Вычислительный эксперимент в методах диагностики микро и наноструктур

• Название: Вычислительный эксперимент в методах диагностики микро и наноструктур
• Дата: 01.07.2022
• Размер: 2.33 Mb.
• Имя файла: razdel_3.doc
• Тип: Документы; #622327
• страница: 5 из 6

3.5.2 Определение неизвестных параметров структуры. Решение обратной задачи программой IMD

Пусть функция Y(X) - любая из оптических функций R^a, T^a, A^a, а X – независимая переменная, например, длина волны λ или угол θ.

Ставится задача определить значения p параметров, настраиваемых так, что функция Y(X) оказывается максимально близкой к множеству экспериментальных данных Y_m ± δY_m, полученному как функция независимой переменной X_m, где X_m принимает i=1,…,N_m дискретных значений.

Для решения данной задачи в программе IMD используется градиентный алгоритм Маркардта (Marquardt) или алгоритм Левенберга - Маркардта [13], основанные на критерии χ² и минимизации функции S определяемой как

(3.5.13)

где w(i) – вес i-й точки.

Пользователем определяется набор искомых параметров, для каждого из них задается значение начального приближения, также может определяться интервал допустимых значений. Итерации алгоритма происходят до тех пор, пока функция S не станет менее заранее заданного числа, или пока не выполнится заданное число итераций. Пользователь может выбрать несколько способов вычисления веса w(i): «инструментальное взвешивание», в котором значение веса определяется по степени доверия к значению каждой i-й точки; «статистическое взвешивание», в котором вес и «однородное взвешивание», в котором вес w(i)=1. Кроме этого функция S может минимизироваться с заменой числителя на (lnY(i) – lnY_m(i))².

Вычисление доверительного интервала

Кроме определения точечных значений p искомых параметров, дающих наилучшее соответствие экспериментальных и расчетных значений, необходимо определить допустимый диапазон этих параметров, который совместим с экспериментальными данными. Для этого в программе IMD предусмотрено вычисление доверительных интервалов для каждого из p определяемых параметров. Построение доверительных интервалов необходимо для оценки точности определения параметров, которая зависит от количества и формы области минимумов функции S. Более пологая область исследуемого минимума будет означать меньшую чувствительность метода к определяемым параметрам, т.к. изменение значений параметров приводит к незначительному изменению функции S в области минимума.

Обозначим S_min как минимальное значение функции S (3.5.13), которое определяется значениями параметров, обеспечивающими наилучшее соответствие. Если известно, что при подгонке параметров используется критерий χ², то значения S_min распределены в соответствии с функцией распределения χ²- хи-квадрат с N - p степенями свободы [11]:

(3.5.14)

где α – значимость подгонки параметров.

Значение S_min характеризует насколько модель, с подобранными p параметрами, соответствует экспериментальным данным. Например, если найдено, что тогда можно сказать, что модель с вероятностью 0.68 корректно описывает экспериментальные данные. В этом случае доверительная область, имеющая значимость определяется как p-мерная область пространства параметров, где значение S меньше или равно некоторому значению S_L:

(3.5.15)

где равно значению распределения хи - квадрат с p степенями свободы и значимостью . Таблицы распределения хи – квадрат приведены, например, в [14].

Вычисление доверительных интервалов проводится только после нахождения p параметров структуры. Программа IMD поддерживает построение многомерной доверительной области для не более чем 8 произвольно задаваемых параметров. Для этого пользователь задает диапазон и шаг изменения каждого параметра. Для каждого набора параметров вычисляется функция S (3.5.13) одним из двух методов, зависящих от размерности доверительной области. Если определены p параметров, и требуется построить p-мерную доверительную область, то её построение проводится прямой подстановкой в (3.5.13) всех наборов p параметров из заданного ранее диапазона с заданным шагом. Двухмерная контурная визуализация величины хи-квадрат может проводиться для любой пары из p параметров при фиксировании остальных p-2 параметров. Зависимость величины хи-квадрат от значения любого из p параметров строится при фиксировании p-1 параметров.

Если требуется построить доверительную область для q < p параметров, то для этого используется алгоритм минимизации Маркардта, в котором при каждом наборе q параметров, определяемом заданной пользователем сеткой значений, варьируется только p-q параметров. В последнем случае значение в (3.5.15) вычисляется как значение распределения хи- квадрат с q степенями свободы и значимостью _.

Для описания пользовательского интерфейса и получения более наглядного представления о работе программы IMD приведем пример, в котором описывается процесс задания параметров модели структуры, определение неизвестных параметров и вычисление доверительных интервалов.

