Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 14 из 16

Вопрос 43

Дифференцируемость функции в точке, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости

Дифференциал функции.

ОПР. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде :

, где - б.м.ф. в точке .

ОПР. Главная линейная часть приращения , величина , называется дифференциалом функции в точке .

ТЕОРЕМА 3.

Существование производной функции в точке является необходимым

и достаточным условием ее дифференцируемости.

ДОК. (1) Пусть функция дифференцируема. Тогда и

.

(2) Если функция имеет производную , тогда по теореме

о связи , где - б.м.ф., т.е. , при .

СЛЕДСТВИЕ. Дифференциал функции имеет вид .

Функция имеет производную, равную 1, поэтому . Тогда .

НАВСЯК:

Сандракова

Определение.

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, x_о – внутренняя точка одного из промежутков, образующих X.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_о, если её приращение в точке x_о ∆f(x_о; ∆x), вызванное смещением ∆x, может быть представлено в виде ∆f(x_о; ∆x)=A·∆x+(∆x), где A –число, а (∆x)=.

Определение.

Пусть f(x) дифференцируема в точке x_о. Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции f(x) в точке x_о.

Обозначение:

∆f(x_о; ∆x)=A·∆x+(∆x)=df+, то есть =0

Примеры.

1. 
   f(x)=, X=(, +)
   

x_о=2

∆f(2; ∆x)==4+4∆x+=4∆x+

A=4, (∆x)==

df=4∆x

2. 
   f(x)=, X=(, +)
   

а) x_о=8 ∆f=∆f(8; ∆x)=f(8+∆x)f(8)== 1∆x

Главная линейная часть в точке x_о =8.

∆f(8; ∆x)=∆x+

б) x_о =7. ∆f(7; ∆x)= ∆f(7; ∆x)f(7)==.

Главной частью приращения функции ∆f является , A=0, 0.

Функция f(x)= не является дифференцируемой в точке x_о=7, так как приращение функции не является линейной от ∆x при

(∆f(7; ∆x)= имеет порядок при )
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке).

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, x_о – внутренняя точка одного из промежутков из X.

f(x) дифференцируема в точке x_о тогда и только тогда, когда f´(x_о).

Доказательство.

1. 
   Необходимость.
   

x_оX, x_о+∆xX, ∆x0.

f(x) дифференцируема в точке x_о ∆f(x_о; ∆x)= A·∆x+(∆x), A-число, (∆x)=.

Тогда f´(x_о)====A.

2. 
   Достаточность.
   

Пусть во внутренней точке x_оX f´(x_о).

Докажем, что f(x) дифференцируема в точке x_о.

Так как f´(x_о)= =f´(x_о)+(∆x), где (∆x)=0 ∆f(x_о; ∆x)= f´(x_о)∆x+(∆x)·∆x. Положим A= f´(x_о), (∆x)=(∆x)·∆x.

Тогда ==(∆x)=0 (∆x)=

f(x) дифференцируема в точке x_о и df= f´(x_о)∆x ∆f(x_о; ∆x)= f´(x_о) ∆x+(∆x), (∆x)=.

Следствие 1.

Рассмотрим функцию (x)=x ∆=∆x, (∆x)=0 d=dx= ∆x Дифференциал независимой переменной есть её приращение то есть dx не зависит от x!!!

А тогда df= f´(x)·dx.

Следствие 2.

Если в точке существует дифференциал, то он единственен, так как единственное значение производной функции в точке, ибо предел функции единственен.

Следствие 3.

Пусть в точке xX f´(x).

1. 
   f´(x)0.
   

Тогда ∆f= ∆f(x; ∆x)=f´(x)·dx+(∆x)=df+

2. 
   f´(x)=0 df= f´(x)·dx=0
   

Вопрос 44

Дифференциал функции, связь дифференциала с производной, геометрический смысл дифференциала, инвариантность формы дифференциала.

Определение.

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, x_о – внутренняя точка одного из промежутков, образующих X.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_о, если её приращение в точке x_о ∆f(x_о; ∆x), вызванное смещением ∆x, может быть представлено в виде ∆f(x_о; ∆x)=A·∆x+(∆x), где A –число, а (∆x)=.

Определение.

Пусть f(x) дифференцируема в точке x_о. Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции f(x) в точке x_о.

Обозначение:

∆f(x_о; ∆x)=A·∆x+(∆x)=df+, то есть =0

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл дифференциала.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке ,

имеет вид:. Приращение ординаты касательной, соответствующей изменению аргумента на равно, т.е. значению

дифференциала .

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ дифференциала.

Если - функция независимой переменной y, то ее дифференциал имеет форму

. Если - сложная функция, поскольку , то , т.е. форма записи дифференциала не зависит от того, является ли yнезависимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.

НАВСЯК:

Арифметические операции с дифференциалами.

(1)

(2) .

(3)