движении по неровности пути в области времени имеет следующий вид см. подразд. 5.1, формула (5.6)]: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t Ж t t Жz t z t z m η + η β = + β + (9.1) Преобразуем уравнение (9.1) в операторную форму. Для перехода из временной области в частотную используем следующие выражения z( t ) z( j ) → ω , (9.2) z( t ) j z( j ) → ω ω , (9.3) 71 2 z( t ) z( j ) → −ω ω (9.4) В соответствии си) уравнение (9.1) примет вид ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ω η + ω ωβη = ω + ω ωβ + ω ω − j Ж j j j Жz j z j j z m (9.5) Вынесем за скобки постоянные множители, получим ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ω η + ωβ = ω + ωβ + ω − j Ж j j z Ж z j m (9.6) Для получения ЧХ необходимо многочлен правой части (9.6) разделить на многочлен левой Ж j m Ж j j W z + ωβ + ω − + ωβ = ω − η 2 ) ( (9.7) Выражение (9.7) представляет собой ЧХ, связывающую возмущение η с обобщенной координатой (вертикальное перемещение z). С учетом (9.7) уравнение (9.6) примет вид ) ( ) ( ) ( ω η ω = ω − η j j W j z z . (9.8) ЧХ системы с одной степенью свободы можно показать в виде функциональной схемы, показанной на рис. 9.1. Из приведенной схемы следует, что ЧХ системы показывает, каким образом динамическая система преобразует 1 x или входное возмущение. Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, тона выходе будет также периодический сигнал той же частоты, нов общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта и определяют частотныехарактеристики В обозначении ЧХ присутствуют два индекса 1 x и 2 x – ) ( 2 В качестве 2 x могут быть приняты абсолютные координаты (перемещения z , скорости z , ускорения z ), а также относительные координаты перемещения, скорости ∆ , ускорения ∆ ) и силы, возникающие в рессорном подвешивании. ЧХ для всех указанных выходных координат получают с использованием ЧХ связей и ранее выведенной ЧХ ) ( ω − η j W z 9.3. Частотныехарактеристикисвязей ) j ( W ω η = 1 x z x 2 = Рис. 9.1 Структурная схема колебаний х – входное воздействие х – выходная координата 72 В подразд. 9.2 было рассмотрено получение ЧХ связывающей входную координату (возмущение η ) и выходную координату (вертикальное перемещение подпрыгивание z). Чтобы найти выходные координаты, представленные скоростями или ускорениями, необходимо использовать ЧХ связей (рис. 9.2). z W ( j ) η− ω η z z z W ( j ) − ω z z z W ( j Рис. 9.2. ЧХ связей Найдем соответствующие ЧХ системы, связывающие абсолютные перемещения массы z с ее абсолютными скоростями z и ускорениями z: ω = ω ω ω = ω ω = ω − j j z j z j j z j z j W z z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , (9.9) 2 ) ( ) ( ) ( ω − = ω ω = ω − j z j z j W z z (9.10) Для получения ЧХ, связывающих входную координату с выходными z и z , необходимо умножить ЧХ формула (9.7)] на соответствующую характеристику связи, получим Ж j m j Ж j j W j W j W z z z z + ωβ + ω − ω + ωβ = ω ⋅ ω = ω − − η − η 2 ) ( ) ( ) ( ) ( , (9.11) Ж j m Ж j j W j W j W z z z z + ωβ + ω − + ωβ ω − = ω ⋅ ω = ω − − η − η 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( (9.12) Для получения ЧХ относительных координат ( ∆ , ∆ и ∆ ) необходимо выразить относительное перемещение массы m через абсолютное перемещение и амплитуду неровности ) ( ) ( ) ( ω η − ω = ω ∆ j j z j (9.13) 73 Заменив в этом выражении ) j ( z ω выражением (9.8), получим ] 1 ) ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( − ω ω η = ω η − ω η ⋅ ω = ω ∆ − η − η j W j j j j W j z z (9.14) ЧХ, связывающая ) j ( ω η с выходной координатой ) j ( ω ∆ имеет вид Ж 