Пример анализа экспериментальных данных в программе IMD

Получены экспериментальные данные об угловой зависимости коэффициента отражения-R, p-поляризованного излучения с длиной волны λ=632,8 нм, в диапазоне углов 37 - 82 градусов (с шагом 0.5 градусов), от структуры: пленка серебра - Ag, нанесенная на SiO₂/Si. Известно, что толщина слоя серебра такова, что слой полупрозрачен. Требуется с помощью программы IMD определить 4 параметра пленки серебра: оптические константы n и k, толщину – z и шероховатость поверхности – σ, при условии, что известны толщина SiO₂ (537.6 нм), оптические константы слоя SiO₂ и подложки. Отметим, что в структуре существует два переходных слоя между слоями Si, SiO₂ и между SiO2, Ag.

Главное окно программы IMD состоит из 4 областей (рисунок 12). Область STRUCTURE служит для задания модели структуры. Ниже расположена область, которая в зависимости от положения переключателя служит для выбора и настройки зависимых переменных (DEPENDENT VARIABLES), независимых переменных (INDEPENDENT VARIABLES), связанных параметров (COUPLED PARAMETERS), подгоняемых параметров (FIT PARAMETERS).

Ниже располагается область, отображающая информацию о загруженных экспериментальных данных (MEASURED DATA). Самая нижняя панель служит для ввода команд на языке IDL, на котором написана программа IMD.
а) Задание модели структуры

На панели STRUCTURE нажимаем кнопку Add substrate для указания свойств подложки, появляется окно (рисунок 13). Нажимаем на кнопку Browse для выбора файла, содержащего спектральные зависимости коэффициента преломления - n и коэффициента поглощения - k кремния Si. Если имеются данные об оптических константах используемых материалов, отличные от табличных, то пользователь может самостоятельно создать текстовый файл с описанием оптических констант для используемых длин волн и загрузить их в программу IMD также как файлы стандартной библиотеки.

Поменяв положение переключателя с Optical constants file name на Density and Composition можно задавать свойства подложки или слоя указанием плотности материала и атомов, из которых он состоит.


Рисунок 12. Вид главного окна программы IMD


Рисунок 13. Окно SUBSTRATE программы IMD

В области Vacuum/ * Interface окна SUBSTRATE можно выбирать функцию, описывающую профиль границы (Interface Profile) (Таблица 3), задавать шероховатость границы (Roughness/Diffuseness), задавать параметры, по которым вычисляется плотность спектральной мощности (кнопка Power-Spectral-Density), задавать параметры многоуровневой границы (кнопка Graded Interface). После ввода информации в любые текстовые поля IMD необходимо нажимать кнопку Enter для подтверждения изменения информации. Для завершения ввода информации в окне SUBSTRATE и её сохранения нажимаем кнопку Done.

Для указания свойств первого слоя – SiO₂ нажимаем кнопку Add Layer главного окна IMD, открывается окно LAYER (1), вид которого аналогичен окну SUBTRATE за исключением добавленной области для указания толщины слоя. Выбираем оптические свойства оксида кремния, указываем толщину слоя 537.6 нм. Аналогично указываем свойства слоя серебра.
б) Выбор переменных и параметров

В области задания переменных и параметров главного окна IMD указываем зависимые переменные (положение переключателя DEPENDENT VARIABLES). Считаем, что длина волны падающего излучения намного больше размеров шероховатости поверхности и отражение зеркальное (установлен переключатель Specular Optical Functiond/ Electric Fields), в случае диффузного отражения необходимо устанавливать переключатель Non-Specular Reflected Intensity.

Исследуем угловую зависимость отражения, поэтому устанавливаем флажок Reflectance, Phase, Psi, Delta. Поля User 1- User 3 – служат для задания пользовательских функций, образованных от основных с помощью простых действий.

Определяем независимые переменные, установив переключатель в положение INDEPENDENT VARIABLES. Задаем длину волны падающего излучения λ = 632,8 нм. Для этого щелкаем 2 раза на строке текстового поля Wavelength, Lambda или нажимаем кнопку Edit при выделенной строке Wavelength, Lambda. Появляется окно Wavelength/Energies (рисунок 14).



Рисунок 14. Окно Wavelength/Energies программы IMD

Указываем values - число длин волн =1 и длину волны 632,8 nm. При необходимости исследовать спектральные зависимости указывается число длин волн большее 1, тогда появляется поле для задания равномерно разбиваемого диапазона длин волн. В поле для указания поляризации Incident Polarization указываем f=-1_, т.к. в нашем случае используется p-поляризованное излучение, которому по формуле (3.5.9) соответствует значение f=-1. Устанавливаем значение Polarization Analyzer Sensitivity, q =1 предполагая, что чувствительность приемника излучения не зависит от поляризации. Подтверждаем ввод данных, нажимая Done.

