Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 12 из 16

Вопрос 36

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Если (или) непрерывная функция на [a;b], то существует и единственная обратная к ней функция , определенная на отрезке и непрерывная , строго возрастающая ( или убывающая ) на этом отрезке.

ДОК. Пусть и непрерывна на [a;b]. Тогда и для любого

существует и единственное значение, для которого.

Действительно, если таких значений два и, например, , то .

Положим. Тогда на, т.е. обратная

к функция. Функциястрого возрастает на. Действительно, если для какой – то пары величиныисвязаны противоположным неравенством, то. Докажем непрерывность обратной функции на Пусть произвольная точка интервала и.Тогда по теореме 1и. Последнее означает, что существует, т.е. функция непрерывна в каждой точке интервала. Непрерывность функции в граничных точках интервала доказывается аналогично с использованием односторонних окрестностей.

НАВСЯК:

Сандракова

Теорема о существовании

Любая строго монотонная функция на промежутке X ненулевой длины однозначно обратима на нём.

Доказательство.

Пусть f(x) строго возрастает на промежутке X, Y={f(x), xX}.

f(x) строго возрастает на X x₁, x₂X, x₁2: f(x₁)< f(x₂).

Возьмём произвольное yY, зафиксируем его и покажем, что единственное xX такое, что y=f(x).

Предположим, что это не так, то есть x₁, x₂X, x₁x₂ и такие, что y=f(x₁) и y=f(x₂). И мы сразу пришли к противоречию, поскольку x₁x₂, то

либо x₁2 f(x₁)< f(x₂),

либо x₁>x₂ f(x₁)> f(x₂).

yY единственный xX: y=f(x).

Аналогичное доказательство приводится для строго-убывающей функции.

А значит, любая строго-монотонная функция на промежутке ненулевой длины имеет обратную функцию.

О непрерывности обратной функции

Пусть функция f(x) определена на промежутке X ненулевой длины, строго монотонна и непрерывна на X.

Тогда обратная функция g(y), определённая на Y={f(x), xX} имеет тот же характер монотонности на Y, что и f(x) на X, и g(y) непрерывна на Y

Доказательство.

f: XY, g= f^-1: YX.

I Пусть f(x) строго возрастает на X.

Докажем, что g(y)= f^-1(y) строго возрастает на Y.

Возьмём произвольный y₁Y и y₂Y, y₁₂.

Докажем, что g(y₁)< g(y₂). Предположим, что это не так, то есть y₁, y₂Y, y₁₂, а g(y₁)g(y₂). Но по определению обратной функции g(y) ставится в соответствие y₁Y единственный x₁X: f(x₁)=y₁; y₂Y ставит в соответствие единственный x₂X: f(x₂)=y₂.

По нашему предположению y₁2 f(x₁)< f(x₂).

Но g(y₁)=x₁x₂= g(y₂). А тогда в силу строгого возрастания x₁>x₂ f(x₁)> f(x₂), что противоречит условию f(x₁)< f(x₂). x₁=x₂ f(x₁)=f(x₂), что так же противоречит условию f(x₁)< f(x₂).

II Докажем теперь, что g(y) непрерывна на Y.

Так как f(x) оперделена на промежутке X и непрерывна на нём, то по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции Y – промежуток.

А так как g(y) оперделена на промежетке Y и строго монотонна на нём, и g: YX и X – промежуток, то по теореме 2, g(y)= f^-1(y) непрерывна на Y.

Вопрос 37

Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Примеры.

Производная функции в точке.

ОПР.. Производной функции в точке, называют число.

ПРИМЕР 1 Вычислить производную функции в произвольной точке x.

РЕШЕНИЕ. .

МЕХАНИЧЕСКИЙ смысл производной.

- путь, пройденный материальной точкой к моменту времени t.

- расстояние, пройденное точкой за время ,

- средняя скорость движения,

- скорость в момент времени t.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл производной.

Точки и на графике функции соединены прямой

L_сек – секущей, - угловой коэффициент прямой L_сек .

При прямая L_сек поворачивается вокруг точки А, занимая предельное положение

- касательной к графику функции в точке А. - угловой коэффициент( тангенс угла наклона ) касательной.

Производная функции в точке xравна тангенсу угла наклона касательной,

проведенной к графику функции в точке с абсциссой x.

НАВСЯК:

Понятие производной функции.

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, x_о – внутренняя точка одного из промежутков X.Сместимся из точки x_о в точку x= x_о+∆x так, чтобы не покинуть X

x= x_о+∆xX.

Тогда f(x) получает приращение ∆f(x_о, ∆x) в точке x_о, вызванное смещением ∆x.

∆f=∆f(x_о, ∆x)= f(x_о +∆x) –f(x_о)= f(x) – f(x_о).

Пусть ∆x0. Рассмотрим =

Определение.

Предел , если он существует, называется производной функции f(x) в точке x_о и обозначается:

f`(x_о)===_(xxо).