Бьрачч. 1. Конспект лекций, ч.1-Трофимович В.В.- ОМПС 2018. В. В. Трофимович основымеханики подвижногосостава
 Скачать 3.4 Mb.
|
|
12. КОЛЕБАНИЯПРИСЛУЧАЙНЫХВОЗМУЩЕНИЯХ 12.1. Характеристикистационарныхслучайныхпроцессов Возмущения, вызывающие колебания ПС, являются случайными, так как колебания вызываются множеством факторов в основном случайного характера (неровности на поверхности рельсов и бандажей, жесткость рельсового пути. Анализ фактических записей неровности рельсового пути показывает, что они носят случайный и непрерывный характер и аналитическое их описание возможно лишь с помощью теории случайных процессов. Случайнымпроцессом называется бесконечная совокупность функций времени, значения которых в произвольный момент времени могут быть любыми (являются случайными величинами. Случайнаявели- чина – это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Отдельная функция времени из этой совокупности представляет собой реализацию случайного процесса (графическое изображение. 90 Рассмотрим три реализации случайного процесса (рис. 12.1). Главное отличие реализаций заключается в том, что при их наложении они не совпадают. Большое значение при исследовании случайных колебаний имеет правильный выбор длины реализации. Результаты испытаний свидетельствуют о том, что удержать постоянную скорость подвижного состава более секунд невозможно. Поэтому в расчетах принимают время реализации р с. X t t 1 x 1 x 2 x 3 t 2 x 3 x 2 x 1 x N m X-t1 N m X-t2 m X (t) x Рис. 12.1. Реализации случайного процесса На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не меняется существенно стечением времени. Такие случайные процессы называются стационарными. В каждый момент времени n t t t , 2 1 значения реализаций можно рассматривать как совокупность значений случайных величин x . Для описания этих совокупностей используются следующие неслучайные функции. 1. Математическоеожидание случайной функции ) (t x – неслучайная функция ) (t m x , которая при каждом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения совокупности случайных функций [ ] ) ( ) ( t x M t m x = (12.1) По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом располагаются конкретные реализации случайной функции (см. рис. 12.1, кривая ) (t m x ). 91 2. Дисперсия случайной функции ) (t x – это неслучайная функция ) (t D x , значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения совокупности случайных функций [ ] ) ( ) ( t x D t D x = (12.2) Дисперсия случайной функции при каждом t характеризует разброс рассеяние случайной величины) возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, степени случайности случайной функции. Дисперсия измеряется в квадратах единиц измерения случайной величины (средний квадрат отклонений. 3. Среднеквадратическоеотклонение (сигма случайной функции ) (t x σ – показатель рассеивания значений случайной величины относительное математического ожидания. Определяется как квадратный корень из дисперсии ) ( ) ( t D t x x = σ (12.3) Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения случайной величины. 4. Корреляционнаяфункция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным моментам времени (рис. 12.2). Другими словами – это степень похожести функций. Корреляционной функцией случайной функции ) (t x называется неслучайная функция двух аргументов К, которая при каждой паре значений τ + t t , равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции ( ) ( ) [ ] τ + = τ + t x t x М t t К x , ) , ( , (12.4) где x – центрированная случайная функция, определяемая как ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ; ) ( τ + − τ + = τ + − = t m t x t x t m t x t x x x (12.5) При 0 = τ корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции, те ) t D t x М t t К x x = = ] [ ) , ( 2 (12.6) Рис. 12.2. Случайная функция 92 5.Спектрколебательногопроцесса. Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых гармоник, то функция, описывающая распределение амплитуд по различным частотам, называется спектромколебательного процесса. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура. Совершенно аналогичное спектральное описание можно дать и стационарному случайному процессу, вся разница в том, что для случайного процесса амплитуды колебаний будут случайными величинами. Спектр стационарной функции будет описывать распределение дисперсий по разным частотам. Распределение такого рода называется спектральнымразложением стационарной случайной функции. Характеристика, описывающая частотный состав стационарного процесса, называется спектральнойплотностью x G ( ) ω ( ) 0 1 x x G (К = τ ωτ τ π ∫ (12.7) Размерность спектральной плотности равна квадрату размерности случайного процесса, умноженной на секунду. В соответствии с этим физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение энергии случайного процесса по частотам спектра. Возмущения, возникающие при движении железнодорожного экипажа по рельсовому пути, являются случайными. Колебания подрессоренных масс экипажа, движущегося по случайным неровностям рельсового пути, также представляют собой стационарный случайный процесс. Статистические характеристики этого процесса могут быть установлены по статистическим характеристикам входного возмущения и АЧХ динамической системы. Спектральная плотность выходных координат линейной динамической системы (реакция динамической системы) определяется по формуле 2 ( ) ( ) ( ) z z G A G − = η η ω ω ω , (12.8) где G ( ) η ω – спектральная плотность входного возмущения ) ( ω − η z A – АЧХ динамической системы, связывающая возмущение и выходные координаты. 