Аналогичным способом указываются угловые параметры. В окне Incidence Angles указываем диапазон углов from 35 to 85 (чуть шире экспериментального), число углов падения равномерно разбивающих диапазон (values) равно 100. Самое правое поле указывает шаг разбиения 0.5 градусов. Инструментальное разрешение измерений угла можно указать в поле Instrumental Angular Resolution, delta (Theta).

Устанавливая переключатель главного окна программы IMD в положение COUPLED PARAMETERS можно задавать параметры слоя, которые связаны с параметрами другого слоя через мультипликативный коэффициент. Например, можно задать, что толщина 1 слоя всегда в 2 раза больше толщины 2 слоя. Если потребуется найти толщины 1 и 2 слоя, то программа будет находить параметры основного – 2 слоя, по которому определять толщину 1 слоя.

Для указания искомых параметров на главном окне программы IMD устанавливаем переключатель в положение FIT PARAMETERS. Нажав кнопку Add, выбираем показатель преломления n серебра Ag, открывается окно Fit Parameter (рисунок 15). В поле Initial Value указывается начальное значение параметра, используемое в алгоритме определения неизвестных параметров структуры. По умолчанию в данном поле устанавливается табличное значение параметра соответствующее выбранному ранее материалу и длине волны. Поля Constrained from .. to – служат для указания области значений искомого параметра, на которой будет работать алгоритм минимизации функции S (3.5.13). Для тонкого слоя серебра показатель преломления может сильно отличаться от табличных значений для монолитного серебряного образца, поэтому задаем широкий диапазон возможных значений параметра n от 0 до 3.



Рисунок 15. Окно Fit Parameter программы IMD.

Флажок Compute confidence intervals for this parameter (вычислять доверительные интервалы для этого параметра) пока недоступен. Доступ к нему открывается после определения значения данного параметра по минимуму функции S (3.5.13).

Повторяем всю последовательность действий для указания показателя поглощения серебра –k, как искомого параметра. Зададим начальное значение параметра 3, область возможных значений параметра от 0 до 5.

Добавляем третий искомый параметр – толщину слоя серебра d. Указываем начальное значение 10 нм, диапазон возможных значений от 0 до 20.

Четвертый параметр σ - шероховатость/диффузность границы вакуум – Ag, задаем диапазон значений от 0 до 5 нм, начальное значение 2 нм.
в) Загрузка экспериментальных данных

Загрузка данных может производиться из пользовательских файлов или из файлов созданных самой программой IMD в форматах *.txt и *.dat.

Для загрузки экспериментальных данных используется главное окно IMD, File→Open Measured Data File, открывается окно Open Measured Data File (рисунок 16). Поле Command to read measured data files служит для указания формата расположения данных в файле: команда EROM – считывает данные из файла, символы Y_M, X_M – указывают, что в первом столбце располагаются значения, откладываемые по оси Y, во втором – по X. По умолчанию в данном поле введена строка EROM, X_M, Y_M, SIGY_M, где SIGY_M – указывает столбец значимостей значений измеряемых по оси Y. Эти значения могут использоваться как веса w(i) при «инструментальном взвешивании» функции S (3.5.13).



Рисунок 16. Окно Open Measured Data File программы IMD

Ниже, в поле File contains Y_m и X_m выбираются величины, измеряемые по соответствующим осям.

В полях Add to X_m (Y_m) values an offset factor указываются значения систематических аддитивных погрешностей (коэффициентов), которые будут добавляться к данным, считываемым из файла.

В полях Scale X_m (Y_m and SigY_m) values by a factor указываются систематические мультипликативные погрешности (коэффициенты), на которые будут умножаться значения, считываемые из файла.

Устанавливая флажок Only use measured data within specified range, можно ограничить диапазон используемых экспериментальных значений.

Указав необходимые параметры, нажимаем кнопку Open Data File выбора файла, содержащего экспериментальные данные. После загрузки данных на главном окне IMD в области MEASURED DATA появляется информация о загруженных данных (количество точек, диапазон углов) и кнопка Cleared Data для удаления загруженных данных.
г) Графическое построение зависимостей

Для вывода зависимости построенной по загруженным экспериментальным данным и зависимости построенной по модельным данным нужно выбрать в окне IMD пункт меню Calculate→ Specular Optical Functions/Electric Fields. После этого запустится программа визуализации данных IMDXPLOT и появится окно Specular Optical Functions (рисунок 17).

