Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 13 из 16

Вопрос 38

Теорема о непрерывности функции, имеющей производную.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

ДОК. .

Тогда , где - бесконечно

малая функция в точке., т.е. .

ПРИМЕР .Функция непрерывна в точке , но не имеет производной в

этой точке.

РЕШЕНИЕ. - бесконечно малая функция в точке, т.е.

функция непрерывна в точке.

Функция не имеет предела в точке, поскольку

,

и пределы справа и слева не совпадают.

Вопрос 39

Арифметическая теорема о производных.

Если функции и имеют производную в точке, то

(1)

(2)

(3) , при .

ДОК. (2)

.,т.к. функция непрерывна в точке (теорема 4).

(3)

, поскольку при функция непрерывна

в точке (теорема 4).

1. 
   Доказывается по первому свойству производных
   

.

xX, f`(x), g`(x) по условию, ∆x0, x+∆xX

∆(f(x)+ g(x))=(f(x+∆x)+g(x+∆x)) – (f(x)+g(x))=(f(x+∆x) – f(x))+(g(x+∆x) – g(x))=∆f(x; ∆x)+∆g(x; ∆x)

(f(x)+ g(x))`==(+)= f`(x)+ g`(x).

Вопрос 40

Теорема о производной обратной функции

Производная обратной функции.

ТЕОРЕМА 1.( производная обратной функции)

Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную.

Тогда обратная функция имеет производную в точке и

.

ДОК. .

НАВСЯК:

Сандракова

Производная обратной функции.

Теорема.

Пусть функции f: XY и g=f^-1: YX взаимно обратны и непрерывны в точках x_оX и y_оY соответственно; y_о=f(x_о). Если f(x) имеет в точке x_о производную и f´(x_о)0, то g(x) так же имеет производную в точке y_о= f(x_о) и .

Доказательство.

Так как f(x) и g(x) взаимно обратны, то f(x)f(x_о) и g(y) g(y_о) при y=f(x) не обращаются в нуль, если xx_о, y_о= f(x_о).

Из непрерывности f(x) в точке x_о и g(y) в точке y_о следует, что (x x_о)(y y_о).

Используя теорему о пределе сложной функции и арифметические свойства пределов функции, при ∆x0, ∆y0 получаем ====.

Пример.

f(x)=, X=.

X=g(y)=arcsin y, y

x y=sin x(1, 1).

Применяя теорему о производной обратной функции, получаем

(arcsin y)´====.

Вопрос 41

Теорема о производной сложной функции.

Производная сложной функции. Теорема.

Пусть функция , определенная и непрерывная в окрестности , имеет производную в точке . Функция , определена и непрерывна в окрестности , где , и имеет производную в точке .

Тогда сложная функция имеет производную в точке и

.

ДОК. ,

, где

и - б.м.ф. Тогда и, где б.м.ф.в точке .

Тогда .

Вопрос 42

Таблица производных элементарных функций (с доказательством)

Таблица производных.

1. 
   f(x)=, X
   

Возьмём внутреннюю точку X, сместимся из неё в точку x+∆x, не покидая X, x+∆xX и пусть ∆x0.

По определению f´(x)=.

Пусть x0.

f(x+∆x)f(x)==·=· ·∆x f´(x)===·.

.

Пусть x=0, >1 =∆x.

==0

=1.

<0 (либо точка x=0 не является внутренней, либо нет производной).

2. 
   f(x)=, a>0, a1, X=(, +)
   

xX, ∆x0, x+∆xX.

а) f(x)=

===.

б) f(x)==.

Применяя теорему о производной сложной функции, получаем ()´=()´=.

3. 
   f(x)=, X=(0, +), xX, ∆x0, x+∆xX.
   

===.

f(x)=, a>0, a1, X=(0, +).

=

4. 
   f(x)=, X=(, +), ∆x0, x+∆xX.
   

=====.

5. 
   f(x)=, X=(, +)
   

=====

6. 
   f(x)=tg x=
   

(tg x)´===

7. 
   f(x) =ctg x==
   

8. 
   y= f(x)=, X=, Y=[1, 1]
   

Применяя теорему о производной обратной функции, получаем

()´====, x(, ) y(1, 1)

9. 
   x=arcos y=, y(1, 1)
   

10. 
    x=arctg y, Y=(, +)
    

tg x=y (arctg y)´====

11. 
    x=arcctg y, Y=(, +)
    

(arcctg y)´====