Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 8 из 16

Вопрос 18

18. Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции,

имеющей предел.

Выколотая окрестность точки a радиуса .

ОПР. Функция называется ограниченной в окрестности , если существует

число М, для которого .

ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет предел в точке, то она ограничена в

окрестности этой точке.

ДОК. Из определения предела , следует для существует такая, что

.

Вопрос 19

19. Теорема об единственности предела функции.

ТЕОРЕМА 3.( о единственности предела)

Если функция имеет предел в точке ,то он только один.

ДОК. Предположим противное : Числа А и В являются пределами функции, причем . Выберем , тогда существует окрестность , для которой . Тогда , что противоречит выбору числа .

Вопрос 20

20. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

ТЕОРЕМА 4. (о переходе к пределу в неравенстве)

Пусть функции и имеют пределы А и В в точке и ,

для всех. Тогда .

ДОК. Предположим противное :. Выберем . Для него найдется , для которой , что противоречит условию теоремы.

Вопрос 21

21. Теорема о промежуточной функции.

ТЕОРЕМА 6 ( о промежуточной функции )

Пусть для трех функций , определенных в , справедливо неравенство : и . Тогда .

ДОК. ,

т.е. .

Вопрос 22

22. Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности

критерия существованию у функции предела.

ОПР. Функция , определенная в окрестности , удовлетворяет

критерию Коши , если .

ТЕОРЕМА 7 . Для того, чтобы функция , определенная в окрестности ,

имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию

Коши в окрестности точки a .

ДОК. (1) Пусть .Тогда и

.

(2) Пусть функция удовлетворяет критерию Коши и - произвольная последовательность, , для которой . Тогда и последовательность - фундаментальная. По доказанному ( для последовательностей) существует число А, для которого . Пусть другая последовательность, для которой .

Тогда последовательность также фундаментальная и поэтому сходящаяся. Пусть

. Если , то последовательности

также сходящаяся :, но последовательность не может быть сходящейся

( у нее по крайней мере два частичных предела А и В), хотя она фундаментальна. Источником полученного противоречия явилось предположение о том, что , поэтому А=В и функция имеет предел по Гейне, равный А.

Вопрос 23

23. Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел,

и бесконечно малых функций.

ОПР. Функция , определенная в окрестности , называется бесконечно малой функцией в точке a , если .

ТЕОРЕМА 8. (о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функцией)

Для того, чтобы функция имела предел в точке aравный А, необходимо и

достаточно, чтобы имело место представление : , где - бесконечно

малая функция в точке a .

ДОК. (1) Если , то функция б.м.ф. Действительно,

.

(2) .

Вопрос 24

24. Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями.

ОПР. Функция , определенная в окрестности , называется бесконечно большой функцией в точке a , если .

ТЕОРЕМА 9. (о связи между бесконечно большой и малой функциями).

Если бесконечно большая функция в точке a, то функция -

бесконечно малая в этой точке. Если функция - бесконечно малая функция в точке a

и то функция - бесконечно большая в этой точке.

ДОК. (1) .

(2) .

Вопрос 25

25. Арифметическая теорема о пределах функций.

ТЕОРЕМА 11. (арифметическая теорема о пределах)

Если ,, то (1)

(2) (3) .

ДОК. (2) По теореме о связи ,, где функции и - бесконечно малые функции. Тогда , где

- бесконечно малая функция (теоремы 1 и теорема 10).

1. 
   и (3) самостоятельно или со ссылкой на соответствующую теорему для последовательностей.
   

НАВСЯК

Арифметические свойства пределов функций.

Теорема 1.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и L₁=f₁(х), L₂=f₂(х).

Тогда в точке х_о имеет предел и функция f₁(х)+ f₂(х) и он равен L₁+ L₂.

Теорема 2.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L₁=f₁(х), L₂=f₂(х).

Тогда функция f₁(х)· f₂(х) имеет в точке х_о предел f₁(х)· f₂(х) и он равен L₁· L₂.

Теорема 3.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L₁=f₁(х), L₂=f₂(х), L₂0.

Тогда частное двух функций в точке х_о имеет предел, он равен .

Доказательство всех трёх теорем проводится с использованием определения предела функции в точке х_о в смысле Гейне и арифметических свойств сходящихся последовательностей.

Докажем теорему 2.

Доказательство теоремы 2.

Рассмотрим функцию f₁(х)· f₂(х) на Х и возьмём произвольную последовательность {х_n} типа Гейне (n: х_nХ, n: х_n х_о, х_n= х_о) и соответствующую последовательность значений функций f₁(х_n)· f₂(х_n).

А так как по условию теоремы f₁(х)= L₁ {х_n}, а значит и для нашей {х_n} (n: х_nХ, n: х_n х_о, х_n= х_о): f₁(х_n)= L₁,

f₂(х)= L₂ {х_n}, а значит и для нашей {х_n}: f₂(х_n)= L₂.

А тогда по теореме о произведении двух сходящихся последовательностей:

f₁(х_n)· f₂(х_n)=f₁(х_n)·f₂(х_n)= L₁·L₂ так как {х_n} была вфбрана произвольно, то f₁(х)· f₂(х)= L₁·L₂.