Бьрачч. 1. Конспект лекций, ч.1-Трофимович В.В.- ОМПС 2018. В. В. Трофимович основымеханики подвижногосостава
 Скачать 3.4 Mb.
|
|
Iota*diff(fy(t),t$2)+2*at^2*beta*diff(fy(t),t)+2*at^2*G*fy(t)= п Решение системы при нулевых начальных условий, методом Лапласа > res:=dsolve({sys,z(0)=0,fy(0)=0,D(z)(0)=0,D(fy)(0)=0},{z(t),fy(t)}, method=laplace): п Назначить результат 45 > assign(res):Z:=z(t):Fy:=fy(t): п Построение графиков подпрыгивания и галопирования экипажа > plot([Z,Fy*10],t=0..4,color=[blue,black]); п Расчет суммарных перемещений точек рессорного подвешивания (формулы 5.40 и 5.41) > Z1:=Z+Fy*at:Z2:=Z-Fy*at: п Построение графиков суммарных перемещений в точках 1 и 2. > Зависимости обобщенных координат плоской модели двухосного экипажа показаны на рис. 5.9. и 5.10. Используя представленную программу и графики рис. 5.9 и 5.10, можно провести анализ влияния жесткости, коэффициента диссипации, массовых характеристик, жесткой базы экипажа, скорости движения и параметров неровности на колебания динамической модели двухосного экипажа, а также уяснить смысл транспортного запаздывания. Для данного примера 75 , 0 = τ (см. рис. 5.10). м , z рад , y 10 ⋅ ϕ ) t ( z ) t ( y ϕ c , t Рис. 5.9. Графики колебаний подпрыгивания и галопирования м 1 1 z 2 z 75 Рис. 5.10. Графики суммарных перемещений в точках 1 и 2 рессорного подвешивания КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как определяются упругие и диссипативные силы в рессорном подвешивании модели с одной степенью свободы 2. Какой обобщенной координатой характеризуются колебания модели с одной степенью свободы 3. Почему, используя модель с одной степенью свободы, можно только приближенно оценить ее динамические свойства 46 4. Что является причиной силового возмущения 5. Какие задачи решаются при силовом способе задания возмущения 6. Какие особенности позволяет учитывать плоская модель 2-осного экипажа 7. Какие виды колебаний позволяет исследовать плоская 2-осная модель 8. Что называют транспортным запаздыванием, и от каких параметров оно зависит 9. Как определяются прогибы рессорных комплектов при наличии двух видов колебаний Рекомендуемаялитература: [1, 7]. 6. СВОБОДНЫЕКОЛЕБАНИЯДИНАМИЧЕСКИХСИСТЕМ 6.1. Общиеположения Известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое начальное возмущение, после удаления причины этого возмущения продолжает совершать колебания. Эти свободные колебания играют важнейшую роль не только в плане проверки системы на резонанс, те. на выявление совпадения одной из собственных частот колебаний с частотой действующих на систему постоянно вибрационных нагрузок. Поведение системы при свободных колебаниях характеризуете динамическую индивидуальность, которая определяет поведение системы при всех других условиях. Свободные колебания динамических систем возникают при отсутствии переменного внешнего воздействия вследствие действия однократно приложенного и больше не повторяющегося воздействия. Свободные колебания рельсовых экипажей появляются при проведении опыта по сбрасыванию экипажа с клиньев, при ударе колеса с ползуном о рельс и т. п. Сбрасывание с клиньев выполняют для получения информации об упругих и диссипативных свойствах рессорного подвешивания экипажа. При проходе изолированной неровности одновременно происходят как свободные, таки вынужденные колебания. Свободные колебания из-за наличия сопротивлений среды стечением времени затухают. Системы, в которых энергия колебаний расходуется на преодоление сопротивлений среды, называют диссипативными, а системы, у которых энергия в окружающую среду не рассеивается – консервативными. После однократного воздействия предполагается, что система начинает двигаться по отношению к положению равновесия. Исследовать свободные колебания будем на примере линейной модели с одной степенью свободы. 47 6.2. Свободныеколебаниявнедемпфированнойсистеме Напомним основные результаты, полученные при составлении уравнений колебаний для модели с одной степенью свободы при кинематическом возмущении (см. подразд. 