Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 10 из 16

Вопрос 32

Непрерывные функции на отрезке. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Непрерывные функции на отрезке:

Определение:

Функция непрерывна на отрезке(множестве Х), если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.(множества)

Функция непрерывна в точке:

Функция, определенная в окрестности, называется непрерывной

в точке, если.

ИЛИ

(эквивалентное). Функция, определенная в окрестности, называется непрерывной в точке, если ее приращение - бесконечно малая функция в точке. (здесь).

Непрерывность в граничных точках отрезка [a;b] понимается как предел справа и слева :

(1) .

(2) .

Определение.

Функция ограничена на отрезке [a;b], .

Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

1. 
   я теорема Вейерштрасса
   

Всякая непрерывная функция на отрезке ограничена на этом отрезке.

ДОК. Предположим противное: функция на отрезке [a;b] неограниченна 

. Последовательность ограничена по построению, поэтому по теореме у нее есть предельная точка. Поскольку функция непрерывна

в точке, она ограничена в окрестности этой точки (теорема об ограниченности функции, имеющей предел).,т.е. . Тогда в окрестности

может находится не более конечного числа членов последовательности, что противоречит тому, чтоc– предельная точка последовательности.

Доказано, что множество значений функции

ограничено. Тогда по теореме о точной верхней и нижней грани существует и

.

ОПР. Если, то А называется наименьшим значением функции на

отрезке [a,b]. Обозначение.

ОПР. Если, то В называется наибольшим значением функции на

отрезке [a;b]. Обозначение.

НАВСЯК:

Сандракова:

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной, если она не имеет точек разрыва как принадлежащих X, так и не принадлежащих X.

Определение.

Точка x_о называется точкой разрыва функции f(x), если

либо x_о X, но является концом одновременно двух смежных промежутков из X;

либо x_о X, но f(x);

либо x_о X, f(x), но f(x) f(x_о).
Примеры.

1. 
   f(x)=, X=(–, 0)(0, +).
   

f(x) непрерывна на X, но x_о=0 – точка разрыва функции f(x).

2. 
   f(x)=, X=(0, +)
   

f(x) непрерывна на X и f(x) непрерывная функция.

1. 
   Докажем сначала, что f(x) непрерывна на X.
   

Возьмём произвольное xX и дадим ему приращение △x такое, чтобы x_о+△xX △f(x; △x)=–== Но при △x0

△f(x; △x)=0 По расшифровке IV непрерывен в точке x непрерывен на (0, +)=X.

2. 
   Но точек разрыва у нет, следовательно, f(x)= – непрерывная функция.
   

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности функции непрерывной на отрезке.

Любая функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём.

Доказательство.

Пусть f(x) определена на [a, b], a

1. 
   Докажем, что f(x) ограничена на [a, b] сверху М x [a, b]: f(x)М.
   

Предположим, что это не так, то есть М x´[a, b]: f(x´)>М.

Тогда для М=1 x₁´[a, b]: f(x₁´)>1

для М=2 x₂´[a, b]: f(x₂´)>2

……………………………….

для М=n x_n´[a, b]: f(x_n´)>n

……………………………….

Мы построили последовательность {x_n´} такую, что n: x_n´[a, b], и {f(x_n´)} такова, что f(x_n´)=+.

Проверим, что {f(x_n´)} стремится к +.

f(x_n´)=+ E>0 N n>N: f(x_n´)>E.

Возьмём произвольное E>0 и зафиксируем его. Тогда по аксиоме Архимеда N – натуральное число такое, что N>E.

Тогда n>N: f(x_n´)>n>N>E n>N: f(x_n´)>E.

А так как n: x_n´[a, b], то {x_n´} ограничена, а тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса у неё существует сходящаяся подпоследовательность {x_nk´}.

Пусть x_nk´=с, а так как k: a x_nk´b, то по теореме о предельном переходе в неравенствах для одной последовательности получаем aсb с[a, b].

Но по условию теоремы f(x) непрерывна на [a, b], следовательно, и в точке с f(x_n´)= f(с) и мы пришли к противоречию, так как любая подпоследовательность последовательности, стремящейся к +, стремится к +

2. 
   Пусть f(x) непрерывна на [a, b].
   

Докажем, что f(x) ограничена на [a, b] снизу m x [a, b]: mf(x).

Рассмотрим функцию g(x)= –f(x). По арифметическим свойствам непрерывной функции, g(x) непрерывна на [a, b] и по доказанному в п.1, g(x) ограничена сверху на [a, b], то есть М x [a, b]: g(x)M, ибо g(x)= –f(x)M f(x)–M=m x [a, b]: f(x)m.

Следовательно, f(x) ограничена на [a, b] и сверху и снизу f(x) ограничена на [a, b].

Замечание 1.

Теорема 2 не распространяется на функции, непрерывные на промежутках другого вида.
Примеры.

1. 
   f(x)=, X=(0, 1). f(x) непрерывна на (0, 1), но не ограничена на интервале (0, 1) сверху.
   
2. 
   f(x)=x², X=(–, +). f(x) непрерывна на (–, +), но не ограничена на (–, +) сверху.
   

Замечание 2.

Если f(x) имеет стандартную область определения X и непрерывна на X, то теорема 2 применяется к сужению непрерывной функции f(x) на любом отрезке [a, b]X, и эта функция сужения на [a, b] ограничена на [a, b].