12.2. Статистическиехарактеристикислучайноговозмущения Определение характеристик колебаний динамической системы при случайном возмущении относится к задачам вынужденных колебаний. Для исследования вынужденных колебаний необходимо располагать характеристиками неровностей пути, выступающих в роли возмущения. 93 Многочисленные работы, проведенные в России и за рубежом в области изучения неровностей пути, показывают, что они носят сложный характер и имеют в своем составе как периодические составляющие, кратные по длине рельсовому звену, таки случайные составляющие с широким спектром частот. В связи с этим непостоянство свойств пути по длине практически эквивалентно некоторой случайной геометрической неровности. Все это позволяет в качестве возмущающей функции принять некоторую эквива- лентнуюгеометрическуюнеровность , которая приближенно учитывает все причины, вызывающие появления колебаний ПС. До последнего времени в качестве возмущения использовали детерминированные усредненные геометрические неровности, обусловленные просадкой стыков. На основе экспериментов Н.Н. Кудрявцева эти неровности подразделяют на одно- и двугорбые, период которых определяется длиной рельсового звена, те им. Наиболее часто при расчетах применяли одногорбую неровность, описываемую уравнением [ ] t t ω − η = η cos 1 ) ( 0 , (12.9) где 0 η – амплитуда неровности ( 5 3 0 − = η мм – для пути в хорошем состоянии мм – для пути в удовлетворительном состоянии ω – круговая частота, н 2 ; V – скорость движения н – длина волны неровности. Однако модели, применяемые для описания колебательных процессов в локомотиве, должны обеспечивать возможность получения достаточно точных результатов, те. колебательные процессы, определенные в результате расчета на моделях, должны быть близки к результатам эксперимента на движущемся локомотиве. Поэтому статистические характеристики эквивалентной геометрической неровности получают экспериментально при записи ускорений букс колесных парили их абсолютных перемещений (перемещений букс относительно земли. В течение ряда лет производилась статистическая обработка экспериментальных данных с целью определения некоторых эталонных спектральных характеристик эквивалентной геометрической неровности. Полученное аналитическое выражение спектральной плотности можно принять в качестве возмущения для модели, которое имеет случайный характер. Функция спектральной плотности (ФСП) эквивалентной геометрической неровности, мГц, определяется следующим выражением [1, 14]: 94 ( ) ( ) ( ) ∑ n i i i i i i i V c V b V c V b V c a S G 1 2 2 2 2 2 2 2 4 exp 4 exp 2 = η η + ω − + − ω − π = ω , (12.10) где 2 η S – дисперсия эквивалентной геометрической неровности i a – доля дисперсии случайного процесса, приходящаяся на й максимум спектральной плотности i c – половина ширины го максимума на половине его высоты i b – частота го максимума ФСП; V – скорость движениям с i = 1, 2,… n – количество одновершинных составляющих ФСП ( n = 4). ФизическийсмыслФСП неровности состоитвтом, чтоонаха- рактеризуетраспределениеэнергиислучайногопроцессапочастотам спектраиможетрассматриватьсякакплотностьдисперсии. Дан- наяэнергияподаетсявдинамическуюсистемуииграетрольвозмуще- ниядлямодели. Поэтому площадь, ограниченная функцией ( ) ω η G и осью частот, равна дисперсии случайного процесса. Общий вид графика ФСП эквивалентной геометрической неровности, рассчитанный по формуле (12.10) при скорости движения 1 мс, показан на рис. 12.3. Рис. 12.3. ФСП эквивалентной геометрической неровности при V=1 мс ФСП имеет 4 одновершинных составляющих, определяемых соответственно первой и второй гармониками стыковой неровности Гц, 08 0 = ) 1 ( 2 = 2 , L b p Гц, где p L – длина рельсового звена (25 им. Третья составляющая определяется эксцентриситетом колеса 1 б 0,27 Гц, где б – диаметр бандажам. Четвертая составляющая определяется волнообразным износом рельсов в Гц, длина волны которого в изменяется в пределах от 0,3 дом. Значения параметров, входящие в ФСП приведены в [14]. 95 Используя выражения спектральной плотности (12.10) и АЧХ динамической системы можно найти спектральную плотность выходных координат линейной динамической системы (реакциюдинамическойсистемы). 