5.1). Колебание подпрыгивания описывается уравнением см. формулу (5.6)], которое имеет вид η + η β = + β + Ж Жz z z m Условием свободных колебаний являются 1) равенство нулю правой части данного уравнения, те. внешнее возмущение отсутствует 2) задано начальное возмущение и после чего система начнет колебаться. Принимая β =0 , получим уравнение Ж) Разделив оба члена на массу m и приняв m Ж св = ω , получим 0 св) где св – собственная (круговая) частота колебаний подрессоренной массы m в недемпфированной системе, являющаяся внутренним (собственным) параметром системы. Рассмотрим размерность св – с 1 с 1 /м кНс кН/м 2 2 = = , те. размерность частоты. Таким образом, уравнение (6.2) описывает колебательный процесс с частотой св . Решение данного уравнения при начальных условиях 0 ) 0 ( z z = и 0 ) 0 ( = z будет иметь вид св (6.3) где 0 z – амплитуда начального воздействия. График функции ) (t z для исходных данных m = т, Ж = 1500 кН/м и начальным воздействием 1 , 0 ) 0 ( 0 = = z z , 0 ) 0 ( = z будет иметь вид, показанный на рис. Свободные колебания системы с одной степенью свободы являются гармо- 0 z ) (t z Рис. 6.1. Свободные колебания в системе без гасителя 48 ническими. Гармоническими называются такие колебания, при которых обобщенная координата изменяется стечением времени по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания определяются амплитудой колебаний, периодом и начальной фазой. ПериодомколебанийТ называют промежуток времени, за который система совершает полный цикл колебаний, после которого движение повторяется. Период колебаний – величина, обратная частоте колебаний. Величина, обратная периоду, называется частотой колебаний. Частота колебаний обычно определяется числом колебаний в секунду или в герцах. Под амплитудойколебаний понимается наибольшее за полупериод отклонение системы от положения равновесия. Вывод 1. Свободные колебания системы представляют собой гармонические колебания. 2. По величинами Ж можно получать главные круговые частоты собственных колебаний, которые не зависят от амплитуд колебаний и начальных условий. 3. Из решения следует, что модель с одной степенью свободы, будучи выведена из положения равновесия малым возмущением, неограниченно долго будет совершать гармонические колебания с частотой св . Этико- лебания являются незатухающими (теоретически, если в системе отсутствуют силы сопротивления – диссипации (гасители. 4. Амплитуда и начальная фаза свободных колебаний определяются параметрами системы, а именно св и начальными условиями начальным воздействием. С увеличением жесткости увеличивается собственная частота колебаний, которая определяется m Ж св = ω . Аналогичным образом можно проанализировать, как влияет масса. Произведем анализ влияния на свободные колебания параметров модели, таких как масса m и жесткость Ж , используя программу Maple. Для этого решим уравнение (6.2) при изменении указанных параметров в цикле программы. Программа для решения уравнения (6.2) в цикле по жесткости имеет следующий вид > п Ввод массы, начальной жесткости, конечной жесткости и шага изменения жесткости > m:=5:Gn:=500:Gk:=1500:h:=500: п Ввод дифференциального уравнения (формула 6.2) в цикле при изменении жесткости > for G from Gn by h to Gk do du[G]:=m*diff(z[G](t),t$2)+G*z[G](t) п Решение уравнения в цикле по жесткости для начального перемещением п Назначение результата решения в цикле > for G from Gn by h to Gk do assign (Z[G]); Z[G]:=z[G](t) od: п Построения графиков свободных колебаний при отсутствия демпфирования для трех значений жесткостей > plot([Z[Gn],Z[Gn+h],Z[Gk]],t=0..1,color=[red,blue,green]); График решения по представленной программе приведен на рис. 6.2. Из графиков видно, что с увеличением жесткости от 500 до 1500 кН/м изменяется (увеличивается) собственная частота колебаний, которая определяется как m Ж св = ω . Аналогичным образом можно проанализировать, как влияют масса и величина начальных условий на характеристики свободных колебаний в недемпфированной системе. Для этого необходимо составить программу в цикле по соответствующим параметрам. z, м Ж = 500 t, с 0 0,05 Ж = Ж = 1500 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 6.2. Свободные колебания в системе без гасителя для разной жесткости рессорного подвешивания 6.3. Свободныеколебаниявсистемесгидравлическимгасителем В действительности при всех колебаниях системы в ней имеет место трение, при котором энергия колебаний превращается в тепло и рассеивается (диссипация) в окружающее пространство. Рассмотрим теоретические основы демпфирования применительно к модели с одной степенью свободы (см. подразд. 5.1). Дифференциальное уравнение свободных колебаний данной модели ( 0 , 0 = η = η ) с учетом демпфирования имеет вид Ж (6.4) Разделив все члены уравнения на массу m, получим 0 св св, (6.5) где n – коэффициентотносительногозатухания, который определяется 50 кр, (6.6) где кр – коэффициент критическогозатухания, те. такое значение коэффициента демпфирования, при котором движение системы перестает быть колебательным. Коэффициент критического затухания определяется m Ж кр 2 = β (6.7) Записав частное решение уравнения (6.5) в виде pt De t z = ) ( , (6.8) получим характеристическое уравнение 0 2 2 св св (6.9) Корни данного характеристического уравнения определяются 2 2 2 св св св) В зависимости от величины n возможны три варианта свободного движения системы 1) n <1 – случаймалогосопротивлениявсистеме(движениесисте- мыпредставляетсобойзатухающиеколебания). 