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( (9.15) Получение ЧХ, связывающих входную координату с выходными ∆ и ∆ , выполняется аналогично как и для абсолютных координат. Для получения ЧХ силы в рессорном подвешивании необходимо представить выражение этой силы. Сила в рессорном подвешивании определяется суммой упругих и диссипативных составляющих д у (9.16) С учетом формул (2.1), (2.2) и (9.13) будем иметь ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω η ω ωβ + = ω ∆ ωβ + ω ∆ = ω ∆ − η j j W j Ж j j j Ж j F (9.17) Таким образом, выражение ЧХ для силы в рессорном подвешивании при кинематическом возмущении имеет вид Ж j m m j Ж j W j Ж j W F + ωβ + ω − ω ωβ + = ω ωβ + = ω ∆ − η − η 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( (9.18) Полученные ЧХ позволят исследовать свойства динамических систем, те. получить информацию об амплитуде и фазе колебаний. Для этого из ЧХ необходимо получить АЧХ и ФЧХ. 9.4. Частотныехарактеристикидинамическойсистемы присиловомвозмущении При расчете виброзащиты от силовых возмущений, связанных с вращением неуравновешенных частей, также можно использовать модель с одной степенью свободы. ЧХ перемещений в такой модели получим, используя уравнение колебаний см. формулу (5.10)] и переходя из временной области в частотную ) ( ) ( ) ( 2 ω = ω + ωβ + ω − j F j z Ж z j m в (9.19) Сравнивая полученное выражение при силовом возмущении и аналогичное ранее полученное при кинематическом возмущении см. формулу (9.6)], 74 можно сделать вывод, что левые части этих выражений одинаковы, а правые различны. Поэтому динамические свойства также будут различны. ЧХ будет иметь следующий вид Ж j m j W z F в + ωβ + ω − = ω − 2 1 ) ( (9.20) Выражение (9.20) можно записать как ) ( ) ( ) ( ω ω = ω − j F j W j z в z F в (9.21) Для задач виброзащиты силового оборудования локомотивов (дизель- генераторные установки, мотор-компрессоры и т.д.) частота силового возмущения зафиксирована, как правило, в определенном диапазоне. Поэтому во избежание резонанса жесткостивиброзащитныхэлементовв такихслучаяхвыбираютбольшими , так чтобы собственная частота системы значительно превосходила рабочие частоты. Здесь влияние жесткости на динамические свойства противоположно ее влиянию в схемах с кинематическим характером возмущения. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие методы используют для нахождения обобщенных координат 2. Какая основная цель частотного метода 3. Каким образом находят ЧХ системы 4. Что показывает ЧХ динамической системы 5. Для чего используются ЧХ связей и каких находят 6. Как получить ЧХ системы при силовом возмущении 7. Как выбирают жесткость виброзащитных элементов силового оборудования локомотива Рекомендуемаялитература: [1, 2, 4]. 10. МЕТОДИКАПОЛУЧЕНИЯВЫРАЖЕНИЙАМПЛИТУДНЫХ ЧАСТОТНЫХИФАЗОВЫХЧАСТОТНЫХХАРАКТЕРИСТИК 10.1. Общиеположения Имея выражение ЧХ в комплексной форме можно в дальнейшем получить формулы для амплитудной частотной характеристики (АЧХ) и фазовой частотной характеристики (ФЧХ) динамической системы. Для этого необходимо отделить вещественные части от мнимых в выражениях ЧХ. 75 Построение графиков ЧХ необходимо производить на комплексной плоскости, что при большом числе степеней свободы теряет наглядность. Поэтому для получения АЧХ и ФЧХ необходимо использовать соответствующую ЧХ, преобразовав ее таким образом, чтобы в числителе и знаменателе содержалось по одному комплексному числу с явно выраженной действительной и мнимой частью. Известно, что комплексную функцию (те. ЧХ) ) j ( W ω можно представить в показательной форме ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ϕ ω = ω + ω = ω j e A jQ P j W , (10.1) где ) ( ω P – действительная часть ЧХ; ) ( ω Q – мнимая часть ЧХ; ) ( ω A – модуль ЧХ или амплитудная частотная характеристика (АЧХ); ) ( ω ϕ – фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Функции ) ( ω A и ) ( ω ϕ рассчитываются по формулам ) ( ω ϕ : ) ( ) ( ) ( 2 2 ω + ω = ω Q P A , (10.2) ) ( ) ( ) ( ω ω = ω ϕ P Q arctg (10.3) Характеристики АЧХ и ФЧХ можно построить в обычных координатах и по построенным графикам анализировать динамические свойства системы. 10.2. Амплитудныечастотныеифазовыечастотные характеристикисистемысоднойстепеньюсвободы Рассмотрим для примера методику получения АЧХ и ФЧХ системы с одной степенью свободы при кинематическом возмущении для выходной координаты (вертикальное перемещение массы m). Для этого используется выражение ЧХ модели с одной степенью свободы (9.7), которое имеет вид Ж j Ж + ω = − ω + ωβ +В выражении ЧХ числитель и знаменатель содержит по одному комплексному числу с явно выраженной действительной и мнимой частью. А именно действительная часть числителя чис P ( ) Ж ω = ; мнимая часть числителя чис Q ( ) ω = ωβ ; действительная часть знаменателя 2 m зн P (Ж = − ω ; 76 мнимая часть знаменателя зн Q ( ) ω = Найдем АЧХ числителя, используя формулу (10.2): 2 2 2 2 Ж чис чис чис A ( ) P ( ) Q ( ) ( ) ( ) ω = ω + ω = + ωβ , (10.4) АЧХ знаменателя 2 2 2 2 Ж зн зн зн A ( ) P ( ) Q ( ) ( ) ( ) ω = ω + ω = ω + ωβ (10.5) АЧХмодели будет представлять отношение чис A ( ) ω к зн A ( ) ω , те. отношение амплитуд 2 2 2 2 2 Ж Ж-m чис z d зн A ( ) ( ) ( ) A ( ) K A ( ) ( ) ( ) η− ω + ωβ ω = = = ω ω + ωβ (10.6) Данное отношение называют динамическимкоэффициентомпереда- чи d K , так как его значение зависит от частоты возмущения. АЧХпоказывает, какдинамическаясистемапреобразуетампли- тудувходноговоздействия (возмущения. А также АЧХ показывает, во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот рис. 10.1). На графике АЧХ по оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат отношение амплитуд выходного и входного сигналов системы. Для получения ФЧХ, при использовании формулы (10.3), найдем • фазу числителя выражения чис чис z чис Q ( ) ( ) arctg arctg P ( ) Ж η− ω ωβ φ ω = = ω ; (10.7) • фазу знаменателя 2 m зн зн z зн Q ( ) ( ) arctg arctg P (Ж = = ω − ω (10.8) ФЧХ будет иметь вид чис зн z z z ( ) ( ) ( ) η− η− η− φ ω = φ ω − φ ω (10.9) z A ( ) A (Рис. 10.1. Структурная схема АЧХ 77 ФЧХпоказывает, какдинамиче- скаясистемапреобразуетфазу входноговоздействиявзависимо- стиотчастоты. А также ФЧХ – это зависимость разности фаз между выходными входным сигналами от частоты сигнала рис. 10.2) (зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе системы от частоты гармонических колебаний на входе. 10.3. Получениеамплитуднойчастотнойифазнойчастотной характеристикспомощьюпрограммы Maple Используя программу Maple, можно получить АЧХ и ФЧХ различных моделей, не делая промежуточных преобразований. Рассмотрим получение АЧХ и ФЧХ для модели с одной степенью свободы (см. рис. 5.1), вводя в формулы относительный коэффициент демпфирования гасителя n формула (6.6)] и собственную частоту колебаний m Ж св = ω . Разделим числитель и знаменатель ЧХ формула (9.7)] на массу m с учетом n и св , получим 2 2 2 св св z св св n W j j n η ω ω ω ω ω ω ω ω − + = − + (10.10) Программа для нахождения АЧХ и ФЧХ для модели с одной степенью свободы с использованием выражения ЧХ формула (10.10)] имеет следующий вид п Начало программы, переинициализация Maple. > п Ввод параметров модели (масса - |