12.3. Методикарасчетапоказателейдинамическихкачеств подвижногосоставаприслучайномвозмущении Задача оценки рациональности выбранной конструктивной схемы и рекомендуемых параметров упругодиссипативных связей системы подвешивания является одной из важнейших при проектировании железнодорожных экипажей. Подвижной состав может быть охарактеризован с различных точек зрения. Если оценивать его как объект изготовления, то основными критериями качества будут конструктивные, технологические и экономические факторы, если как объект эксплуатации, то здесь нужно учитывать надежность работы, ремонтопригодность, воздействие на путь и т д. Оценить конструкцию со всех точек зрения сложно и еще сложнее создать экипаж, отвечающий всем требованиям. Для оценки динамических качеств подвижного состава обычно рассчитывают максимальныепереме- щенияиускорениякузова , коэффициентыдинамикипервойивторой ступенейрессорногоподвешивания , коэффициентыплавностихода. Поскольку колебания носят случайный характер, то и показатели динамических качеств (ПДК) подвижного состава будут случайными процессами. Максимальные значения случайных процессов ПДК можно определять двумя способами. 1-йспособ, какутроенноезначениесреднеквадратическогооткло- нения Спектральная плотность характеризует распределение амплитуд колебательного процесса по частотами может рассматриваться как плотность дисперсии, те. площадь, ограниченная функцией G( ) ω и осью частот, равна дисперсии случайного процесса ( ) 2 0 G d ∞ ∫ = σ ω ω (12.11) Максимальные значения случайных процессов ПДК можно определять как утроенное значение среднеквадратического отклонения (правило трех сигм) при условии, что распределение величин ПДК подчиняется нормальному закону. Правилотрехсигм гласит, что максимальные значения 96 ПДК с вероятностью 997 , 0 = P будут находиться не далее, чем 3 сигмы в ту или иную сторону от среднего значения (или 997 значений из 1000). Динамические показатели выражаются через функции спектральной плотности выходных координат, таким образом, формула для определения ПДК по правилу трех сигм в общем виде 2 0 0 3 3 3 3 ПДК сигма дисперсия реакция АЧХ ФСП ∞ ∞ = ⋅ = = = ⋅ ∫ ∫ . (12.12) Пример Максимальныезначенияускоренийопределяются ( ) ( ) ( ) 2 0 0 3 3 А σ = ω ω = ω ω ω ∫ ∫ , (12.13) где z σ – среднее квадратическое отклонение ускорений модели (корень из дисперсии ( ) ω z G – спектральная плотность ускорений модели, которая определяется умножением квадрата АЧХ ускорений на ФСП неровности реакция ( А – АЧХ связи ускорения модели с эквивалентной геометрической неровностью ( ) ω η G – спектральная плотность эквивалентной геометрической неровности. Как видно из выражения (12.13), для определения показателей динамических качеств экипажа необходимо знать АЧХ, связывающие перемещения, ускорения или силы с неровностью. Вычисленные значения ПДК, сравнивают с допустимыми величинами. Если они не превышают допустимой величины, делается вывод, что ПС можно эксплуатировать во всем диапазоне скоростей вплоть до конструкционной. 2-йспособ, каксреднеезначениеабсолютногомаксимума. Под абсолютныммаксимумом понимается самое большое значение случайного процесса за реализацию длительностью р. Распределение абсолютных максимумов случайных процессов зависит от среднеквадрати- ческого отклонения q σ , эффективной частоты e f и длины реализации р t Для стационарных случайных процессов среднее значение абсолютного максимума может быть определено по приближенной формуле, предложенной академиком В.В. Болотиным [1] 1 2 ln( ) 2 ln( ) q e р e р H f t f t σ = + , (12.14) 97 где р – продолжительность реализации (принимают р с e f – эффективная частота случайного процесса. Под эффективнойчастотойслучайного процесса понимается такая частота детерминированного процесса, который эквивалентен по средней мощности рассматриваемому случайному процессу. Частота e f определяется отношением первой производной среднеквадратического отклонения ПДК к среднеквадратическому отклонению ПДК, те. 2 0 2 q e q f G( f )df f ∞ σ = = σ σ ∫ (12.15) Значения q σ и e f , необходимые для расчета H , вычисляют по спектральным плотностям ПДК, найденным по заданной спектральной плотности возмущения G ( f Вычисленные значения показателей динамических качеств сравнивают с допустимыми величинами. Если они не превышают допустимой величины, делается вывод, что экипаж можно эксплуатировать во всем диапазоне скоростей вплоть до конструкционной. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется случайным процессом 2. Что такое реализация случайного процесса 3. Что такое случайный стационарный процесс 4. Что называется математическим ожиданием случайной функции 5. Что называется дисперсией случайной функции 6. Что называется среднеквадратическим отклонением случайной функции 7. Что характеризует корреляционная функция 8. Сформулируйте понятие спектра колебательного процесса. Что он показывает 9. Что означает спектральное разложение стационарной функции 10. Какой физический смысл имеет спектральная плотность 11. Как определяется спектральная плотность выходных координат 12. Дайте понятие эквивалентной геометрической неровности. 13. Чем объяснить появление пиков на рис. 12.3? 14. Какие параметры приняты в качестве оценок динамических качеств локомотивов 98 15. Какие способы имеются для определения ПДК 16. Что называется эффективной частотой случайного процесса 17. Что называется абсолютными максимумами случайного процесса 18. На основании чего делается вывод, что экипаж можно эксплуатировать во всем диапазоне скоростей вплоть до конструкционной Рекомендуемаялитература: [1, 2, 4]. |