2) n >1 –случайбольшогосопротивлениявсистеме(системабудет совершатьапериодическоедвижение – непериодическое 3) n =1 –случайкритическогосопротивлениявсистеме(предель- ныйвидапериодическогодвижения). Случаймалогосопротивлениявсистеме (n < 1). Под корнем (6.10) получится отрицательное число. Вынесем из под корня св и введем мнимую единицу j = −1 , получим св св 2 , 1 1 , (6.11) где в – степеньзатухания; 2 в – частотасвободных колебанийдемпфированнойсистемы С учетом введенных обозначений и наличием двух корней общее решение уравнения (6.5) запишем в следующем виде 1 2 1 2 ( ) p t p t z t D e D e = + (6.12) 51 Подставим в данное уравнение значения корней, получим ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ). c c c c j t j t j t j t t z t D e D e D e D e α ω α ω ω ω α − + − − − − = + = + (6.13) Считая, что 1 D ив общем случае являются комплексными числами, и используя формулу Эйлера для перехода от показательной к алгебраической форме, получим с) где D и ϕ – постоянные, определяемые изначальных условий. Для исходных данных m = 5 т, Ж = = 1500 кН/м и начальным воздействием z (0) = z 0 = 0,1, кр кНс/м. Примем коэффициент диссипации гасителя меньше, чем кр , а именно β = = 40 кНс/м. График колебаний будет иметь вид, показанный на рис. 6.3. Движение системы в этом случае носит колебательный, ноне периодический характер. Полученное выражение ) (t z описывает колебания с амплитудой, убывающей по экспоненциальному закону с собственной частотой c ω , меньшей, чем св , те. силысопротивленияувеличиваютпериодколебаний. Определим, какая же угловая частота получается при n = 0,3. 2 в = ω − = 1 0 09 0 954 c в c в . . ω − = ω , То есть при малых значениях n можно считать, что в = ω , те. такая же, как и для недемпфированной системы. Случайбольшогосопротивлениявсистеме (апериодическое движение В этом случае корни 2 , 1 p характеристического уравнения (6.11) получаются действительными и отрицательными. 2 1 2 св св − ω ± ω − = −α ± , Рис. 6.3. Свободные колебания в системе с гасителем при условии β < кр 52 где в – по прежнему, степеньзатухания, а 2 св Тогда решение записывается так t z( t ) De s h( xt ) −α = + φ , где s h( xt ) + φ – гиперболический синус. Так как корни отрицательные, то стечением времени ) t ( z будет убывать по апериодическому закону (будет затухающим. Для аналогичных исходных данных, нос коэффициентом диссипации гасителя 180 = β кНс/м большим, чем кр , график функции ) (t z будет иметь вид, показанный на рис. Из графика видно, что амплитуда колебаний быстро убывает к нулю. Это объясняется тем, что велико относительное затухание (коэффициента следовательно и коэффициент диссипации гасителя β. Предельныйвидапериодического движения (случай критического сопротивления в системе). Этот вид соответствует критическому демпфированию в системе, когда n = 1. Данный случай можно рассматривать как разновидность случая с большим затуханием, при этом корни уравнения (6.11) получаются действительными, отрицательными и кратными. Характер изменения функции этого процесса будет аналогичен графику на рис. 6.4. Этот случай имеет место только как граница, отделяющая колебательное движение от апериодического. Практически в реальной системе движения будут примерно одинаковы в достаточной близости к границе n = 1 как с одной, таки с другой стороны. Этот случай трудноосуществим, так как практически всегда, хотя бы с малым различием будет либо n < 1, либо >1. Обычно на практике коэффициент диссипации гасителя β делают меньшим, чем кр , те. имеет место случай малого сопротивления. Согласно рекомендациям, коэффициент относительного затухания принимают. Проведем анализ влияния на свободные колебания параметров модели, таких как масса m , жесткость Ж , коэффициент диссипации β , используя 0,1 0,2 0,4 0,3 0,5 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 t, с ) t ( z 1 n Рис. 6.4. Свободные колебания в системе с гасителем при условии β > кр 53 программу Maple. Для этого решим уравнение (6.4) и построим трехмерные графики для оценки каждого параметра. Программа для решения уравнения (6.4) имеет следующий вид > п Ввод массы и жесткости > п Расчет критического коэффициента диссипации гасителя (формула 6.7) > bkr:=2*sqrt(G*m): п Ввод дифференциального уравнения (формула 6.4) > du:=m*diff(z(t),t$2)+b*diff(z(t),t)+G*z(t): п Решение уравнения при начальном смещении 0.1 м > res:=dsolve({du,z(0)=0.1,D(z)(0)=0},z(t)): > assign(res);Z:=z(t): п Построение трехмерного графика колебаний в зависимости от времени и при изменении коэффициента диссипации β от 20 до 130 кНс/м. > plot3d(Z,t=0..1.5,b=20..130,style=hidden,axes=BOXED,orientation=[- 50,60],labels=['`Время`','`Коэффициентдиссипации`','``']); Трехмерный график решения по указанной программе представлен на рис. 6.5. С увеличением значения коэффициента диссипации гасителя амплитуда колебаний уменьшается, и при приближении коэффициента к значению кр характер графика перестает быть колебательным (рис. 6.5). Частота колебаний в этом случае практически не изменяется. Используя пример программы, можно проанализировать влияние других параметров на свободные колебания, например, величины жесткости рессорного подвешивания при ее изменении от 200 до 1000 кН/м (рис. 6.6) массы экипажа при изменении от 5 дот (рис. 6.7). Рис. 6.5. Влияние величины коэффициента диссипации β на свободные колебания 54 Рис. 6.6. Влияние величины жесткости Ж на свободные колебания Рис. 6.7. Влияние величины массы m на свободные колебания С увеличением жесткости рессорного подвешивания и массы экипажа амплитуда колебаний увеличивается (рис. 6.6, 6.7). Частота колебаний при увеличении жесткости увеличивается, так как они находятся в прямой зависимости, и уменьшается с увеличением массы, так как они находятся в обратной зависимости. На реальном подвижном составе коэффициент диссипации гасителя β делают меньшим, чем кр, так в буксовой ступени коэффициент относительного затухания принимают n 1 = 0,3–0,4, в центральном подвешивании – n 2 = 0,2–0,3. Если принять n = 0,3, провести вычисления амплитуды, можно показать, что затри периода происходит ее уменьшение примерно враз, но период колебаний увеличивается примерно на 5 %. Силы сопротивления, совершая отрицательную работу, вызывают непрерывное уменьшение энергии колеблющейся системы, а следовательно, постепенное уменьшение амплитуды свободных колебаний. Влияние малого сопротивления гасителя на частоту и период свободных колебаний системы незначительно, однако даже очень малое сопротивление вызывает быстрое затухание этих колебаний. При рассмотрении свободных колебаний можно пренебрегать сопротивлением гасителя, однако его необходимо учитывать при определении амплитуды колебаний. Система с демпфированием характеризуется двумя параметрами n и с , те. свойства колебаний зависят от собственных свойств системы. Кроме того, характеристики свободных колебаний – численные Начальное смещение Рис. 6.8. Влияние величины начальных условий на свободные колебания 55 значения амплитуд и фаз собственных колебаний – зависят от величины начальных условий (рис. 6.8). Из рисунка видно, что с изменением величины начального смещения центра тяжести массы экипажа (от 0,01 дом) относительно положения равновесия, изменяется амплитуда и продолжительность колебаний. В зависимости от характера свободного движения, возникающего под действием начальных возмущений, динамическая система может быть устойчивой, если значения обобщенных координат остаются ограниченными, или неустойчивой в противном случае. Вертикальные колебания экипажа всегда ограничены. Боковые колебания могут быть неустойчивыми, это происходит при превышении определенной скорости движения (критической. Особенности боковых колебаний будут рассмотрены в последующих разделах. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. В результате чего могут появляться свободные колебания 2. Что такое консервативная динамическая система 3. Как определяется собственная частота недемпфированной системы 4. Какие колебания называют гармоническими 5. Что называют периодом колебаний 6. Что называют амплитудой колебаний 7. Что означает коэффициент относительного затухания и как он определяется. Что означает коэффициент критического затухания и как он определяется. Какие процессы будут наблюдаться в системе при условии n < 1? 10. Какие процессы будут наблюдаться в системе при условии n > 1? 11. При каком условии возникает апериодическое движение динамической системы 12. Какими параметрами характеризуется система, имеющая гаситель колебаний 13. Как влияет жесткость рессорного подвешивания на частоту свободных колебаний 14. Как влияет масса экипажа на частоту свободных колебаний 15. Как влияют начальные условия на характеристики свободных колебаний Рекомендуемаялитература: [1, 4]. 56 |