Красная кривая отображает зависимость коэффициента отражения от угла, построенную по экспериментальным данным, зеленая – построенную по модельным данным. На поля вынесена основная информация о заданных параметрах. Кнопка Add служит для задания формата и построения дополнительных кривых.

Рисунок 17. Построение экспериментальных и модельных зависимостей в окне Specular Optical Functions

На рисунке 17 видно, что пока модельные данные сильно расходятся с экспериментальными, т.к. для слоя Ag было указано произвольное значение толщины 10 нм и заданы табличные значения оптических констант.

д) Определение неизвестных параметров

Для запуска процедуры поиска параметров наиболее соответствующих экспериментальным данным используется строка меню Calculate→Fit to Measured Data главного окна IMD. При этом проводится минимизация функции S (3.5.13) с использованием параметров определенных ранее пользователем в категории FIT PARAMETERS. После проведенной таким способом подгонки параметров, вид модельной кривой изменится свой (рисунок 18). Теперь в окне Specular Optical Functions выводится новая информация об определенных параметрах, в которой сообщается, что алгоритм совершил 43 итерации (довольно много), значение функции S как величины подчиняющейся распределению хи-квадрат равно 8.754 E-5, что является очень хорошим соответствием настроенной модели и экспериментальных данных. Число 8.754 E-5, деленное на число степеней свободы (число экспериментальных точек за вычетом числа неизвестных параметров) дает величину хи – квадрат приходящуюся на одну степень свободы.



Рисунок 18. Построение экспериментальных и модельных зависимостей в окне Specular Optical Functions после определения параметров модели структуры

Строкой ниже сообщается, что применялся алгоритм Маркардта без использования веса (т.е. взвешивание однородное, w=1), далее указываются начальные значения определяемых параметров (Initial values) и конечные значения (Final Values) – как результат определения неизвестных параметров структуры. Итак, программа IMD позволила обработать экспериментальные данные, определив, что слой серебра Ag, нанесенный на SiO₂/Si имеет показатель преломления n=1.814, показатель поглощения k=2.964, толщину слоя z=11.33 нм, шероховатость поверхности пленки серебра σ=1.0 нм.

Для открытия окна (рисунок 19) настройки алгоритма подгонки параметров в программе IMD существует кнопка Curve-Fit Parameters…, располагающаяся в окне IMD при установлении переключателя в положение Fit Parameters. Здесь выбирается один из двух алгоритмов определения неизвестных параметров (Маркардта или Левенберга - Маркардта). Если алгоритм не будет сходиться, то программа поиска завершит свою работу после числа итераций, указываемом в поле Maximum number of iteration.



Рисунок 19. Окно настройки алгоритмов поиска неизвестных параметров

Ниже расположен переключатель, выбирающий способ определения веса w(Без веса, «Статистическое взвешивание», «Инструментальное взвешивание»). Флажок напротив строки Logarithmic Fitting- устанавливает, что определение параметров будет проводиться сравнением логарифмов значений модельной и экспериментальной кривых. Флажок напротив Scale Reflectance data открывает поле для задания коэффициента, умножающего значения коэффициента отражения, флажок напротив Add fixed offset to Reflected data – открывает поле для задания величины постоянного смещения коэффициента отражения.
е) Построение доверительных областей

Построение доверительных областей (интервалов) становится необходимым в случаях, когда необходимо оценить чувствительность метода определения неизвестных параметров структуры в некоторой области значений. Построение доверительных областей полезно также при выборе начальной точки приближения, т.к. можно визуально отслеживать минимумы функции S (3.15.13), наиболее точно настраивающие модель на экспериментальные данные.

После численного определения параметров структуры, для каждого параметра в категории Fit Parameters открывается доступ к полям доверительных интервалов в окне Fit Parameter (флажок Compute confidence intervals for this parameter на рисунке 15). В полях Parameter Grid вводим количество частей, на которые разбивается диапазон значений параметра задаваемый здесь же.

Построим доверительную область для определенных ранее оптических констант - n, k и толщины - z серебряного слоя. Для этого введем в соответствующее окно для n диапазон значений от 0 до 3 с разбиением на 30 частей, для k диапазон значений от 2 до 5 с разбиением на 30 частей и для в диапазон от 5 до 15 нм с разбиением на 20 частей. Оптические константы заданы так, что перекрывают и табличные значения для монолитного серебра и значения для тонкой пленки, определенные из эксперимента. Для запуска вычислений доверительных интервалов используем меню окна IMD Calculate→ Confidence Intervals. По окончании счета появляется окно Confidence Intervals (рисунок 20).