Вечернего и заочного обучения

• Название: Вечернего и заочного обучения
• Анкор: DE2AAC829C40403EA2B1245CEFB6E2D1.doc
• Дата: 21.07.2018
• Размер: 0.85 Mb.
• Имя файла: DE2AAC829C40403EA2B1245CEFB6E2D1.doc
• Тип: Контрольная работа; #21800
• страница: 5 из 8

Решение типовых задач

Случайные события

Пример 1. Найти надежность цепи, если надежности элементов указаны на схеме (рис. 6, 7).



Рис. 6

Пусть событие А наличие тока в цепи, где А₁, А₂, А₃ – исправность элементов.



Рис. 7

Последовательному соединению отвечает произведение событий, а параллельному – сумма событий (сравните пример 10), поэтому имеем:

А = А₁  (А₂ + А₃).

Предполагается, что элементы работают независимо, следовательно, вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей: P(A) = P(A₁)  P(A₂ + A₃).

События A₂, A₃ совместны, следовательно,

P(A₂ + A₃) = P(A₂) + P(A₃) – P(A₂  A₃) = 0,8 + 0,7 – 0,8  0,7 = 0,94.

Этот результат можно получить иначе:

P(A₂ + A₃) = 1 –  = 1 – =

= 1 – (1 – 0,8)(1 – 0,7) = 1 – 0,2  0,3 = 1 – 0,06 = 0,94.

Таким образом удобно находить вероятность суммы более чем двух совместных событий.

Окончательно P(A) = 0,9  0,94 = 0,846.

Пример 2. В группе студентов 2 отличника, 5 хорошо успевающих и 10 занимающихся слабо. Отличники на экзамене могут получить только отличные отметки; хорошие студенты с равной вероятностью хорошие и отличные; слабые студенты с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Вызываются наугад три студента. Найти вероятность того, что они получат отлично, хорошо и удовлетворительно.

Событие А – получение отличной, хорошей, удовлетворительной оценок, что возможно при одном из следующих условий (гипотез):

H₁ – вызваны 1 слабый, 1 хороший, 1 отличный студенты;

H₂ – вызваны 1 слабый и 2 хороших студентов;

H₃ – вызваны 2 слабых и 1 хороший студенты;

H₄ – вызваны 2 слабых и 1 отличный студенты.

Заметим, что гипотезы H₁, H₂, H₃, H₄ не составляют полную группу, но при других условиях событие А невозможно .

В тех случаях, когда наступление события А зависит от некоторых условий (гипотез), применяется формула полной вероятности:



Найдем вероятности гипотез. Опыт состоит в выборе 3 студентов из группы 17 человек, следовательно, число всех исходов опыта:

В случае гипотезы H₁ – это 1 студент из 10 слабых, 1 студент из 5 хороших и 1 из 2 отличных, значит, благоприятное число исходов

В случае H₂ аналогично

Для H₃ имеем для H₄ имеем

Окончательно, по формуле имеем:





Найдем условные вероятности события при каждой гипотезе.

Событие  – слабый студент получил удовлетворительную оценку (с вероятностью ), хороший студент получил хорошую оценку (с вероятностью ) и отличник получил отличную оценку (с вероятностью 1)

Событие – слабый студент получил удовлетворительную оценку (с вероятностью ), хороший студент получил отличную, а другой – хорошую оценку (событие D). Найдем вероятность последнего события.

Пусть В₁ – отличную оценку получил первый хороший студент,

В₂ – второй;

С₁ – хорошую оценку получил первый хороший студент,

С₂ – второй студент.

Тогда D = В₁  С₂ + В₂  С₁.

События В₁  С₂ и В₂  С₁ несовместны, поэтому P(D) = P(В₁  С₂) + P(В₂  С₁).

События В₁, В₂, С₁, С₂ независимы, окончательно:

P(D) = P(В₁)  P(C₂) + P(В₂)  P(C₁) ;



Событие – один слабый получил удовлетворительную, другой хорошую и хороший студент получил отличную оценки.

Аналогично предыдущему:



Событие – один слабый получил удовлетворительную, другой – хорошую, а отличник – отличную оценки.



Напомним, что 0! = 1;

Вычислим:









Пример 3. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В билете 3 вопроса. Вероятность того, что отличник ответит на любой вопрос программы 0,9; для хорошего студента 0,7; посредственного 0,5; плохого – 0,2. Вызванный наугад студент ответил на 2 вопроса билета. Найти вероятность того, что он подготовлен хорошо.

Событие А – студент ответил на 2 из 3 вопросов билета; отвечавший мог быть отличником – гипотеза H₁, хорошим студентом – H₂, посредственным – H₃, плохим –H₄.

В отличие от предыдущего примера, событие А уже произошло и надо найти вероятность того, что реализовалась вторая гипотеза, т. е. что отвечал хороший студент .

Для этого служит формула Байеса.

В нашем случае она имеет вид:





События H₁, H₂, H₃, H₄ составляют полную группу.

Событие – студент ответил на 2 вопроса из 3, если вероятность ответить на любой вопрос p = 0,9, а не ответить q = 0,1.

Для нахождения используем формулу Бернулли: