Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 11 из 16

Вопрос 33

Теорема о достижимости непрерывной функцией наибольшего и наименьшего значений на отрезке.

2 – я теорема Вейерштрасса

Формулировка:

Непрерывная функция на отрезке принимает наименьшее и наибольшее значения.

Доказательство:

(1) Пусть.Тогда, по определению точной нижней грани,. Последовательность ограничена, поэтому у нее есть предельная точка c₁. Тогда у нее есть подпоследовательность , для которой и по теореме о промежуточной последовательности .

Поскольку функция непрерывна в точке,, т.е..

(2) Пусть . Тогда, по определению точной верхней грани,. Последовательность ограничена, поэтому у нее есть предельная точкаc₂. Тогда у нее есть подпоследовательность, для которой, и по теореме о промежуточной последовательности. Поскольку функция непрерывна в точке,, т.е..

НАВСЯК:

Сандракова

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней.

Любая функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих точных, верхней и нижней, граней.

Доказательство.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a, b], a
А тогда sup_{[a, b]} f(x)=M_o и inf_{[a, b]} f(x)=m_о.

а) предположим, что x [a, b]:

Тогда функция (x)=>0 и непрерывна на [a, b] как частное двух непрерывных функций. Согласно теореме 2, (x) ограничена на [a, b] >0 x [a, b]: │(x)│ 0< M_o–f(x) x [a, b]: f(x) M_o–.

Это противоречит тому, что M_o=sup_{[a, b]} f(x).(Вспомним, что sup_{[a, b]} f(x) – наименьшее из чисел, ограничивающих множество значений функции на [a, b] сверху.) [a, b]: f()= M_o= sup_{[a, b]} f(x).

б) Докажем, что [a, b] такой, что f()= m_о=inf_{[a, b]} f(x).

Для этого рассмотрим функцию – f(x), x [a, b]. Она непрерывна на [a, b], и к ней применимо доказанное в п.а) [a, b] x [a, b]: – f()f(x) x [a, b]: f()f(x), то есть f()=inf_{[a, b]} f(x)= m_о.

Замечание.

Теорема 3 неприменима к функциям, непрерывным на промежутках другого типа. Она применяется к сужению непрерывной функции на отрезке произвольном, целиком лежащем в области определения функции.

Вопрос 34

Теорема о множестве значений непрерывной функции на отрезке. Теорема о нуле непрерывной функции на отрезке.

Теорема о структуре области значений непрерывной функции на отрезке.

.

ДОК. Пусть С произвольное число из отрезка :. Требуется доказать, что

. Рассмотрим функцию:. Она непрерывна на отрезке,

и т.е. на концах отрезка

функция принимает значения разных знаков и, по доказанному в

теореме 5 у нее есть ноль на этом отрезке: .

П3. Равномерная непрерывность.

ОПР. Функция равномерно непрерывна на множестве Х, если

Из непрерывности функции на множестве Х не следует ее равномерная непрерывность.

Теорема о нуле непрерывной функции на отрезке.

Пусть - непрерывная функция на отрезке, причем. Тогда

существует точка.

ДОК. Разобьем отрезок пополам. Если, то теорема доказана.

Если , то выберем тот из отрезков разбиения, для которого значения функции на

концах отрезка имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через. Повторим процесс деления: выберем тот из отрезков разбиения отрезка, для которого значения функции на концах отрезка имеют разные знаки.Обозначим этот отрезок через и т.д. Построенная последовательность вложенных отрезков – стягивающаяся.

По теореме о системе стягивающихся отрезков существует точка, принадлежащая каждому из отрезков. Если, то из непрерывности функции следует, что сохраняет знак в некоторой окрестности , что противоречит способу построения последовательности отрезков , т.е. .

Вопрос 35

Монотонные функции на множестве. Теорема о существовании односторонних пределов монотонной функции.

Монотонные функции.

ОПР. Функция: называется возрастающей на множестве E, обозначение , если . (если строго возрастающая, то неравенство строгое)

ОПР. Функция: называется возрастающей на множестве E, обозначение , если .(если строго убывающая, то неравенство строгое)

Теорема о существовании односторонних пределов монотонной функции.

ТЕОРЕМА 1. Еслина , то существует и ,

где - множество значений функции на .

ДОК. (1) Пусть = +. Тогда. Выберем,

тогда и поэтому, т.е..

(2) Пусть =В. Тогда .

Выберем ,тогда и поэтому , т.е.

.

(3) Пусть = - . Тогда. Выберем,

тогда и поэтому, т.е..

(4) Пусть = А .Тогда.

Выберем, тогда и поэтому,

т.е. .

СЛЕДСТВИЕ 1. Если на, то для любого существуют и

.

ТЕОРЕМА 2. Если на, то существует и,

где - множество значений функции на.

ДОК. Достаточно применить теорему 1 для функции.

СЛЕДСТВИЕ 2. Если на, то для любого существуют и

.

НАВСЯК:

Числовая последовательность (1) называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.

Определение.

Последовательность (1) называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любого n (n=1, 2, …): x_nn₊₁ (соответственно x_n>x_n+1).

Общее название для строго возрастающей и строго убывающей последовательностей – строго монотонные.

Теорема о существовании односторонних пределов функции во внутренних точках промежутка.

Пусть функция f(x) монотонна на промежутке X ненулевой длины. Тогда в любой внутренней точке промежутка X функция f(x) имеет односторонние пределы.

Доказательство.

а) Пусть f(x) возрастает на X x´, x´´X (x´< x´´): f(x´)f(x´´) и пусть x_о – внутренняя точка промежутка X.

Рассмотрим множества

X₁={x; xX: x< x_о}; Y₁={f(x), xX₁}

X₂={x; xX: x> x_о}; Y₂={f(x), xX₂}

Множество Y₁ ограничено сверху, так как xX₁: f(x)f(x_о) и, следовательно, Y₁ имеет точную верхнюю грань L₁=sup_X1 f(x)=sup Y₁.

А множество Y₂ ограничено снизу, так как xX₂: f(x_о)f(x) и L₂=inf_X2 f(x)=inf Y₂.

Так как f(x_о) является одной из верхних границ множества Y₁ и одной из нижних границ множества Y₂, то L₁ f(x_о)L₂.

Докажем, что

1. 
   L₁=f(x)
   
2. 
   L₂=f(x)
   

Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его.

1. 
   Так как L₁=sup_X1 f(x) 1) xX₁: f(x) L₁
   

2) >0, а значит и для нашего фиксированного >0 X₁: f()> L₁–. L₁ –<₂₎f()₁₎ L₁< L₁+.

Тогда xX₁, о (x(, x_о)) в силу возрастания функции f(x) на X: f() f(x) L₁f(x_о) xX(, x_о): L₁–1< L₁+.

Положим ₁=₁()= x_о –>0 (ибо =()).

Тогда >0 ₁>0 x (xX₁, x< x_о, │x - х_о│<₁): │f(x) –L₁│< f(x)=L₁.

2. 
   Так как L₂=inf_X2 f(x) 1) xX₂: L₂ f(x)
   

>0, а значит и для нашего фиксированного >0 X₂: f()< L₂+ L₂– ₁₎ L₂2) L₂+ А тогда в силу возрастания функции f(x) на X xX₂, x_оо, ())

L₂–21) f(x)f()<₂₎ L₂+.

Положим ₂=₂()=() –x_о>0.

Тогда >0 ₂>0 x (xX₂, x>x_о, │x - х_о│<₂): L₂–2+ │f(x) –L₂│< L₂=f(x).

б) Пусть f(x) убывает на X. Рассмотрим функцию –f(x). Она возрастает на X. Тогда по доказанному в п.а) у неё есть односторонние пределы в любой внутренней точке промежутка X, а функция f(x) отличается от –f(x) только постоянным множителем (–1) f(x) имеет односторонние пределы в каждой внутренней точке промежутка.